Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Далее, использовать некоторую форму супервизора н переключатель противонакопления, чтобы выбрать соответствующий регулятор (см. разд. 19.3, содержащий детали того, как это могло бы быть сделало). 3. Использовать проектирование изменяющегося во времени усиления на основе А, В, С, 1Э, Е, рассчитанных для текущей оценки состояния. 19.9.
Негладкие нелинейности Стратегии управления, описанные выше, требуют, чтобы нелинейности были «гладкими», т. е. дифференцируемыми и инвертируемыми. Во многих практических случаях встречаются негладкие нелинейности, например, типа зоны нечувствительности или залипания (см., например, регулятор уровня изложницы, описанный в гл. 8). С этими видами нелинейностей очень трудно иметь дело из-за специфических проблем их моделирования. (Заметим, что мы встречались с простой вибрацией в разд. 8.8.4, где имели дело с залипанием.) В некоторых случаях можно смоделировать нелинейный элемент, а затем предпринять корректирующие воздействия. Мы проиллюстрируем это ' по отношению к зонам нечувствительности.
Зона нечувствительности — явление, обычно встречающееся на практике в связи со свойствами механических исполнительных механизмов. 19.9. Негладкие нелинейности 589 Рис. 19.19. Предкомпенсатор зоны нечувствительности Маленькие зоны нечувствительности могут игнорироваться, потому что они не будут производить существенное ухудшение характеристик. Однако когда размер существенен, необходима некоторая форма компенсации. Для наших целей здесь будет достаточно определить зону нечувствительности т = РЯ(и) в виде О если г>и(г) > — г, и(г) — е если и(с) > г, и($) + г если и(г) < — г. т($) = РЯ(и(1)) = (19.9.1) где г — положительное число, которое определяет нелинейность. Заметим, что зона нечувствительности — негладкая нелинейность; она имеет разрывную первую производную.
Однако существует предкомпенсатор для этой нелинейности, как показано на рис. 19.19. Из рис. 19.19 просто проверить, что т(с) = й(с). Преимущество этой компенсации иллюстрируется на следующем примере, где размер зоны нечувствительности был преувеличен, чтобы подчеркнуть различие. Пример 19.6. Рассмогприм обвект, имеющий модель вида У(з) = — ( М(з) + Рд(з) с т(с) = ЮЯ(и) (19.9.2) 2г' 4 з 'т,(в+2) Предположим, чтпо зона нечувствитааьностпи опредгляегпся параметпром г = 0.5. Рд(з) обозначает преобразование Лапласа обобщенного возмущения дд(г).
Управление с одной стпепенью свободы разработано, учитывая линейную часгпь модели. Используется стратпегия размещения полюсов с интегрированием в регуляторе для характеристического полинома замкнутого конгпура Ас1(з) = (зг+ За+ 4)(з+ 5)г, что дает регулятор 4.625зг + 14.375з +'12.5 з(з+ 11) 590 Глава 19. Введение в нелинейное управление Контур моделируется с компенсацией зоны нечувствительности и без нее. Эталонный сигноэà — прямоугольные колебания частоты 0.026 Гц и единичной амплитуды. Возмущение взято в виде с]г($) = ]5(8 — 10).
Результаты показаны на рис. 19.20. 1.5 и Ф 1 ол 3 и 3 -0.5 а! -1 -1.5 5 1О о 15 20 25 30 35 Время [с] Рис. 19.20. Влияние компенсации зоны нечувствительности на характеристику контура Иа рис. 19.20 график, помеченный через у1(1), описывает выход обвекупа без компенсации зоны нечувствительности. График, помеченный через узЯ, описывает выход обзектпа, когда используется компенсацця зоны нечувствительности, вида, показанного на рис. 19.19. Сравненбе у1(г) и уз(г) показывает преимущества компенсации зоны нечувствительности.
Заметим, что различие характеристик менее существенно для ступеньки эталонного сигнала при $ = 20 с. Причина эпюму — то, что из-за возмущения, отличного от нуля, установившийся вход зоны нечувствительности больше не равен нулю в отличие отп случая, когда 1 = О.
Таким образом, эффект зоны нечувствительности в основном эквивалентен изменению усиления процесса на нулевой частоте. Читатель может проверить другие идеи проекта, используя файл 21еасй..тгИ пакета Б1ЛП1ЫИК. В частности, читатель можетп изменить схемное решение, реализул регулятор в форме, требуемои чтобы добавить управление для протпивопакопления в присутствии насыщения входа (как на рис. 11.6). СЗПП 19.10. Устойчивость нелинейных систем Наконец, кратко взглянем на проблему устойчивости нелинейных систем с обратной связью. Мы рассмотрим две формулировки устойчивости таких систем — а именно, методы Ляпунова и методы функционального пространства.
19.10. Устойчивость нелинейных систем 591 19.10.1. Устойчивость по Ляпунову Основная идея устойчивости по Ляпунову состоит в том, чтобы показать, что существует положительно определенная функция (наподобие энергии) состояний, которая уменьшается вдоль траекторий системы. Положительно определенная функция обычно называется функцией Ляпунова. Основная трудность применения метода Ляпунова заключается в нахождении подходящей функции Ляпунова; как только это сделано, устойчивость следует сразу же. Прежде чем дать некоторые дальнейшие детали, мы сначала определим понятие глобальной асимптотической устойчивости для нелинейных систем. Сделаем это для дискретных систем, но аналогичные результаты имеются и для непрерывных систем, где разности заменены производными.
) Определение 19.2. Рассмотрим дискретную систему вида х[й+1] = ~(х[й]); х[й,] = х„ (19.10.1) Будем говорить, что система глобально асимптотически устойчива, если для всех начальных состояний х[й ] и для любого е > 0 существует значение Т, такое, что ]] х[й,+т] ]]< е для всех т > Т. ППП Учитывая это определение, проверка на глобальную устойчивость облегчается, если мы можем найти функцию У(х) Е К (функцию Ляпунова), обладающую следующими свойствами: 1) У(х) —,положительно определенная функция от х: т. е.
У(х) > 0 для всех х ~ О,У(х) непрерывная и строго возрастающая функция от ]х] и У(х) — радиально неограниченная, т. е. ]У(х)] — ь оо для всех []х]] -+ оо. 2) У уменьшается по траекториям (19.10.1), т. е. — (У(г" (х)) — У(х)) положительно определенная. (19.10.2) Тогда мы имеем следующую теорему Ляпунова. Теорема 19.1 (' Устойчивость по Ляпунову). Нулевое решение (19.10.1) глобально асимптотически устойчиво, если существует функция Ляпунова для системы, удовлетворяющая свойствам 1) и 2), приведенным въпие.
Доказательство Поскольку система инвариантна по времени, мы можем взять йе = О. Также, для [[х(0)]] < .со,У(х(0)) < оо. Предположим обратное, что теорема ложна; пю есть что имеется е > О, для которого не сущестпвует Т, такого, что []х(й)]] < и для всех й > Т. 592 Глава 19. Введение в нелинейное управление (У(у(х(й;))) — У(х(й;))) < — У(х(0)) (19.10.4) ь! <я мял Вдоль траектории (19.10.1) мм имеем У(х(1У)) = У( (О))+ „'У (У(х(й+ Ц) - У(х(й))) ь=е < У(х(0))+ ,'~ (У(х(й;+1)) — У(х(й'))) й;ев в,ви = У(х(0)) + ~~~ (У(Дх(й;))) — У(х(й;))) < 0 (19. 10. 5) в;в» где мм использовали (19.10.4).
Однако это противоречит положительной определенности У(х). Теорема доказана. ппп Применение методов Ляпунова будет дано в. гл. 23, где мы используем этот подход для доказательства устойчивости нелинейной модели общего вида с прогнозирующим алгоритмом управления. 19.10.2. Круговой крмтермй Использование критерия Ляпунова для анализа нелинейных систем является мощным инструментом. Главная трудность, однако, заключается в нахождении подходящей функции Ляпунова.
Имеется один класс задач, для которых существует изящное рещение проблемы нелинейной устойчивости — это системы с обратной связью, включающие линейный динамический блок вместе со статической (или с малым объемом памяти) нелинейной обратной связью. Это часто называется задачей Лурье— см. рис. 19.21. В дальнейшем мы должны будем использовать следующее следствие теории оптимального управления, которое приведем без доказательства. При этих условиях существует неограниченная последовательность целых чисел Я = 1й11, таких, что Ох(й;)О > е для всех й» Е Я. Используя (19.10.2), получим, что У(г (х(йв))) — У(х(йв)) < — ег (19.10.3) для некоторого ег > О.
Следовап1ельно, если мм добавим достаточное количество таких слагаемых, то можем заставить сумму стать меньше -У(х(0)). Пусть Ф обозначает индекс последнего момента, используемого в этой сумме. Тогда 19.10. Устойчивость нелннеяных систем 593 Лемма 19.1 (Лемма Калмана — Якубовича).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
