Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 107
Текст из файла (страница 107)
21.2. Полностью децентрализованное управление 655 Основное упрощающее предположение полностью децентрализованного управления †, что с взаимодействиями можно обращаться как с некоторыми видами возмущения. например, если первый выход у1(с) М1МО-объекта размерности т х т может быть описан (в форме преобразования Лапласа) следующим образом Юз) =Сы( )У1( )+~ С11( )Ф ) (21.2.1) Пример 21.1.
Рассмотрим обвект с двумя входами и двумя выходами, имеющий передаточную функцию С (з) = С11(з) С12(з)~1 С;1(з) С;2(з)~ (21.2.2) 2 зг+Зз+2 Й12 С12(з) =— з+1 (21.2.3) СР л21 г1(з) зг+ 2з+1 б 22( ) = зг+ ба+ 5 (21.2.4) то вклад каждого входа, отличного от и1, мог бы рассматриваться как выходное возмущение С11(з)Ц(з) для первого Б1БО-контура. Этот подход, конечно, строго говоря, некорректен; сущность истинных возмущений в том, что они являются независимыми входами.
Однако при некоторых условиях (в зависимости от амплитуды и спектра частот), эта точка зрения может дать приемлемые результаты. Заметим, что идея рассмотрения М1МО-объекта как множества Б1БО-объектов может преобразовать полностью мультипеременную систему в набор более простых Б1БО-систем, которые проявляют небольшое взаимодействие друг с другом. Однако для простоты в дальнейшем мы будем использовать децентрализованное управление просто в смысле полностью децентрализованного управления.
Читатели, знакомые с практическим управлением, поймут, что существенная доля реальных систем использует децентрализованные структуры. Отсюда возникает вопрос, существуют ли такие ситуации, при которь1х децентрализованное управление не будет давать удовлетворительное решениер Позже, в гл. 22, мы приведем несколько реальных примеров, которые требуют М1МО-подхода, чтобы получить удовлетворительное решение. В качестве учебного примера, где децентрализованное управление может не подойти, рассмотрим следующий М1МО-пример. 6% Глава 21.
Использование 3130-технологий в М1МО-управлении Пусть 112 и 121 зависятп отп рабочей тпочки (обычная ситуация на практике). Мы рассмотприм четыре рабочие точки. 9 Т,1(з) =Т,г(з) = зг+ 48+ 9 (21.2.5) Соответствующие передаточные функции регулятпора С1(з) и Сг(з) будутп 4.5(з +35+2) С ( ) 1.5(з +58+6) з(з+ 4) ' з(з+ 4) Эти независимые контуры определяются, ках и было предсказано, выбором дополнительных чувстпвитпельностей. Рабочая точка 2 (112 = 121 = 0.1) Оставим тпот же регулятлор, что и для рабочей точки 1.
Зададим единичный ступенчатпый эталонный сигнал для выхода 1 в момент 1 = 1 и единичный ступенчатпый эталонный сигнал для выхода 2 в момента 1 = 10. Реакция замкнутого контура показана на рис. 21.1. Эти реэультатпы, вероятно, следует рассматприватпь довольно приемлемы ии, даже с учетном тпого, что эффекты связи тпеперь в реакции очевидны. 1.5 1 и 2ч ол ья 3 Н ' й я Я-О.в 25 го 2 " -1.5 О 2 4 6 8 10 !2 14 16 18 28 ВРемЯ (О) Рис.
21.1. Влияние слабого взаимодействия в контурах управления при ББО-проектировании Рабочая точка 1 (й12 = й21 = О) Ясно, чтло в этой рабочей точке нет никакого взаимодействия. Таким образом, мы лтожем благополучно проектпироватпь два $1$0- регулятпора. Для определенностпи скажем, что мы стремимся к следующим дополнительным чувствительностаямт 21.2.
Полностью децентрализованное управление 657 Рабочая точка 3 (Й12 = -1, й21 = 0.6) С теми же самыми регулятпорами и при птех же испытаниях, что и для рабочей я!очки 2, мы получим результаты, приведенные на рис. 21.2. 1.6 „ь 1 но мю !' 14 я М 6.6 ли о з Ф 3 6ии зо и -1.6 'о 2 4 6 В 1О 12 14 16 18 20 Время (с) Рис. 21.2.
Влияние сильного взаимодействия в контурах управления при 5150-проектировании Мы видим, что теперь изменение этпалонного сигнала в одном контуре суитественно воздействует на вь1ход в другом контуре. Рабочая точка 4 (к!2 = — 2, кгт = — 1) Теперь моделирование с теми же самыми эталонными сигналами показывает, что вся систпема становится неустойчивой. Мы видим, чтпо исходный 3130-проекта стал недопустимым в этой заключитпельной рабочей точке.
Чтобы получить более глубокое понимание проблемы устойчивости, мы должны вычислить четыре передаточных функции, которые моделируют отноизение между двумя этпалонными сигналами Вт(з) и 422(з) и двумя выходами Ут(з) и Уг(з). Эти передаточные функции могут быть представлены в матричной форме (21.2.7) где Если мы рассмотприм случай, в котором Й12 = -2 и к21 = — 1 и подставим (21.2.3), (21.2.4) и (21.2.6) в (21.2.7), то получим, что 658 Глава 21. использование 3180-технологий в м!ме-управлении выражение (1+ С (з)С(з)) ьС (з)С(з) будет равно 9з4+ 40 5зз+ 67 5зг 18з 81 Ззз ЗОВ 105зз 150зг 72 д(з) [ 4 бз4 31 5зз 63зг Збз 9з4+ 40 5зз+ 67 5зг 18з 81 (21.2.9) где д(з) зв+10зз+51з4+1345зз+164 5зг+18з 81 (21.2.10) которое, очевидно, является неустпойчивым.
(Фактически, имеется полюс замкнутого конпьура в точке 0.5322.) Мы видим, что хотя независи.мое проектпирование регуляторов и гарантирует устойчивость для «невзаимодействуюиьих хонтуровв, когда вознихаетп взаимодействие в модели обзехта, может возникнуть неустойчивость или недопустимая харахтеристика.
Предлагаем читпапьелю использовать схемное реиьение в файле тпьтпо1.тд1 пакета ЯМУХ7«тК, чтпобы исследовать другую динамику взаимодействия. ППП Из этого примера видно, что могут возникнуть неожиданные проблемы, когда игнорируются М1МО-взаимодействия. 21.3. Обьединение в пары входов и выходов Л,у = [С.(0)]0[Со-ь(0)]ьч (21.3.1) где [Со(0)]ьу и [С ~(0)]ьд обозначают ьу-й элемент матрицы усилений объекта на нулевой частоте и тьтй элемент обратной матрицы усилений на нулевой частоте соответственно.
Заметим,что [С (О)], соответствует усилению на нулевой частоте от ь-го входа и; к т'-му выходу у, в то время как остпальная частпь входов иь при 1 Е 11,2,...,ь — 1,ь+1,...,т) сохраняется постоянной. Аналогично [Со ь(0)]; является обратной величиной усиления на нулевой частоте от ь-го входа и; к 2-му выходу у, в то время как остальная часть выходов Если нужно использовать децентрализованную структуру, то следует соединить парами входы и выходы.
В случае передаточной функции объекта размерности т х т имеется т! возможных соединений. Однако часто можно использовать физические соображения, чтобы предложить осмысленные пары или устранить пары, которые будут мало полезны. Один из методов, который можно использовать, чтобы предложить соединения,— параметр, известный как массив отпноситгльных усилений (МОУ).
Для М1МО-систем с матричной передаточной функцией С„(з) МОУ определяется как матрица Л с ьт'-м элементом 21.3. Объединение в пары входов н выходов 659 Пример 21.2. Рассмотрим снова систему, изучаемую в примере 21.1. Это М1МО-система, имеющая передаточную функцию 2 ~12 зг+Зз+2 в+1 к21 6 (21.3.2) С (з) = зг+2з+1 зг+5з+6 Тогда массив относительных усилений имеет вид 1 к121г21 1г12 1г21 1 1г12 1г21 -Й1гйг1 1 (21.3.3) 1г121г21 1 к12к21 Для 1 > Й12 > О, 1 > Й21 > 0 массив относительных усилений предлагает пары (и1,у1), (иг,уг). Напомним из равд. 21.2, что эти пары действительно работали очень хорошо для к12 = к21 = 0.1 и весьма удовлепгворительно для й12 = -1, й21 = 0.5.
В последнем случае массив относительных усилений равен (21.3.4) Однако для й12 = -2, й21 = -1 мы выяснили в равд. 21.2, что централизованный регуллп1ор, основанный на парах (и1,у1), (иг,уг), уже был неустойчив. Соответствующий массив относительных усилений в этом случае л=[ (21.3.5) который указывает, что, вероятно, следует изменить пары на (и1, уг), (иг, У1).
С1С1С1 у1 при 1 Е (1,2,...,1 — 1,1+ 1,...,т) сохраняется постоянной. Таким образом, параметр Л; указывает на то, насколько весома пара 1'-го входа С 1"М ВЫХОДОМ. В частности, обычно стремятся выбрать пары таким образом, чтобы диагональные элементы Л были большими. Однако при этом пытаются также избежать соединений, которые приводят к отрицательным диагональным элементам в Л. Ясно, что эта мера взаимодействия рассматривает только установившееся состояние. Тем не менее, эмпирические наблюдения показывают, что она хорошо работает во многих практических случаях.
Проиллюстрируем это простым примером. 660 Глава 21. Использование 3180-технологий в М1МО-управлении 3.7(1- уг) 3.771 62в+ 1 (23в+ 1)(62в+ 1) 4.77г 90в+ 1 С(з) = (21.3.6) 4.7(1 - 71) (30в + 1)(90в + 1) Напомним также, что выбор 'ут и 7г мог переместипть один из нулей системы из левой в правую полуплоскость хомплехсной плоскости. Массив относитпельных усилений для этой системы Вспомним из примера 20.4, что для 1 < ут+7г < 2 система являетпся минимально-фазовой. Если мы возьмем, например, у1 — — 0.7 и уг = 0.6, то массив относительных усилений равен -0.4 1.4 Зто говорит, что мы можем выбрать пары (имут) и (иг,уг). Поскольку систпема минимально-фазовая, проектироватпь децентрализованный регуллтпор в этом случае относительно легко.
Например, следующий децентрализованный регулятор дает результаты, показанные на рис. 21.3 1 / 1 ~ Ст(в) = 3 1+ — ); Сг(в) = 2.7 ~1+ — ) (21.3.9) 10в ) 20 ) Из того отсе примера 20.4 напомним, что для 0 < ут+ уг < 1 система неминимально-фазовая.
Если мы возьмем, например, 'ут = 0.43 и 'уг = 0.34, то система имеет неминимально-фазовый нуль при в = 0.0229 и массив отаносительньтх усилений стпановится следующим: 1-0.64 1.64 1 ~ 1.64 — 0.64~ (21.3.10) Это наводит на мысль переключить (ут,уг) для целей децентрализованного управления. Физически это понятпно, тпак как потпоки в этом случае протекают именно так. Такая ситпуацил ведетп к новому массиву относительных усилений (21.3.8) — 0.64 1.64 (21.3.11) Пример 21.3 (Аппарат с четырьмя резервуарами, продолже- ние). Рассмотрим снова аппарат с четптнрьмя резервуарами из приме- ра 20.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
