Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Анализ М!МО-контуров управления Сначала сформируем для системы 81 представление в пространстве состояний, используя команду зз пакета МАТ?АВ. Таким образом, получим структуру из 4-х матриц [АМ Вы Сы О). Тогда можно непосредственно [используя команду евд пакета МАТ?,АВ) вычислить собственные значения системы, которые расположены в точках — 1 и — 3, с собственными векторами юэ и юг, определяемыми следующим образом: ют1 [О 8552 0 5184] 1огт = [-0 5184 0 8552] [20 7 39) Система также не имеет никаких нулей.
С другой стороны, система бг имеет три полюса, расположенные в точках -1, -2 и -2, и один нуль, расположенный в точке — 3. Этот нуль имеет левостороннее направление и и правостороннее направление Ь, определяемые выражениями ?эт [1 2]. Ьт [1 4] (20.7.40) Мы видим, что один полюс 81 совпадает с одним нулем бг. Чтобы исследовать последствия этого совпадения, рассмотрим два случая посведовательного соединения. Выход 81 является входом 82.. Чтобы исследовать возможную потерю наблюдаемости, мы должны вычислить С1 юг и сравнишь результат с Ь.
Сначала получим С1 юг = [ — 1.414 5.657]т, откуда мы видим, что этот вектор линейно зависим от Ь. Таким образом, при этом соединении будет ненаблюдаемый компонент е э'. Выход Юг является входом 81.' Чтобы исследовать возможную потерю управляемости, нам нужно вычислить юг Вэ и сравнить результат с и. Мы имеем, что югВэ = Т т [ — 0.707 — 0.707]. Таким образом, этот вектор линейно независим от и, и, следовательно, никакой потери управляемости при эупом соединении не происходит.
20.8. Проблемы робастиости В заключение мы расширим результаты относительно робастности, полученные в разд. 5.9 для Я?ЯО-систем, на М?МО-случай. Так же, как и для Я1ЯО-случая, М?МО-модели обычно будут только приблизительно 20.8. Проблемы робастности 64$ описывать любые реальные системы. Таким образом, характеристика номинального контура управления может значительно отличаться от истинной или достигнутой характеристики. Чтобы получить некоторое понимание этой проблемы, рассмотрим линейные ошибки моделирования, как мы делали для Б1БО-систем.
Однако теперь мы имеем дополнительную ошибку, связанную с матрицами, для которых произведения не коммутативны. Поэтому рассмотрим две эквивалентньгх формы для мультнпликативных ошибок моделирования (МОМ): С(з) = (1+ Сад(з))Со(з) = Со(з)(1+ Саг(з)) (20 8 1) где Сд~(з) и Сд,(з) — левая и правая МОМ-матрицы соответственно. Из (20.8.1) мы видим, что эти матрицы связаны следующими соотношениями: Сы(з) = Со(з)Са.( )[С ( )Г' Са.(з) = [С (з)Г'С и( )С (з) (20.8.2) Эта эквивалентность позволяет нам получать выражения, используя любое из описаний. Для простоты выберем левую МОМ-матрицу и исследуем только две главных чувствительности: чувствительность и дополнительную чувствительность.
Тогда мы можем получить выражения для достижимых чувствительностей в (20.4.10) — (20.4.11) как функции ошибки моделирования. Используя (20.8.1), мы получим Б(з) =[1+С(з)С(з)) ~ =[1+Со(з)С(з)+Сд~(з)Со(з)С(з)] ' =[1+С (з)С(з)] '[1+Са~(з)Т (з)) '=Б.(з)[1+Са|(з)Т.(з)[ " (20.8.3) Т(з) =С(з)С( )[1+С(з)С(з)Г'=[1+Са|( ))Т.(з)[1+Сы(з)Т (з)Г' (20.8.4) Обратим внимание на подобие этих выражений и выражений для Б1БО-случая — см. уравнения (5.9.15)-(5.9.19). Мы можем также использовать эти выражения, чтобы получить результаты относительно робастности.
Например, следующая теорема о робастной устойчивости является аналогом теоремы 5.3. Теорема 20.2. Рассмотрим обвект с номинальной и истинной передаточными функциями Со(з) и С(з) соответственно. Предположим, что они связаны соотношением (20.8.1). Предположим также, что регулятор С(з) обеспечивает номинальную внутреннюю устойчивость и что Со(з)С(з) и С(з)С(з) имеют одинаковое число Р неустойчивых полюсов. Тогда достаточное условие для устойчивости контура обрат- 646 Глава 20.
Анализ М!МО-контуров управления ной связи, полученного, когда регулятор воздейстпвует на истинный обвектп, имеетп вид о(Сдт(2ы)Т~(2а)) < 1 вы Е К (20.8.5) Доказательство Определим функцию Г(з) = дет(1+ С(з)С(з)) (20.8.6) Тогда из теоремы 20.1 мы имеем, что устпойчивостпь замкнутого контура с истинным обвектом требует, чтобы аг8(Г(но)) изменилсл на -2Рк рад при изменении от от — оо до оо. Кроме того, используя (20.8.1) и (20.8.15), мы замечаем, чтпо функция Г(з) может тпакже быть выражена следующим образом: Г(з) = деГ(1+С (з)С(з)) деС(1+Сдт(з)То(з)) = Г„(з) бег(1+Сдт(з)То(з)) (20.8.7) Таким образом, аг8(Г(тот)) = аг8(Г,(но)) + аг8(г(ег(1+ Сд~(вот)Т (тот))) (20.8.8) Обозначим максимум (или модуль) собственного значения Сд~(2от)То(2от) через ~Л~ювв.
Тогда из свойства 3 равд. 20.7.1 мы имеем, что о(Сдт(зот)Т (тю)) <1=о ~А~ <1 (20.8.9) Это подразумевает, что приращение аг8(оев(1+ Сдт(тто)То(тот))) при изменении от от -оо до оо равно нулю. Отсюда следуетп тпребуемый результат. С1С1П Пример, который иллюстрирует количественно эти ошибки, приведен далее. 2 з+1 1 (з + 1)(з + 2) 2 з+2 С (з)= (20.8.10) (з+1)(з+2) 20 (в+1)(в+10) (в+1)(в+2) 1 40 (з+ 1)(з+ 2) (з+ 2)(з+ 20) С(з) = (20.8.11) Пример 20.8.
М1МО-обвектп имеет номинальную и истинную модели С„(з) и С(з) соотпветстпвенно, где 20.9. Резюме 647 Нужно найтпи левую МОМ-матрицу Сты(з) и зрафик вырожденных значений. Решение Из уравнения (20.8.1) мы видим, что Сд1(з) можно вычислить по формуле СЫз) = С(з)[С (з)Г'-1 (20.8.12) Это дает (20.8.13) Сд~(з) = Заметим, что для з = 0 все злементпы матприцы равны нулю. Эпю согласуется с природой ошибки, поскольку С(0) = С (О).
1о ' В Частота ~рад/с) 1о' Вырожденные значения С,а1(з), вычисленные с помощью команд пакета МАТЮКАВ, дают зрафик, показанный на рис. 20.5. 20.9. Резюме ° В предыдущих главах мы рассмотрели проблему управления единственным выходом с помощью единственного входа (81БО-системы). ° Однако в ряде случаев проблемы управления требуют, чтобы многие выходы управлялись одновременно; чтобы это обеспечить, должны использоваться много входов, обычно при этом искусно организованных (М1МО-системы).
о Примером может быть автопилот самолета: должны поддерживаться скорость, высота, углы тангажа, крена и рысканья; ком- 1о ю ° ~ о аа а -ю а з а -зо ~6 -оо ю д 10 — 4зз 2зг+4з 4зз+52зг+127з+70 4зз+52зг+127з+70 2зг+ 2з — 4зз — 12зг+ 8з 4зз+92зг+247з+140 4зз+92зг+247з+140 Рис. 20.5. Вырожденные значения МОМ-матрицы 648 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления пенсаторы, несколько рулей и крылья могут рассматриваться как управляющие переменные.
о Пример химического процесса: должны регулироваться выработка и производительность; тепловая энергия, исполнительные механизмы клапанов и различные обслуживающие параметры могут использоваться как управляющие переменные. ° Основная трудность в достижении необходимого гармоничного сочетания входов заключается в мультипеременном взаимодействии, известном также как свлзноспть. ° С точки зрения входа-выхода два фундаментальных явления являются результатом связности (см. рис. 20.6): в) нз Рис. 20.6. Два явления, связанные с мультипеременнымн взаимодействиями а) единственный вход воздействует на несколько выходов; б) несколько входов затрагивают единственный выход.
° Мультипеременные взаимодействия в форме, показанной на рис. 20.6, добавляют существенную сложность в М1МО-управление. ° И модель пространства состояний, и модель передаточной функции могут быть обобщены на М1МО-модели. ° М1МО-матрица передаточных функций может быть получена из модели пространства состояний с помощью выражения С(в) = С(а1— А) 'В+Р.
° Вообще, если модель имеет тп входов и е К"' и 1 выходов у Е К', то о матрица передаточных функций состоит из 1 х тл Я1ЯО- передаточных функций и о для и-мерного вектора состояния х Е К" матрицы модели пространства состояний имеют размерности А е К"х", В е К"""', С ~ К~хи ?~ ~ К~хт ° Некоторые свойства М1МО-моделей и результаты их анализа прямо следуют из Я?ЯО-теории: о преобразования подобия в реализациях пространства состояний; о наблюдаемость и управляемость; о полюсы.
° Другие М?МО-свойства, обычно из-за взаимодействий или того факта, что матрицы не коммутативны, являются более тонкими или сложными, чем их Я1ЯО-анвлоги — например, о нули; о левые и правые матричные дроби. 20.10. Литература длв последующего чтенив 649 20.10. Литература для последующего чтения Мультипеременные линейные системы 1. Са)йег, Р. апь1 Реяоег, С. (1982).
МийьчапаЫс Реет!ЬасЬ Яузгетпа БрппбегЧег!а8. 2. КЫ!аГЬ, Т. (1980). Е ьпеаг Яуз!епьз. Ргепс!се-НаИ, Еп81етчоо<1 СИ!Ея, )т!.Л. 3. Мас!е)оьчяЫ, Л.М. (1989). Ми!!ьоапаЫс Рот!ЬасЬ Резьдп. АьЫ1яоп-Чуея!еу, %о!ь!п6Ьаьп, Епа!апь!. 4. Могяг1, М. ап6 Еайпоп, Е. (1989). ВоЬиз! Ргоссзз Соп!го!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
