Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Реакция в установившемся состоянии для ступенчатых входных сигналов Реакции в установившемся состоянии также имеют много общего с Я1ЯО-случаем. Здесь, однако мы имеем векторные входы и выходы. Таким образом, мы рассмотрим ступенчатые воздействия, поступающие от конкретных направлений — т. е. приложенные к различным комбинациям входов во входном векторе.
Это можно получить, определяя В(з) = Кг — ~ Рв(з) = К~и-' Ро(з) = Кео — (20 6 1) 1 1 1 3 3 3 где К„е 1сп, Кги Е гкгп и Кз, Е ~а — постоянные векторы. Отсюда следует, что если контур устойчив, то все сигналы в контуре достигнут постоянных величин в установившемся состоянии.
Эти величины могут быть вычислены из (20.4.2) — (20.4.4) на основании теоремы о конечном значении, что дает 1пп у(Ф) =Т (0)К, +Б (0)Ке,+Бы(0)Кои (20.6.2) 11пт и(г) = Боо(0)Кт — Боо(0)Кзо — Био(0)сяо(0)Хат (20.6.3) 1пп е(1) = Б„(0)К, — Бо(0)Кзо — Бш(0)Квт (20.6.4) Можно также исследовать условия, которые приводят к нулевым ошибкам в установившемся состоянии. Чтобы проиллюстрировать зто, получим следующий результат для случая ступенчатого эталонного сигнала. Лемма 20.4.
Рассмотрим устойчивый М1МО-контур обратпной связи, показанный на рис. 20.3. Предположим, что эталонный сигнал Рс(з)— вектор, задаваемый вьгражением (20.6.1). Ошибка в устпановившемся состпоянии 1-го канала, е;(оо), равна нулю, если 1-я строка чувствитпааьностпи Б (0) нулевая. При этих условиях 1-я строка чувствительности Т (0) — элементарный вектор е; = [0...0 10...0]~. Доказательство Рассмотрим этпалонный вектор, ках в (20.6.1).
Тогда ошибка в устпановившемся состоянии е;(оо) удовлетворяегп условию е;(оо) = [Б(0)];,К, = 0 (20.6.5) где [Б (0)];, — тхя строка Б (0). Однахо е;(со) = 0 длл каждого постоянного вектора Кг, в то время ках (20.6.5) удовлетворяется, только если [Б(0)];, имеетп все нулевые элементы, т. е. Б гперяет ранг при з = О. Это — точное определение нуля М1МО-системьй как обвясняется в равд.
В.5. 634 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления Свойство ?-й строки чувствитпавьности Т„(0) — прямое следствие условил Я (а) + Т (а) = 1 и свойства ?-й строки чувстпвитпельности Б (О). ОГз0 Аналогичные результаты имеются для входных возмущений. Мы оставляем читателю получение соответствующих условий. 20.7. Анализ в частотной области Для Б?БО-случая мы выяснили, что частотная область дает ценную информацию для понимания реакции замкнутого контура на различные входные воздействия. Это верно и в М1МО-случае.
Однако чтобы использовать эти возможности, мы должны расширить понятие усиления в частотной области на мультипеременный случай. Это — предмет следующего раздела. 20.7.1. Главные усиления н главные направления Рассмотрим М1МО-систему с тп входами и т выходами, которая имеет матричную передаточную функцию С(в) размерностью т х тп: 1'( ) = С( )?7(в) (20.7.1) Получим соответствующую частотную характеристику, задав а =уи. Это приводит к вопросу: Как можно определить усиление М?МО- системы в частотной области т Чтобы ответить на этот вопрос, будем следовать той же идее, которая использовалась для описания усиления в Я?ЯО-системах, где мы использовали частное абсолютной величины (скалярной) выхода объекта ~У(ум)~ и абсолютной величины (скалярной) входа объекта ~??Цш)~.
Для М1МО-случая это определение усиления не подходит, потому что мы должны сравнить вектор выходов с вектором входов. Чтобы преодолеть эту трудность нужно использовать нормы векторов вместо абсолютных величин. Могла бы быть использована любая подходящая норма. Для обозначения нормы вектора и будем записывать ЙиЙ. Например, мы могли использовать евклидову норму, определяемую следующим образом: = ~/ийи (20.7.2) М= где ин обозначает сопряженное транспонирование. Кроме того, нужно понимать, что в М1МО-случае мы имеем проблему направленности: амплитуда выхода зависит не только от амплитуды входа (как в скалярном случае), но также и от относительных амплитуд компонентов входа.
На некоторое время зафиксируем частоту ю, тогда 20.7. Анализ в частотной области 63$ ЦСЦ= и !17! ЦС17Ц (20.7.3) цттуо ЦП Мы называем ЦСЦ индуцированной нормой С, соответствующей норме вектора ЦУЦ. Например, когда в качестве нормы вектора выбрана евклидова норма, ЦхЦ= I~нх (20.7.4) то мы имеем индрцированную спектральную норму С', определяемую следующим образом: !!~Ц! 17н~нс117 ЦЧ! = апр ЦЫЦ = впр 17н17 (20.7.5) Фактически, понятие индуцированной нормы близко связано с понятием «вырожденные значения». Чтобы показать эту связь, вспомним определение вырожденных значений комплексной матрицы Г размерности тп х 1. Множество вырожденных значений Г есть множество мощности к = птш(1,тп), определенное следующим образом: (смог,...,тть) = собственные значения Г Г при т(1 (20.7.6) при пт >1 собственные значения ГГ Заметим, что вырожденные значения — вещественные положительные числа, потому что Г Г и ГГ являются эрмитовыми матрицами.
Напомним, что й(2ю) называется эрмитовой матрицей, если й (тот) = н . й~( — тто) = й(2ы). Принято упорядочивать вырожденные значения следующим образом: пои,з = ат > ттг > аа... > оа = отл,. (20.7.7) Когда нам нужно будет сделать явной связь между матрицей Г и ее вырожденными значениями, мы будем обозначать вырожденные значения как о;(Г) для т = 1,2,...,Й. Другой интересный результат заключается в том, что, если Л,„и Л с«являются максимальным и минимальным собственными значениями эрмитовой матрицы А соответственно, то хНАх х~Ах Ц Ц'' Лтато = 1п1 ц ц, (20.7.8) можем заметить, что для фиксированной частоты ю матричная передаточная функция представляет собой простую комплексную матрицу С.
Один из возможных способов определить усиление М1МО-системы на частоте ы — это выбрать норму матрицы О, которая использует максимизирующее направление, связанное с входом У. Таким образом, мы оп е елим 636 Глава 20. Анализ М!МО-контуров управления Эти идеи мы применим к ЦСЦ, которая определена в (20.7.5).
Взяв Л = С~С, получим, что Г1н Сн С11 ЦСЦ = епр = Л„,ав(С~С) = о,на, (20.7.9) ЦЦфе где о, — максимальное собственное значение С С. Значение огоа„ 2 Н дает максимальное вырожденное значение С. Таким образом, индуцированная спектральная норма С есть максимальная вырожденная величина С. Некоторые свойства вырожденных величин, интересные для М1МО-анализа и проектирования, будут обобщены позже. Рассмотрим две матрицы й и Л размерности т х тп и вектор х размерности т х 1.
Обозначим через Лт(й),Лз(й),...,Лгл(й) собственные значения й. Тогда вырожденные величины этих матриц обладают следующими свойствами: зо1 о(й) = и (Й) = о1(й) = шах — и (х!ен []х[[ ]]ЛхЦ ст(Л) = опг, (Л) = стт(Л) = шах —. /а!ЮН ЦХЦ зой о(й) = о„„„(й) = ст„,(й) = ш1п и ЦйхЦ !з!ЕИ ЦХЦ о(Л) = они„(Л) = ст (Л) = ппп ЦЛхЦ [в[Ей ЦХЦ зоЯ ст(й) < ]Л;(й)] < ст(й), для с = 1,2,...,т. зо4 Если й является невырожденной, то ст(й) = [о(й 1)] и о(й) = [сг(й ')] ' зе5 Для любой скалярной величины сс, ос(сгй) = [ст[стс(й), для в = 1,2,...,гп. зоб ст(й+Л) < ст(й)+о.(Л).
зо7 о(йЛ) < о.(й)сг(Л). зи8 [ст(й) — сг(Л)] < сг(й+ Л) < сг(й) + т(Л). зо9 шах[й]сь < ст(й) < т х шах[й]иа зо10 Если й = 1 — единичная матрица, то о(й) = ст(й) = 1. Некоторые из вышеупомянутых свойств следуют из факта, что максимальная вырожденная величина является нормой матрицы; другие— из факта, что вырожденные величины являются квадратными корнями собственных значений матрицы. Возвращаясь к описанию системы С в частотной области, вырожденные значения С станут (вещественными) функциями частоты ы и известны как главнвсе усиления. Важное замечание состоит в том, что 20.7.
Анализ в частотной области 637 вырожденные значения и собственные значения матричных передаточных функций пе лвллютпсл рациональными фупкциллси параметра з (или ш в случае частотной характеристики). Важное следствие вышеупомянутых определений — зто ЦУ(2ш) Ц ст(С(2ш)) «, ст(С(2ш)) Чш Е К (20.7.10) Это подразумевает, что минимальное и максимальное главные усиления дают соответственно нижнюю и верхнюю границы для значения усиления по любому входу. Предположим теперь, что когда ш = шс, мы выберем У(з) таким, чтобы Ус = У(2шс) был собственным вектором Сн(2шс)С(2шс), т. е.
Сн( ) С( )17 зП (20.7.11) Тогда мы имеем, что Ц1'Ц = М!Н (20.7.12) и стс известно как главное направление, связанное с единичным значением ст;. Норма, определенная в (20.7.5), — норма, «знающая» о частоте. Другими словами, это — норма, которая зависит от ш. 20.7.2. Отслеживание Пойдем дальше, используя соответствующим образом свойства вырожденных значений, представленные в предыдущем разделе. Рассмотрим, например, свойство 4; тогда ст(Б (тш)) =ст([1+С (тш)С Ош)] ~) = (ст(1+С (тш)С (тш))) (20.7.15) Далее мы рассмотрим, какие условия в частотной области необходимо обеспечить для хорошего отслеживания эталонных сигналов.
Напомним, что Е(г) = Б (з)В(г). Таким образом, мы можем получить объединенную меру амплитуды ошибок во всех каналах, рассматривая евклидову норму Е(1ш). Поэтому рассмотрим ЦЕ(уш) Цз =, ЦВ(2ш) Цз < ст(Бо(2ш)) ЦВ(2ш) Цз (20.7.13) ЦБ (я' )л(2ш)Ц2 (уш) Ц2 Из етого выражения мы видим, что маленькие ошибки гарантируются, если величина ст(Бо(~ш)) мала в диапазоне частот, где ЦЩш) Цз имеет существенное значение. Заметим, что Б„(з)+Т (г) = 1 и, следовательно, ст(Бо(2ш)) «1 с=о о(Т (2ш)) = ст(То(тш)) = 1 (20.7.14) 638 Глава 20. Анализ М)МО-контуров управления а используя свойства 8 и 10, мы получим, что (ст(1+ С (уса)С (уса))) ~ < [о(С (уса)С (уса)) — 1[ ~ (20.7.16) Таким образом, мы видим, что для обеспечения маленьких ошибок во всех каналах нужно величину о(С (уса)С (уса)) сделать как можно больше в диапазоне частот, где значение ЦВ(уса)Цз существенно.
Замечание 20.5. Можно установить интересную связь с анализом установившегося состояния, вмполненньсм в равд. 20.6. Там мм определили, что нулевая ошибка отслеживания на нулевой частоте будет получена, если Б (0) = О. Это подразумевает, чтпо сг(Б (О)) = ст(Б (О)) = 0 и ст(С„(0)С(0)) = ст(С (0)С(0)) = оо (20.7.17) ппп Далее мы посмотрим, во что обходится хорошее отслеживание в смысле величины энергии выходного сигнала регулятора. Вспомним из (20.4.8) и (20.4.3), что У(з) = [С (з)] сТ (з)тс(з). Тогда Цаса)ЦЬ < о([Со(асс)[ ТвЦсо))ЦВ(уса)Цг (20.7.18) Используя свойства 4 и 7, это уравнение может быть записано следующим образом: ЦГГ(уса) Ц2 < С ° ! [Щсо) Ц2 ст(Тв(уса)) (20.7.19) о( оЬ")) Таким образом, хорошее отслеживание (т. е.
о(Т„(уса)) = 1 в диапазоне частот, где о(С (уса)) « 1) может привести к большим сигналам управления. С другой стороны, если используется безопасный подход к проектированию, такой, что о(Т (тсо)) и ст(С (тсо))) не отличаются существенно в полосе частот эталонного воздействия, то можно ожидать, что чрезмерных управляющих воздействий на будет. 20.7.3. Компенсация возмущений Далее мы рассмотрим вопросы подавления возмущений. Для иллюстрации рассмотрим только случай входного возмущения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
