Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Однако в общем случае регуляторы могут иметь различные структуры, в том числе различное количество переменных состояния и включать нелинейные элементы. Чтобы справиться с этой общей ситуацией, мы размещаем каждый из резервных регуляторов в отдельный контур управления с обратной связью так, чтобы их выходы отслеживали выход активного регулятора, Это показано на рис. 19.5.
На рис. 19.5 и(1) обозначает выход активного регулятора (этот регулятор не показан в структуре) и С;(а) обозначает резервный регулятор, имеющий эталонный сигнал г($) для конкретного выхода объекта у($). На рисунке С;(а) обозначает регулятор для 1-го регулятора С;(в). Таким образом, в некотором смысле С;(а) — регулятор регулятора. Этот регулятор регулятора сравнительно легко спроектировать: объект в этом случае известен — в этом качестве выступаег 1-й регулятор.
Для данного контура сигналы г(1) и у(8) действуют как возмущения. В конкретном случае, когда г-й регулятор бисобственный и минимально-фазовый, оказывается, что совершенное отслеживание выходов активного регулятора возможно. Действительно, это точно то же самое, что и для структуры, изображенной на рис. 11.6. Примеры приложений общей структуры на рис. 19.5: ° насыщение исполнительных механизмов (где супервизор реагирует на насыщение входа); ° регуляторы с ограниченными состояниями (где супервизор реагирует на приближающиеся ограничения переменных состояния) — см. разд. 11.4; ° планирование усиления (где супервизор реагируег на некоторые измеренные переменные, например, высоту самолета или число Маха для выбора регулятора); 19.4.
Управление системами с гладкими нелинейностями 571 ° адаптивное управление (где супервизор реагирует на оцененные параметры модели). Заключительный момент — это то, что активное управление не должно определяться только выходом одного из Йс регуляторов, но может быть любым сигналом управления, включая ручные воздействия, или же быть комбинацией выходов всех регуляторов. Таким образом, можно, например, взять (19.3.1) где 0 < Л (й) < 1 и ~"' Л = 1, тй. Это может использоваться, когда супервизор осуществляет плавные переключения, формируя индивидуальные веса для каждого из регуляторов. Эти веса могли бы, например, быть вероятностями того, что каждый регулятор является работоспособным, или некоторой другой функцией принадлежности. Читатель может заметить, что мы уже использовали эту идею объединения регуляторов при ограничении переменных состояния в разд.
11.4. Третья проблема, поднятая в начале этого раздела, частично относится к нелинейному анализу робастности, как рассмотрено в разд. 19.2. Другая связанная с этим проблема — то, что требуется проанализировать влияние изменяющихся во времени линейных регуляторов. Первый шаг в этом направлении будет дан в равд. 19.10. 19.4. Управление системами с гладкими нелинейностями Когда нелинейности существенны, вышеупомянутое переключение могло бы привести к проекту с ограниченными возможностями. Если дело обстоит именно так, то следует рассматривать при проектировании принципиально нелинейные стратегии. Чтобы выдвинуть на первый план некоторые интересные особенности нелинейных задач, мы начнем с рассмотрения простого сценария, с котором модель является и устойчивой и инверсно устойчивой.
Далее мы рассмотрим более общие задачи. В последующем анализе нам будет нужно описать взаимосвязи линейных и нелинейных систем; поэтому, как мы делали в гл. 5, обратимся к использованию операторов. Одним из этих операторов для непрерывного по времени случая будет оператор Хевисайда р. 572 Глава 19. Введение в нелинейное управление 19.5. Статические нелинейности на входе 1 Рис. 19.6. Структура на основе принципа внутренней модели для управления (гладкими) нелинейными системами Рассмотрим структуру, показанную на рис. 19.6. Мы видим, что выходные возмущения имеют ту же самую точку приложения, что и эталонный сигнал. Это делает анализ более простым, нежели для входных возмущений.
В частности, предполагая, что объект в разомкнутом состоянии устойчив, а сЦ1) = О, видно, что ошибка ео(1) будет сходиться (для номинальной модели) к величине выходного возмущения. Напомним также, что в гл. 15 для линейного случая устойчивых и минимально-фазовых объектов фз) выбирался следующим образом: Я(з) = Ро(з) [Со(з)] (19.5.1) где Рд(з) — подходящий формирующий фильтр, который гарантирует, что функция Я(з) будет собственной и который косвенно разрешает связанные с этим компромиссы. Самый простой выбор — это сделать [РО(з)] ~ устойчивым полиномом степени, равной относительной степени Со(з).
В линейном случае это приводит к результату 9(1) = ~Ь(Ф)) (19.5.2) Тот же самый базовый принцип можно применить и к нелинейным системам. Самая простая ситуация — это когда объект имеет статическую нелинейность на входе и имеется только выходное возмущение; тогда выход номинальной модели имеет вид ц($) = Со(п($)) + "о($) = Со(ф(п)) + йоЮ (19 5 3) где Со — линейный оператор и ф() — статическая инвертируемая функция от и.
Вводя Ро как линейный устойчивый оператор соответству- Сначала исследуем нелинейную задачу управления как расширение идей гл. 15. 19.6. Гладкие динамические нелинейности 573 ющей относительной степени, получим нелинейный вариант (19.5.1) в виде ~(') = ф '(~.'(Р2('))) (19.5.4) Следовательно, и(г) = ф (т' ~(Рс1(тт($)))) (19.5.5) Заметим, что функция ф 1 является обратной функции ф объекта.
Таким образом, уравнение (19.5.5) представляет собой приближенную инверсию нелинейного объекта и непосредственно приводит к у(1) = 7ц(и($)) + И,($) (19.5.6) 19.6. Гладкие динамические нелинейности для устойчивых и инверсно устойчивых моделей Для этого класса систем мы по существу можем использовать структуру на основе принципа внутренней модели, показвттную на рис. 19.6. Параллельную модель легко построить. Поэтому мы сосредоточим внимание на приближенной инверсии в 1~(о).
. Рассмотрим класс нелинейных систем, в которых нелинейные особенности не обязательно ограничены входом объекта. В частности, рассмотрим объект, имеющий номинальную модель вида рх(г) = = Г" (х) + д(х)и(т) д дх(т) у(т) = Ь(х) (19.6.1) (19.6.2) Определение 19.1. Рассмотрим нелинейную систему, описанную уравненилми (19.6.1) и (19.6.2). Тогда отпноситпсльная сптепень системы — минимальная величина тт Е М, тявкая, что р"у(г) =ты(~)+~~(~) (4) (19.6.3) где р — оператор Хевисайда, а фунтсттия сто(х) нс равна всюду нулю. где х Е Ж", у Е И и и Е К.
Предположим, что Г'(х), д(х) и 1т(х)— гладкие отображения, в том смысле, что их первые я производных по х полностью определенные, где значение Й по крайней мере равно относительной степени нелинейной системы. Эта концепция определяется следующим образом. 574 Глава 19. Введение в нелинейное управление Пример 19.2. Рассмотрим систему, имеющую модель рх1(Ф) = х1(Ф) 0.1(хг($)) (19.6.4) рхг(1) = — 2х1(Ф) — Зхг(Ф) — 0.125(хг($)) + [1+0.1(х1(1)) ~ и($) (19.6.5) у(1) = хв(1) (19.6.6) Тогда, вычислив первую и вторую производные по времени от у($), получим ру(Ф) =рх1(3) = — х1(Ф) — 0.1(хг(1)) (19.6.7) р уЯ =1.4хв (в) + О.бхг (Ф) + 0.1хг(в) + 0.25хг (3) — '10.2+ 0.02х1(1)~) и(1) (19.6.8) откуда мм видим, что относительнал степень системы равна 2. ОСТАП Для системы, описанной уравнениями (19.6.1) и (19.6.2), имеющей относительную степень, равную и, если въя производная у($), в = О, 1, 2,..., и имеет вид (19.6.9) р'у(г) = Д(х) + сц(х)и(в), то мы получим, что ся(х) ив э 0 для 1 = О, 1,2,..., и — 1.
Рассмотрим теперь полинам от оператора р(р) = ~," р;р', тогда можно видеть, что р(р)у(г) = Ь(х) + а(х)и(г) (19.6.10) где Ь(х) = Яр;)31(х) и а(х) =р„а„(х) (19.6.11) 1=0 Далее мы покажем, как методы проектирования гл. 15 можно расширить на нелинейный случай. Вспомним, что в линейном случае нам нужно было инвертировать модель объекта (после использования Р(в), чтобы привести ее к бисобственной форме). Расширение этих идей на нелинейный случай — фактически весьма очевидно.
В частности, мы видим из (19.6.10), что если а(х) нигде не равна нулю для любого состояния х в рабочей области, приближенная инверсия для объекта получается просто, приравнивая в (19.6.10) р(р)у(Ф) величине р($). Это дает (после замены аргумента в уравнении) следующий результат для и(1): и(Ф) = (а(х)) (и(Ф) — Ь(х)) = Я(р) (19.6.12) где переменная р(Ф) определена на рис. 19.6. Тогда, объединяя (19.6.10) и (19.6.12), мы имеем, что р(р)уй) =Ф) <=ьу(1) =1р(р)) '( ) 19.6.
Гладкие динамические нелинейности 575 Рис. 19.7. Нелинейный наблюдатель Это означает, что если мы определим У<2(о) = [Р(Р)] (о) (19.6.14) 9(1) =Ра( (1)) (19.6.15) Наконец, чтобы получить точную инверсию на нулевой частоте, мы задаем ро = 1. Стратегия управления (19.6.12) обычно называется яиневризвцией обратной связи входа-выхода, потому что, как можно заметить из (19.6.15), это ведет к линейной замкнутой системе от входа и($) к выходу у(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
