Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Для дальнейших ссылок мы будем использовать Сев(з) для обозначения передаточной функции от Й-го компонента У(з) к т-му компоненту У(з). Тогда С(з) можно выразить следующим образом. С11(8) С12 (8) . С1ь (8) С1тл (8) 021(8) Сгг(8) ... Сгь(8) .. Сгти(8) а11(8) аег(8) .. аи (8) . аетл(8) Стл1 (8) Стяг (8) ° ° ° Сте (8) ° ° Стати (8) (20.3.7) С(з) = Определение 20.1. Говорят, что матрица передаточных функций С(8) являетпся есобственной матрицей», если каждый из ее элементов является собственной передаточной функцией.
Полезное наблюдение состоит в том, что, когда й-й компонент и(Ф) является импульсом, Сть(з) является преобразованием Лапласа т-го компонента у(1). Это приводит к следующему определению. Определение 20.2. еМатрица импульсных характеристик» 6($) системы являетсл обратным преобразованием Лапласа матрицы переда- 9ддИ) 9дг(д) " 9дь(~) " 9д (д) 9гдИ) 9гг(1) " 9га(д) " 9гтл(И) К(1) = удд(д) удг(1) " удь(1) " 9д (1) д(1) 9 г(д) ... 9 „(д) ... 9 (д) = Е д [С(з)] (20.3.8) где 9дь(д) = б д(Сдь(з)] (20.3.9) Заметим, что для модели пространства состояний с а1 = 0 9($) = Селект 20.3.3.
Матричное дробное описание Ясно, что все матричные описания передачи сигналов включают элементы, имеющие полиномы в знаменателе и числителе. Эти матрицы рациональных функций полиномов могут быть разложены различными способами. Рассмотрим матрицу передаточных функций С(з) размерностью (п х т). Пусть д]'(з) обозначает наименьшее общее кратное полиномов знаменателей в зчй строке. Пусть также е;(з), обозначает полипом Гурвица той же самой степени, что и К(з). Тогда мы можем записать С(з) = (Ср(з)~] ~Сду(з)] (20.3.10) где дЦв) ед(з) Ср(з) = (20.3.11) д' (з) е„,(з) пдд(з) пд,„(з) ед(з) ед(з) Слт(з) = (20.3.12) п д(з) п (з) ет(з) ет (з) где пдд(з),...,п „,(з) — полиномы.
Ясно, что Ср(з) и Оду(з) — устойчи- вые собственные передаточные функции. 620 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управленнл точных функций С(з). Для дальнейших ссылок представим 9(в) в виде 20.3. Модели для мулымпеременаых систем Б21 С(8) = [СФ(8)] [схр(8)) (20.3.13) где ,1о( ) е' (е) (20.3.14) Ср(а) = И' (а) е' (а) о' (а) и' (а) еЦз) е' (а) (20.3.15) Сщ(а) = пти1(а) птта(а) е[(а) е' (а) где п~~(а),...,п' (а) — полиномы.
Опять Ср(а) и Ся(а) — устойчивые собственные передаточные функции. Выражения (20.3.13), (20.3.14) и (20.3.15) представляют специальную форму, называемую правым матричным дробным описанием (ПМДО) для С(а). 20.3.4. Связь между моделями пространства состояний и матринными дробными описаниями Фактически, ПМДО и ЛМДО могут быть получены из описания пространства состояний данной системы при проектировании стабилизирующей обратной связи по переменным состояния и наблюдателя соответственно.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим модель пространства состояний х(Ф) =Ах(1)+Ви(1) у($) = Сх(8) (20.3.16) (20.3.17) Выражения (20.3.10), (20.3.11) и (20.3.12) описывают специальную форму, называемую левым матричным дробным описанием (ЛМДО) для С(а). Чтобы получить правое матричное дробное описание (ПМДО), мы должны быть несколько осторожными; в общем случае матрицы не коммутативны. Итак, пусть Ы[(а) обозначает наименьшее общее кратное полиномов знаменателя в 1-м столбце С(а). Пусть также е';(а) обозначает полипом Гурвица той же самой степени, что и о;(а). Тогда мы можем записать 622 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления Мы предполагаем, что модель пространства состояний стабилизируема. Если это не так, мы сначала должны устранить нестабилизируемые компоненты. Пусть и(в) = — Кх($) + тз(Ф) является стабилизирующей обратной связью.
Тогда систему можно описать следующим образом, добавляя и вычитая ВКх(в): х(З) = (А — ВК)х(Ф) + Втз(Ф) у(1) = Сх(1) тз(з) = и($) + Кх(з) Мы можем выразить эти уравнения в области преобразований Лапласа при нулевых начальных условиях следующим образом: Цз) = (1 — К[з1 — А+ ВК] ~В)И1(з) У(з) = С[з1 — А+ВК] 'ВИ'(з) (20.3.21) (20.3.22) Эти уравнения имеют форму гт(з) = Св(з)И'(з); 1'(з) = Сгт(з)И~(з); У(з) = Стч(з)[Со(з)] У(з) (20.3.23) где Сгт(з) и Сгт(з) — следующие две устойчивые матрицы передаточных функций: Сгт(з) = С[з1 — А+ВК] 'В Ср(з) =1 — К[з1 — А+ВК] ~В (20.3.24) (20.3.25) хя(З) = Ах($) + Ви(З) + Л(у(1) — Сх(З)) у($) = Сх(т) + и($) (20.3.26) (20.3.27) Мы можем выразить эти уравнения в области преобразований Лапласа: Ф(з) = а,[т (т)] = (1 — С[з1 — А+ЛС] ~Л)У(з) — С[з1-А+ЛС] 'ВУ(з) (20.3.28) Известно, что для устойчивого наблюдателя т (в) -~ 0 по экспоненциальному закону, следовательно, в установившемся состоянии мы можем записать Со(з)У(з) =См(з)У(з) (20.3.29) Мы видим из (20.3.23) — (20.3.25), что (См(з), Стт(з)) является ПМДО.
Точно так же мы можем использовать наблюдатель, чтобы получить ЛМДО. Предположим, что модель пространства состояний определяема. Если это не так, сначала устраним неопределяемые компоненты. Затем рассмотрим следующее описание наблюдателя (20.3.16) и (20.3.17): 20.3. Модели дли мультиперемеииых систем 623 где С~я(з) = С(в1 — А+ ЛС) ~В (20.3.30) Ср(в) =1-С(з1-А+ЛС) 'Л (20.3.31) Следовательно, (С~ч(з), Ср(в)) является ЛМДО системы. ПМДО и ЛМДО, введенные выше, обладают следующим интересным свойством.
Лемма 20.1. Всегда существуют ПМДО и ЛМДО длл системы, имеющей следующее взаимно простое разложение на множитпели: ! Ср(в) Сьт(з)~ -Свт(з) Ср(з)~ с Ср(в) — См(з) Сгт(в) Ср(з) Ср(з) -Сит(в) Сх(в) Ср(з) с в — = 1 (20.3.32) — С~( ) Ср(в ~ где См(з), Ср(з), См(з) и Ср(з) — устойчивые передаточные функции, определенные следующим образом: Сы(в) =К[в1 — А+ВК] 'Л (20.3.33) Ср(в) =1+С[з1 — А+ВК] ~Л (20.3.34) См(з) =К[з1 — А+ЛС] 'Л (20.3.35) Ср(з) =1+К[в1 — А+ЛС] 'В (20.3.36) а Сьт(з), Ср(в), Сы(з) и Ср(з) определены так же, как в (20.3.24)- (20.3.25) и (20.3.30) — (20.3.31).
наблюдателя (20.3.26). Это дает кг(г) = (А-ВК)х(г) + Во'(г) +Ли(1) (20.3.37) где о'(т) = и(т) + Кх($) ы(т) = у(8) — Сх(1) или и(ь) = — Кх(1) + и'(ь) (20.3.38) или у(г) = Сх(1) + ы(т) (20.3.39) Следовательно, мы можем записать У(в) Ср(з) — См(з) У'(в) где Г(в) =,С[о'(т)], Ф(з) = Е [и(1)]. Аналогично мы имеем Ф(з) С () С () У(в) (20.3.40) (20.3.41) Отпсюда следуетп результатп. ППП Доказательство Используем тпу же конструкцию, что и в (20.3.18), но применим ее для 624 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления 20.3.5. Полюсы и нули М!МО-систем Читатель может вспомнить, что в Б?ЯО-случае характеристики систем управления заметно зависели от местоположения нулей разомкнутого контура.
Таким образом, казалось бы, было важным расширить понятие нулей на М1МО-случай. В качестве первой гипотезы, как это могло бы быть сделано, можно догадаться, что нули могли бы быть определены в терминах полиномов числителя в (20.3.12) или (20.3.15). Хотя это и может быть сделано, оказывается, что это не адекватно охватывает «блокирующую» природу нулей, которая была столь важна в Б?ЯО-случае. Альтернативное описание нулей, которое охватывает это «блокирующее» свойство, — определить нули М1МО-передаточной функции как те величины з, которые приводят к тому, что матрица С(з) теряет ранг. Это означает, что существует, по крайней мере, один постоянный ненулевой вектор е (нулевое правостороннее направление), такой,что С(с)е = 0 (20.3.42) и по крайней мере один постоянный ненулевой вектор тз (нулевое левостороннее направление), такой, что тетС(с) =0 (20.3.43) где з = с — один из нулей С(з).
Векторы е и те~ — части нулевых пространств, формируемых столбцами или строками матрицы С(с) соответственно. Заметим, что число линейно независимых векторов, которые удовлетворяют (20.3.42), зависит от уменьшения ранга матрицы С(з), оцененного в з = с. Это число известно как геомепзричесжал кратность нуля и равно размерности нулевого пространства, произведенного столбцами С(з).
Дополнительная информация о влиянии нулей может быть получена при рассмотрении специального входа системы ?т'(з), данного выражением ?Г(з) = е— (20.3.44) з — с где е — вектор, который удовлетворяет выражению (20.3.42). Заметим, что (20.3.44) означает, что вход содержит только один форсирующий член е". В этом случае выход системы У(з) имеет вид У(з) = С(с)е — + У„~(з) 1 (20.3.45) где Увз(з) — преобразование Лапласа собственных компонентов реакции. Если теперь применить (20.3.42), мы видим, что форсирующий член е«т блокирован системой; он не появляется на выходе.
Это свойство нулей приводит к термину нулей передачи. Нули системы, как определено выше, не всегда очевидны при рассмотрении передаточной функции. Это иллюстрируется следующим примером. 20.3. Модели для мультилереиеииых систем 625 Пример 20.3. Рассмотрим матпричную передаточную функцию 4 -1 (з + 1)(з + 2) (з + 1) (20.3.46) (з+ 1) 2(з+ 1)(з+ 2) Трудно определить по внешнему виду, где ее нули. Однако оказывается, что имеется один куль при з = — 3, как можно заметпить из мат и ы р ц 2 С( — 3) = — 1 4 котпорая, как видно, имеет ранг, равный 1.
ППП Пример 20.4 (Аппарат с четырьмя резервуарами). Очень интпересный пример лабораторного оборудования, основанного на четпырех соединенных резервуарах, недавно был описан Карлом Хекдриком Юхакссоком (см. ссылки, приведенные в конце главы). Фотография и обсуждение тпакой систпемы, построенной в университетпе Ньюкасла, дается на Фей-странице. Схематпическая диаграмма дана ка рис. 20.2. Физическое моделирование даетп следующую (линеаризованную) передатпочную функцию, связывающую (ит,иг) с (ут,уг): (20.3.47) 3.7(1 — 72) 3.7 71 62з+1 4.7(1 — 71) (23в+ 1)(62з + 1) 4.772 90з+1 С(з) = (20.3.48) (30з + 1) (90з + 1) (23з+ 1)(30з+ 1) — т1 = 0 где тт = (1 — 71Н1 — 72) (20.3.49) 7172 Простое исследование корневого годографа показываетп, чп1о систпема неминимально-фазовая для т1 > 1, т.
е. для 0 < 71+'уг < 1 и минимальнофазовая для т1 < 1, пт. е, для 1 < 71 + 72 < 2. Кроме тпого, нулевое направление связано с нулем с > О, удовлетпворяющим выражению (20.3.43). Из этого следуетп, чтпо если параметр 71 мал, нуль связан главным образом с первым выходом, в то время как где 71 и (1 — 71) представляютп пропорцию потоков от насоса 1, которые идут в резервуары 1 и 4 соотпветственно (подобно и для 72 и (1 — 72)).
Фактически, постпоянные времени намного изменяютпся с изменением рабочей точки, но это нас здесь не интересует. Система имеет два мультипеременных куля, котпорые удовлетворяют уравнению деЦС(з)) = 0: 626 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления Рис. 20.2. Схема аппарата с четырьмя резервуарами в случае, когда 71 близок к 1, нуль связан главным образом со вторым выходом. ППП Возможно также связать нули со свойствами взаимно простого разложения на множители данной матрицы передаточных функций. В частности если мы запишем С(в) = См(г)(Стз(г)] ~ = [Со(г)] т(СМ(в)] (20.3.50) где См(г), Сгт(в), Со(г), Свт(г) удовлетворяют взаимно простой идентичности, данной в (20.3.32), то нули С(г) соответствуют тем значениям г, при которых или С1ч(г), или См(г) (или обе) теряют ранг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
