Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Точно так же мы можем определить полюсы С(в) как те значения г, при которых Стт(г) или Стз(г), или обе понижают ранг. 20.3.6, Формы Смита-МакМиллана Дальнейшее понимание полюсов и нулей объекта можно получить из формы Смита — МакМиллана для передаточной функции. Этот результат основан на серьезных математических идеях, которые находятся за пределами этой книги.
Поэтому отсылаем интересующегося читателя к приложению В, где развиваются эти идеи. 20.4. Основной М! МО-контур управления В этом разделе мы разовьем идеи передаточных функций, включенных в основной М1МО-контур управления. 20.4. Основной М!МО-контур управления о27 Если не будет оговорено особо, рассматриваемые системы будут квадратными (вектор входа имеет то же самое число компонентов, что и вектор выхода). Кроме того, будем предполагать в процессе изучения, что все матрицы передаточных функций будут невырожденными почти везде; это означает, что матрицы будут вырожденными только в конечном множестве «нулейм Мы рассмотрим управление объектом, имеющим номинальную модель (с выходом У(а)) в виде У(а) = Р (~) + С (~)(11(~) +Рв(~)) (20.4.1) где У(а), У(а), Р;(з) и Р (а) — векторы размерности т, соответствующие выходу, входу, входному возмущению и выходному возмущению ,соответственно. Со(а) — матрица размерности т х тп (номинальная передаточная функция), имеющая элементы Сьь(а).
Мы рассмотрим ту же самую основную структуру с обратной связью, как и в Б1ЯО-случае, т. е. структуру, показанную на рис. 20.3. Подчеркнем мультипеременную природу этих систем, используя полужирный шрифт, чтобы обозначить матричные передаточные функции.
Номинальный М1МО-контур управления на рис. 20.3 может быть описан, как в Я1ЯО-случае, некоторыми ключевыми передаточными функциями. В частности, мы определим Я (а): (матричная) передаточная функция, связывающая Р,(а) с У(в); Т (в): (матричная) передаточная функция, связывающая В(а) с У(а); Я„(а): (матричная) передаточная функция, связывающая тт(а) с 1т'(а); Яра(в): (матричная) передаточная функция, связывающая Рв(а) с У(а).
Как и в Я1ЯО-случае, мы называем Яо,Т„,Ян,>,Я; номинальной чувствительностью, номинальной дополнительной чувствительностью, номинальной чувствительностью по входу (по управлению) и номинальной чувствительностью к входному возмущению соответственно. Рис. 20.3. М1МО-контур с обратной связью 628 Глава 20.
Анализ М!МО-контуров управления Выражения для этих величин могут быть легко получены из рис. 20.3. Однако следует не забывать о векторной природе всех сигналов. Результат этого анализа следующий: где Из выражений (20.4.5)-(20.4.9) мы можем также получить истинные, или достижимые, матричные функции чувствительности, заменяя передаточную функцию номинальной модели Со(з) передаточной функцией истинной системы С(з). Это дает Замечание 20.1.
Заметим, чтпо из-за тпого, что произведения матприц в общем случае не коммутатпивнм, надо быть особенно вниматпельными при операциях с этпими выражениями. 20.5. Устойчивость замкнутого контура 629 Замечание 20.2. Заметим, что Б (з) + Т (з) = 1 и Б(з) + Т(з) = 1. Зтпо мультипгргменные версии выражения (5.3.5).
20.5. Устойчивость замкнутого контура Далее мы расширим понятия устойчивости, описанные в разд. 5.4 для Б1БО-случая, на М1МО-случай. Мы говорим, что М1МО-система устойчива, если все ее полюсы— строго внутри области устойчивости (ЛПП для непрерывных систем и круга единичного радиуса для дискретных систем в случае использования оператора сдвига).
Однако как и в Б1БО-случае, взаимосвязь систем, наподобие элементов контура с обратной связью на рис. 20.3, может привести к скрытым неустойчивым компонентам, т. е. к внутренней неустойчивости. Это возникает из-за компенсации потенциально неустойчивых полюсов и нулей.
Воспроизведем лемму 5.1 для данного случая следующим образом: Лемма 20.2. Рассмотрим номинальный контур управления, представленный на рис. 20.3. В этом случае номинальный контур внутренне устойчив тогда и только тпогда, когда гари независимых функции чувствитеаьности, определенные в (20.4.11)-(20.4.14), плюс Бо (з)С (з) устойчивы. Доказательство Если все входные сигналы, т. е.
т(ь), дг(й), д (1) и сЮ„(з) ограничены, птогда мы видим из (20.4.2)-(20.4.4), что устойчивость четпырех функций чувствитпельносгпи достпапточна, чтобы ограничитпь выходы у($), и(1) и е(1). Мы также видим, что условие являетпся необходимым, так как Боо(з)Со(з) = [Со(з)] То(з)О~(з) устпойчива тогда и только тогда, когда устойчива Т (з).
ППП 20.5,1. Устойчивость МДО-формы Устойчивость может быть также выражена, если использовать матричные дробные описания (МДО). Рассмотрим ПМДО- и ЛМДО-описания для объекта и регулятора: Со(з) = Сорт(з)[Со]:~(з)] = [Соо(з)] С1оьт(з) (20.5.1) С(з) = См(з)[Стт(з)] ~ = [Стт(з)1 Сит(з) (20.5.2) 630 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления Тогда передаточные функции, входящие в (20.4.2)-(20.4.4), могут быть переписаны в виде Яо(з) = Сгт(з) [Сор(з)Стз(з) + Соьт(з)Свт(з)] Сотт(з) (20.5.3) То(з) = Сотч(з) [Стэ(з)Сов(з)+Стч(з)Со~ч(з)] См(з) (20.5.4) Воо(з) = Стч(з) [Согт(з)Сгт(з) + тлотч(з)Сьт(з)] Сор(з) (20.5.5) БГо(з) =Ср(з) ~Скотт(з)Сгт(з)+Сотч(з)Сьт(з)] (лоьт(з) (2056) Воо(з)Со(з) = Стч(з) ~Соту(з)Сту(з)+Соьт(з)Стч(з)] Сотч(з) (20.5.7) Напомним, что матрицы Соьт(з), Согт(з), Сьт(з) и Сгт(з) — матрицы с устойчивыми рациональными элементами.
Тогда лемма 20.2 может быть выражена в следующей эквивалентной форме. Лемма 20.3. Рассмотрим замкнутпый М1МО-контур управления с одной степенью свободы, как показано на рис. 20.3. Пустпь номинальная модель обеектпа и регулятпор выражены в форме МДО, как в (20.5.1) и (20.5.2). В этом случае номинальный контур внутпренне устойчив тогда и только тогда, когда характеристическая матрица замкнутого контура А,т(з) Аы(т) = Сотт(з)Стз(з) + Соьт(з)С1ч(з) (20.5.8) имеетп все ее нули старого в ЛПП, где нули определены как нули т1ес(А,т(з)). ППП Замечание 20.3.
Заметим, что матрица А 1(з) играетп для М1МО- контпуров управления такую же роль, что и полинам Аы(з) для З1ВО- контуров управления. Замечание 20.4. Пустпь регулятор определяется выражениями (20.3.33) — (20.3.36). Тогда лемма 20.1 дает А,т(з) = 1 и, следовательно, контур управления является устойчивым. Фактически, этно можно также увидеть и из (20.3.38), если задать Ф(з) = О. Тогда (20.3.40) дает отноитение между У(з) и У(з) (т. е.
регулятпор обратпной связи) в виде: П(з) = — Сьт(з)(Стз(з)) ~У(з) (20.5.9) Однако этот регулятор на самом деле обеспечивает стабилизирующую обратную связь по восстановленным переменным состпояния, произведенным устойчивым наблюдателем. Следовательно, устойчивость замкнутого контпура следует из свойства разделения, как в равд. 18.4.
20.5. Устойчивость замкнутого контура 631 Пример 20.5. Предложен диагональный регулятор С(з) длл управле- ния М1МО-обеектом с номинальной моделью С (з). Если С(з) и Со(з) имеюгп вид 2 з+1 1 (20.5.10) С (з) = (з + 1)(з + 2) гпо нужно определигпь, является ли замкнутый конгпур устойчивым. Решение Для проверки устойчивости используем лемму 20.3. Таким образом, нам нужны ЛМДО и ПМДО для модели обеекта и регулятора соогп- вегпственно.
Простой выбор следующий: С и(з) =; С р(з) =(з+1)(з+2)1 (20.5.11) Си(з) =; Сп(з) = з1 Г2 0~ (20.5.12) Т огда А«1(з) = Сор(з)Суу(з) + Сои(з)Си(з) 2зг+ 10зг+ 18з+ 8 за+ Зз+ 2 з'+Зз+2 2зз+8з~+11з+4~ (20.5.13) Мы теперь должны проверить, находятся ли все нули этой матрицы полиномов внугпри открытой ЛПП. А г(з) является магприцей полиномов, так что это можно легко проверить, вычислив корни ее детерминангпа. Мы имеем деФ (Асг(з)) = 4зв+ Збзз+ 137з«+ 272зз+ 289з~+ 148з+ 28 (20 5 14 Все корни де1 (Асг(з)) имеют отрицательные вещественные части.
Таким образом, контур устойчив. 20.5.2. Устойчивость и частотные характеристики Читатель может задаться вопросом, применимы ли средства анализа 8180-систем для проверки устойчивости М1МО-систем. Вообще-то, ответ — «да», но возникают существенные осложнения из-за мультипеременной природы проблемы. Мы покажем, как можно расширить теорию Найквиста (см. разд. 5.7) на М1МО-случай. Если мы предположим, что в М1МО-контуре обратной связи возможна компенсация только (з + 1)(з + 2) 2 з+2 2 С(з) = 0 632 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления устойчивых нулей и полюсов, то внутренняя устойчивость номинального контура будет обеспечена, если чувствительность 8 (з) будет устойчивой. Рассмотрим теперь функцию Р,(з), определенную следующим образом: Р,(з) = деЦ1+ а.(з) С(з)) — П(1+ Л,(.)) (20.5.15) гт=ь где Л;(з), з = 1,2,...,т, являются собственными значениями С (з)С(з).
Полярные графики Лг(уоз), з = 1,2,...,т на комплексной плоскости называются характеристическими траекториями. Сравнивая (20.5.15) и (20.4.5), мы видим, что чувствительность Б (з) устойчива тогда и только тогда, когда все нули Р,(з) лежат строго внутри ЛПП. Если выбран контур Найквиста Сз = С; ОС„, показанный на рис.5.5, то можно сформулировать следующую теорему, являющуюся аналогом теоремы Найквиста 5.1. Доказательство Мы видели ранее, что поскольку Р„(з) — собстпвенная функция, то С„в з-плоскостпи отображаетпся в одну точку на Р -плоскости; это озна- чает, что нас интпересует лишь отпображение мнимой оси Сгн На этой линии тл й(Р.О )) =~ ~5((1+Л О ))) гап (20.5.16) Таким образом, любое изменение угла Ро(уот) является результатпом комбинации изменений фазы сомножитпелей 1+Лг(тот).
Следоватпельно, охват начала координат в Р,-плоскости может быть получен из охватов точки ( — 1;О) комбинацией характеристических тпраекторий. Отпношение между числом охватов и полюсов с нулями функции Р (з), расположенных в ППП, можно тогда получить так же, как и в гл. 5. ОБО Использование этого результата для проектирования находится вне пределов этой книги.
Отсылаем читателя к ссылкам в конце главы. Теорема 20.1. Если собственная передаточная функция разомкнутого контпура С (з)С(з) имеет Р полюсов в открытой ППП, то замкнутый контур имеет Я полюсов в открытой ППП тогда и тполько тогда, когда полярный график, которьвй включает комбинацию всех характеристических траекторий (вдоль модифицированного контура Найквиста), охватывает точку ( — 1,0) по часовой стпрелке Н = Я вЂ” Р раз. 20.6. Реакция в установившемся состоянии дяя ступенчатых входных снгнвяов 633 20.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
