Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Если исследовать уравнение (20.4.4), то можно сделать вывод, что проблема компенсации выходных возмущений подобна проблеме обеспечения отслеживания, потому что диапазон частот эталонного воздействия и диапазон частот выходного возмущения обычно не пересекаются. Тот же самый подход применяется и к диапазону частот входного возмущения, где соответствующая передаточная функция — Бм(з) вместо Б (з). Для случая входного возмущения мы имеем, что ЦЕЦз < ст(Б (уса)С (уса))ЦРсЦЬ (20.7.20) 20.7. Анализ в частотной области 939 Кроме того, после применения свойства 7 это выражение можно переписать следующим образом: ЦЕЦз < ст(Б (7ы))о(С (7ы))ЦРтЦз (20.7.21) 20.7.4. Подавление шума измерения Влияние шума измерения на характеристику М1МО-контура можно также оценить количественно, используя вырожденные значения, как показано ниже.
Из (20.4.2) мы имеем, что для шума измерения ЦУЦ, < Г(Твом))ЦРитЦз (20.7.22) Таким образом, хорошее подавление шума получается, если о(Т (7то)) «1 в диапазоне частот, где шум существенен. Это эквивалентно требованию, что ст(8 (рот)) - 1. Шум измерения обычно существенен в более высоком диапазоне частот, нежели у эталонного сигнала и возмущений, так что это требование устанавливает фактический предел полосе пропускания замкнутого контура (измеряемой значением ст(Т Цот))). 20.7.5.
Направленность в анализе чувствительности Предыдущий анализ дал верхние и нижние границы, которые могут использоваться как индикаторы характеристики контура. Однако этот анализ пока не подчеркнул одну из наиболее существенных особенностей М1МО-системы, а именно, направленность: пропорция, в которой каждый компонент канала появляется в векторе сигнала (эталонного или возмущения).
Чтобы оценить, как это связано с предыдущим анализом, мы снова рассмотрим проблему отслеживания. Предположим, что эталонные сигналы всех контуров имеют единственную частоту ы„. Тогда, после завершения переходного процесса, Результаты нашего анализа мы можем теперь использовать для обеспечения отслеживания с малыми искажениями. Хорошая компенсация входного возмущения может быть достигнута, если о(С Цю)С (Уы))» 1 в диапазоне частот, где ст(Со(уот))ЦР,Цг имеет большое значение. Сравнение со случаем отслеживания показывает, что подавление входного возмущения как правило является более слабым требованием, потому что тт(С (уи))) обычно сама имеет свойства фильтра низких частот и, следовательно, т.т сама обеспечит предварительное ослабление возмущения.
640 Глава 20. лГнализ М!МО-контуров управления вектор ошибки (в форме фавора — вектора, вращающегося с определенной частотой) может быть вычислен из выражения Е(3оэг) = Бо (3отт)И3шт) (20.7.23) где г1(гм„) — вектор эталонного сигнала (в форме фазора). Предположим тепеРь, что Н(1ыт) совпадает с главным напРавлением (см. разд. 20.7.1), связанным с минимальным вырожденным значением Бо(7ы,); тогда ЦЕ(ро„)Цг= о(Бо(ую ))ЦЯУао.)Цг (20724) Сравнивая это с результатом в (20.7.13), мы видим, что если минимальное и максимальное вырожденные значения Б (уы„) существенно различаются, то верхняя граница в (20.7.13) будет действительной границей для фактического результата.
Это краткое обсуждение выдвигает на первый план важность направленности в М1МО-проблеме. К этой теме мы впоследствии вернемся. Чтобы проиллюстрировать основные проблемы, рассмотрим следующий пример. Пример 20.6. В М1МО-контуре управления дополнительная чувствительность имеет вид 9 — з Т ( ) = зг+5з+9 зг~ 5э+9 з 3(э+ 3) (20.7.25) эг+5э+9 эг+5э+9 Контур имеет выходные возмущения, определяемые выражениями д ($) = (К1 а1п(отэ1 + стт) Кг эш(ыэ1+ стг)1 (20.7.26) Нужно определить частоту ыэ, отношение К1(Кг и разность фаз а1 — стг, которые максимизируют евклидову норму установившейся ошибки ЦЕЦг.
Решение В установившемся состоянии ошибка — вектор синусоидального колебания частоты отэ. В этом случае можно испольэоватпь анализ с помощью фаворов. Представление выходного возмущения в виде фавора следующее: р (К та1 К айаг~ (20.7.27) Из (20.4.4) мы видим, что ошибка отп выходных возмущений имеет противоположный знак по сравнению с ошибкой для эталонного сигнала. Тогда из уравнения (20.7.13) мы имеем, что для любого отношения К1уКг, такого, что (1Ю Ц = 1, справедливо условие: ЦЕ(уотэ) Цг = шах ЦЕ(тот)Цг < тахо(Б„(7от)) = ЦБ Ц~ (20.7.28) 20.7. Анализ в частотной области 641 0, 1О' 1О' 1О' 1О' Частота (сад/с) Верхняя граница в (20.7.28) точно достпигается, когда направление фавора возмущения совпадает с главным направлением, связанным с максимальным вырожденным значением Яо(усов) (см.
равд. 20.7.1). Сначала получим Я (з), используя равенстпво Т (з) + Я (з) = 1. з(з+ 5) з зг+5з+9 зг+5з+9 — з з(з+ 2) (20,7.29) Я (з) = зг «- 5з «- 9 зг + 5з «- 9 Мы можем теперь вычислитпь величину ш, при которой о(Я (уто)) имеет максимальное значение. Вырожденные значения Яо(уот) показаны на рис.
20.4. Отс1ода мы можем видетпь, что о(Я (уто)) имеет максимум при от-4.1 рвд/с. Таким образом, частота, максимизирующая подавление возмущения, отз = 4.1 рад/с. Напомним, что вырожденные значения матрицы й являются собстпвенными значениями матприцы йНй. Таким образом, чтобы вычислить главные направления Я (усов), мы должны вычислить собственные значения Я (усов)Я т ( — уота) (может использоваться команда зид пакета МАТЮКАВ).
Главные направления, связанные с этими двумя вырожденными ЗпаЧЕНиЛМи П(Яо(уьте)) и О(Яо(уата)), СООтестентВЕННО раВНЫ (20.7.30) (20.7.31) 1.4 „*1.г а 1 г а О.З иое $ 0.4 10 О.г Рис. 20.4. Вырожденные значения функции чувствительности ит = (0.884+ у0.322 -0.219+ у0.260] иг = [ — 0 340+уО 003 — 0 315+10 886~ 642 Глава 29. Анализ М!МО-контуров управления Нас интересует только значение иы которое можно записать в виде иг = 10.944г'.0.35 0.340г.'2.27~ (20.7.32) (Здесь первый парамеп1р каждого элемента (до знака г'.) означает модуль, а второй параметр (после знака г') — аргумент (в радианах) комплексного числа. — Прим.
перев.) Таким образом, максимизированное решение (т. е. самый плохой случай) будет, когда К1 0.944 — = 2.774 и сг1 — свг = 0.35 — 2.27 рад = -1.92 ргд (20.7.33) Кг 0.34 ПРО 20.7.6. Направленность в связи с компенсацией полигсов и нулей Проблемы направленности проявляются также и в связи с компенсацией полюсов и нулей и потерей управляемости или наблюдаемости. Рассмотрим, например, установку, используемую в ргзд. 17.9, где были представлены две каскадированные минимальные системы (Аы Вы Сг) и (Аг,Вг,Сг). Здесь мы предположим, что и е В., иг = уг е ВР и у Е ?ь', ранг Вг совпадает с числом столбцов, а ранг С1 совпадает с числом строк. Составная система имеет вид (А,В, С), где А= В С А , .В= 0 (20.7.34) С= [О Сг) =0 (20.7.35) Из гл.
3 мы знаем, что компенсация полюсов и нулей вызывает потерю наблюдаемости или управляемости. Однако в М?МО-случае также важны и направления, как показано в следующей лемме. Лемма 20.5. Составная система теряет наблюдаемость тогда и только тогда, когда д является полюсом системы 1 и нулем системы 2 таким, что существует хы который принадлежит нулевому пространству матрицы (81 — Аг), а С1х1 принадлежит нулевому пространству матрицы Сг (д1 — Аг) 1Вг.
Доказательство Тогда: следует непосредственно из проверки (20.7.34), (20.7.35) с помощью леммы 17.7. Только тогдав единственными величинами Л, удовлетворяющими уравнению (20.7.36) (А — Л1)х = 0 20.7. Анализ и частотной области 643 являютпся собстпвенные значения Ат или Аз.
Рассмотприм отдельно деа случал. а) (Л вЂ” собственное значение А1) ~ (соотпветствующий собстпеенный вектор — [х~1 хз)~, где х1 — собственный вектор А1 и хг = (Л1 — Аз) 1ВзСтхт). Далее Стх1 ф 0 на основании минимальности (АыВт,Ст). Следоватпельно, значение Сзхг равно нулю (как тпребуетпся при потпере наблюдаемостпи для состпавной системы), тполько если Стх1 ф 0 находится в нулевом простпранстве Сз(Л1 — Аз) ~Вз. Однако это подразумевает, что Л является нулем системы 2 и что Сзхт является нулевым направлением. б) (Л вЂ” собстпвенное значение Аз) ~ (соответпстпвующий собственный вектор — [О хтг)т, где хг — собственный вектор Аз).
Тогда недостаток наблюдаемости для состпавной системы тпребует Сзхг = О. Однако это наруизаетп минимальность систпемы 2. Следоватпельно, условие а) — единственная возможность. ППП Соответствующий результат для управляемости следующий. Лемма 20.6. Составная систпема теряетп управляемость тогда и только тогда, когда ст — нуль системы 1 и полюс системы 2 такие, чтпо сУществУетп хтг, пРинадлежащий лееомУ нрлевомУ пРостРанстпвУ матрицы (а1 — Аз) и хгтВз, принадлежащий левому нулевому пространству Сз (а1 — Ат) В1. Проблемы компенсации полюсов и нулей, рассмотренные в этих двух леммах, иллюстрируются следующим примером.
Пример 20.7. Рассмотрим две системы бт и Бг, имеющие, соответ- ственно, передаточные функции 2з+ 4 — 2 (з+ 1)(з+ 3) (з+ 1)(з+ 3) Сз(з) = — Зз — 1 -5з — 7 (20,7.37) (з+ 1)(з+ 3) (з+ 1)(з+ 3) 4 -1 (з+1)(з+2) з+1 2 — 1 з + 1 2(з + 1)(з + 2) (20.7.38) Сз(з) = Доказательство Доказательство аналогично тпакому же доказательстпву относитпельно наблюдаемости, приведенному выизе. ППП 644 Глава 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
