Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 89
Текст из файла (страница 89)
000 Данная лемма показывает, что назначение полюсов полинома и обратная связь по восстановленному состоянию приводят к одному и тому же результату. Таким образом, единственное различие здесь — в способах реализации. Фактически, в той форме, как мы это представили, формулировка пространства состояний делает некоторые предположения относительно способа представления полинома. В частности, мы видим из уравнений (18.5.2)-(18.5.4), что наблюдатель основан на строго собственных передаточных функциях.
Согласно замечанию 7.2 это требует, чтобы полипом замкнутого контура был выбран, по крайней мере, степени 2п. Заметим, что компенсация сомножителя т(е1(в1-А +ЛС ) в (18.5.17) совместима с тем фактом, что переменные состояния наблюдателя не управляемы внешним сигналом г(с). 185. Интерпретации передаточной функции 547 а) б) Рнс. 18.2.
Теорема разделения в'форме стандартного контура Комбинация наблюдателя и обратной связи по восстановленному состоянию имеет некоторые простые интерпретации в терминах стандартного контура обратной связи. Первая возможная интерпретация вытекает непосредственно из уравнения (18.5.11), если выразить выход регулятора в виде (7(з) = — ~В(з) — — У(з) Е(в) т' — Р(з) Ь(з) ~ Е(з) (18.5.26) (18.5.28) Это представлено графически в части а) рис. 18.2. Мы видим, что это контур управления с двумя степенями свободы. Стандартный контур с одной степенью свободы получится, если мы выразим г($) через эталонный сигнал контура т (~) следующим образом: В(з) = В(з) — Р(з) (18.5.27) Тогда выражение (18.5.26) может быть записано в виде ьт"( ) = — (Е(з) -1 (з)) Р(з) = Цз) Это соответствует контуру с одной степенью свободы, показанному в части б) рис.
18.2. Заметим, что в части а) рис. 18.2 передаточная функция от В(з) до У(з) дэна выражением (18.5.17), в то время как в части б) того же рисунка передаточная функция от гт(з) до У(з) определяется выражением У(з) В,(з)Р(з) В~.в) Е(з)Р(з) где Р(з) дается выражением (18.2.16).
Здесь Е(з) появляется в знаменателе, благодаря конкретному выбору выражения В(з), которое заново вводит этот полинам. Замечание 18.2. Заметпим, чтпо из (18.5.14) следуепт, чтпо регуллтпор обратпной связи можетп бмпть реализован в форме простпранстпва 548 Глава 1в. Синтез с помощью методов пространства состояний состояний, как систпема из 4-х матприц (А„— Лф— ВоХ,Л,К,О). (МАТЮКАВ имеет специальную команду геу длл получения передаточной функции.) 18.5.3.
Передаточная функция для инновационного процесса В заключение дадим интерпретацию инновационного процесса, определенного в (18.3.4). Напомним, что и(с) =у(8) — С х(1) (18.5.30) Доказательство Мы видим, что сомножитпель у У(з) в (18.5.31) равен 1 — СоТо(з) = 1 — С (з1 — Ао+ЛСо) Л (18.5.33) = беФ(1 — (з1 — Ао+ЛС ) тЛСо) (18.5.34) =с1ей((з1 — А„+ЛС ) ~)с1еФ(з1 — А +Лф— ЛСо) (18.5.35) де1(з1 — А ) (18.5.3б) (18.5.37) с1ес(з1 — А + ЛС ) А,(з) Е(з) Это уравнение можно также выразить в терминах лапласовских передаточных функций, используя (18.5.2) в (18.5.4): Ео(з) = в", [и(Ф)] = У(з) — Со[Тт (з)У(з) + Тг(з)У(з)] = (1 — СоТг(з))У(з) — С Т1 (з)0(з) (18.5.31) Мы можем использовать этот результат, чтобы выразить инновационный процесс р(с) в терминах исходной передаточной функции объекта.
В частности, есть следующая лемма. Лемма 18.7. Рассмотприм модель пространства состояний (18.3.1)— (18.3.2) и соответпствующую номинальную передаточную функцию Со(з) = Во(з)/Ао(з). (Напомним, что матрицы описания пространства состояний выделены полужирным исрифтом, чтобы отличитпь их от полиномов, определенных тпеми же самыми символами.) Тогда инновационный процесс иф можетп быть выражен следующим образом: Е (з) — о У(з) о Цз) А,(з) Во(з) Е(з) Е(з) (18.5.32) где Е(з) — полинам, определенный в (18.5.5) и называемый характеристпическим полиномом наблюдателя.
18.6. иное толкование аффинноа паранетригации 549 (18.5.39) 18.6. Иное толкование аффинной параметризации всех стабилизирующих регуляторов Напомним, что понятие параметризации всех стабилизирующих регуляторов дано в разд. 5.7 (особенно обратите внимание на рис. 15.9). Далее будем считать, что Рг(в) = О, потому что эталонный сигнал можно всегда при необходимости добавить. Заметим, что входной сигнал У(в) на рис. 15.9 удовлетворяет условию У(в) У(з) + Яе(з) Цз) У(в) (18 6 1) Ь(з) Р(в) ~В,(з) А,(з) Мы можем соединить результат обратной связи по восстановленному состоянию и инновационной обратной связи от наблюдателя, используя результаты равд.
18.5. В частности, существует следующая лемма: Лемма 18.8. Класс всех линейных стабилизирующих регуляторов может быть выражен в форме пространства состояний следующим образом: У(в) = — КХ(з) — Яи(з)Е„(в) (18.6.2) где К вЂ” усиление обратной связи по состоянию, Х(з) — восстпановленное состояние, полученное каким-либо устойчивым линейным наблюдателем и Е (в) обозначаетп соответствующий инновационный процесс. Аналогично, сомножитпель у У(в) в (18.5.31) — отприцательное значение выражения СоТ~(в) = Со(з1 — Ао+ЛСо) Во (18.5. 38) Аф(в1-А +ЛСо) деФ(з1 — А +ЛС ) дел(з1 — Ао+ 3 Со) Вр(в) (18.5.41) Е(в) где мы использовали лемму 18.3, чтпобы получить (18.5.40) из (18.5.39). ООО Пока этот результат — просто интересная диковинка. Однако мы покажем, что он имеет очень интересные следствия. Например, мы используем его в следующем разделе, чтобы дать иное толкование параметризации всех стабилизирующих регуляторов, которая была введена ранее в гл.
15. 550 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состояний омная обратная связь Рис. 18.3. Интерпретация всех стабилизирующих регуляторов с помощью обратной связи по оценкам переменных состояния Доказательство Результат следует непосредственно из сравнения (18.6.1) с (18.5.32) и (18.5.26). ППП Альтернативная форма класса всех стабилизирующих регуляторов показана на рис. 18.3.
18.7. Интерпретация принципа внутренней модели в пространстве состояний Обобщением вышеупомянутых идей относительно обратной связи по восстановленному состоянию является принцип внутренней модели (ПВМ), описанный в гл. 10. Далее мы исследуем форму пространства состояний для принципа внутренней модели с двух точек зрения. а) Обратная связь по восстановленному возмущению Один вариант, которым принцип внутренней модели может быть сформулирован в пространстве состояний, состоит в том, чтобы предположить, что мы имеем общее детерминированное входное возмущение И(1) с формирующим полиномом Гз(з).
1в.7. Интерпретация принципа внутренней модели в пространстве состояний 551 Мы видим, что этот закон обеспечивает асимптотическую компенсацию входного возмущения с помощью входного сигнала при условии, что восстановленное возмущение Й(Ф) устойчиво и не смещено. Далее мы покажем, что закон управления (18.7.1) автоматически гарантирует, что полинам Гз(з) присутствует в знаменателе Ь(з) соответствующей передаточной функции регулятора.
Перед рассмотрением общей ситуации, мы сначала обратимся к простому примеру, чтобы проиллюстрировать основные идеи. Пример 18.2. Рассмотрим линейный обвект со входом и($), входным возмущением д(т) и измеряемым выходом у($), где У(з) = — (У(з) + Р(з)) 1 в+1 (18.7.2) и где Ы(т) — «постоянный», мо «неизвестпный» сигнал. Нужно исполь- зоватпь наблюдатель для оценки д(т), а затем спроектпировать закон управленил по обратимой связи вида (18.7.1). Решение Основная идея заключается в том, чтобы смоделировать д(т) как выход некоторой системы, которая отражаетп наши знания относительно характпера возмущения.
Как тполько будетп постпроена полная модель, состояние модели, производящей возмущение, можетп быть наблюдаамо со стороны у(с), и, следоватпельно, возмущение можетп бьипь восстановлено. Обвединенное представление состояния для постоянного возмущения имеетп вид х1(Ф) -1 1 х1($) 1 ( ) а(») О 1 хг(») (18.7.3) где состоямие х1(1) — состпояние обзекта, а хг(г) — состпояние модели, формирующей возмущение. В этом случае мы формируем наблюдатель для восстановления состояния модели х,(г) и восстановления возмущения ст(с). Эти восстановленные значения могут затем быть объединены в закон управления вида 852 Глава 18.
Синтез с помощью методов пространства состояний Далее восстановленное состояние х($) и восстановленное возмущение Н($) могут быть выражены следующим образом: х(г) = Е ~ (Т1 (з) У(з) + Тг(з) У(з)) (18.7.4) 3($) = хг(ь') = ~0 1~ х(1) (18.7.5) Как обычно, 71 и гг .выбираются такими, чтобы сделать Е(з) устойчивым. После вычисвения Т1(з) и Тг(з) мы получим, что дЯ хг(г) С 1 (з)+ — П(з) Е(з) Е(з) (18,7.7) То, что Й(с) стремится и Н($) при г -> со, легко доказать, подставив (18.7.2) в (18.7.7) и учитывал, что возмущение удовлетворяет условию В(з) = — для некоторого неизвестного р, который следует получить. Р (18.7.8) Это дает (18.7.9) Отсюда, применяя теорему о конечном значении, мы имеем, что 11т 3(в) = р' (18.7.10) Переходный процесс Щ$) представляет собой линейную комбинацию собственных движений наблюдателя.
Следовательно, х(Ф) = Е 1 У(з) + — У(з) (18.7.11) Е(з) Е(з) Мы видим, что передаточная функция от У(з) к Х(з) равна,+1, как и требуется. Итак, выбрав К таким образом, чтобы разместипгь полюсы регулятора в точке — 2, что дает К = 1, получим окончательный закон управления в виде и(г) = — х(1) — Ф) (18.7.12) где Т1(з) и Тг(з) — передаточные функции, определенные в (18.5.3) и (18.5.4) соответственно. т Если усиление наблюдателя Л = '171 гг~, то характеристический полинам наблюдателя, определенный в (18.5.5), будет, Е(з) = з'+ (1+Из+Я 18.7. Интерпретация принципа внутренней модели в пространстве состояний $$3 В тперминах передаточных функций управление имеет вид Цз) = — ~ У(з) + — У(з)~ — ~ У(з) — — У(з) ~(зг1+гг) з гЯг(з+1) гг Е(з) Е(з) ~ ~ Е(з) Е(з) (18.7.13) Это выражение упрощаетпся до Й + уг)з+ 2Ь (18.7.14) з(з + 11 + 2) Таким образом, как и ожидалось, регулятор обладает интпегрирующими свойстпвами, а характеристпический полипом замкнутпого контпура равен (з+2)(зг+(тт+1)з+уг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
