Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Задача 17.6. Непрерывная система имеет модель пространства состо- яний в виде 17.12. Задачи длв читаталв 531 Задача 17.11. Рассмотрим систему, составленную из непрерывного объекта и экстраполятора нулевого порядка на его входе.
Передаточная функция объекта имеет вид: е ел' 0,(а) = а+0.5 (17.12.13) Предположим, что вход и выход втой объединенной системы кванту- ются каждые Ь с. 17.11.1. Постройте дискретную модель пространства состояний для квантованной системы, когда Ь = 0.5 с. 17.11.2, Повторите то же самое для Ь = 0.75 с. 17.11.3. Предположим, что желательно построить непрерывную модель пространства состояний для С,(а). В чем будет основная трудность? Задача 17.12. Рассмотрим снова задачу 12.4. Интерпретируйте явную потерю полюса при некоторых скоростях квантования, строя дискретную модель пространства состояний первоначальной непрерывной системы, и затем проверьте ее на наблюдаемосгь и управляемость. Глава 18 Синтез с помощью методов пространства состояний 18.1. Введение В этой главе мы дадим с точки зрения пространства состояний интерпретацию многим из результатов, описанных ранее в гл.
7 и 15. В некотором смысле это дублирует предыдущую работу. Однако причина для этого состоит в том, чтобы получить более глубокое понимание линейных систем с обратной связью. Кроме того, окажется, что использование пространства состояний будет более естественным для случая систем со многими переменными. Результаты, которые будут здесь представлены, включают следующее: ° назначение полюсов системы с помощью обратной связи по переменным состояния (в дальнейшем будем называть ее обратной связью по состоянию — прим. перев.); ° проектирование наблюдателей для восстановления неизвестных переменных состояния по доступным измерениям выхода; ° объединение обратной связи по состоянию и наблюдателя; ° интерпретация передаточной функции; ° учет возмущений в обратной связи по состоянию; ° другая интерпретация аффинной параметризации всех стабилизирующих регуляторов. 18.2.
Назначение полюсов системы с обратной связью по состоянию Начнем с исследования задачи назначения полюсов замкнутого контура. В данном случае сделаем упрощающее предположение, что все 18.2. Назначение полюсов системы с обратной связью по состоянию 533 Лемма 18.1. Рассмотрим номинальную модель простпранства состпо- яний х(1) = Аох(1)+В и(1) у(т) = Сох(1) (18.2.1) (18.2.2) Пусть т(т) означает внешний сигнал.
Доказательство Модель полностпью управляема, так что она может быть преобразована в форму регулятора (см. гл. 17), испааьзуя преобразование подобия: х=Тхс==ФАс=Т АоТ; В,=Т 1В; Сс = СоТ (18 2 5) где хс(ь) = Асхс(Ф) + Всиф у(т) — Ссхс(с) (18.2.6) (18.2.7) — а„т — ао (18.2.8) В,= 1 0 Тогда, если использовать обратную связь по состпоянию вида и($) = -Ксх,($) + г(1) (18.2.9) переменные состояния системы можно измерить. Далее в разд.
18.4 мы откажемся от этого предположения. Предположим также, что система полностью управляема. Следующий результат тогда говорит о том, что полюсы замкнутой системы могут быть произвольно назначены с помощью обратной связи по состоянию через соответственно выбранный вектор постоянных коэффициентов. 534 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состояний где к,й~и„', а„', ... ц] (18.2.10) предстпавление замкнутого контура в пространстве состояний будет — ао -ап д ( — К,х,(г) + г(1)) (18.2.11) х,(1) + Хс(с) сс 1 О с ап-1 кп-1 ае кО б(с) (18.2.12) х,(в) + х,(г) = 1 О Тогда полюсы замкнутого контура удовлетворяют уравнению з" + (ап 1+1„т)з" ~+ ° ° ° + (во+ йоо) = О (18.2.13) ' Следовательно, ясно, что выбором Кс характеристический полипом эамкнутпого контура и, следовательно, полюсы номинального замкнутого контура могутп быть назначены произвольно.
Мы можем тпакже выразить этот результат в терминах исходного описания пространства состояний, обращая преобразование (18.2.5). Это даетп и($) =-К,Т ~х(г)+б(1) =-Кх(г)+У(г) где К=К Т ~ (18.2.14) ППП 1'(з) ( ) 1 СоАдУ(з1 — Ар+ ВоК)Во ) = — оз о+ о о— Р(э) где Р(з) = <1ев (з1 — А + В К) (18.2.16) а А4' означает присоединенную матрицу. Можно упростить выражение (18.2.15). Чтобы сделать это, следует воспользоваться следующими двумя результатами из линейной алгебры.
Заметим, что обратная связь по состоянию не вносит дополнительную динамику в контур, потому что схема основана только на пропорциональной обратной связи по некоторым переменным системы. Мы можем легко определить полную передаточную функцию от б(в) до у(г). Это приводит к выражению 18.2. Назначение полюсов системы с обратной связью по состоянию 535 Лемма 18.2 (Лемма об обратной матрице).
Рассмотрим три матрицы А Е С""", В Е С'"тп и С Е Стл" и. Тогда, если матрица А+ВС невырожденная, мы получим (А+ВС) ~ =А т — А тВ(1+СА ~В) СА ~ (18.2.17) Доказательство Следуетп умножитпь обе части равенстпва на (А+ВС). ППП Замечание 18.1. Для случая, когда В = д Е К" и С1 = Ь Е К" выражение (18.2.17) даетп (18.2.18) Лемма 18.3.
Дана матрица Иг б Жп" и и пара произвольных вектпоров фт Е тяп и фг Е Кп; тогда при усеовии, что тК и И~+ фтф~~ невырожден- ные, Аф(И'+ фтфз )фт = А4(%)фт фа Атв(Ит+фтфз) = ФгАд1(И~) (18.2.19) (18.2.20) (18.2.22) Известпно также, чтпо Аф(1т') (18.2.24) т1ет(И') 1+Фа Ъ7 Фт =дес(1+Фа И~ ~фт) =деь(1+ЬУ ~фтфз) (18 225) бес($К + фт фа~) (18.2.26) дес(Иг) Сначала используем (18.2.24) и (18.2.26) для правой части уравнения (18.2.23).
Затем, сравнив полученное выражение с правой частью Доказательство Используя определение обратной матрицы и применяя лемму 18.2 об обратной матрице для обращения матрицы И~+ ф1 фа, получим ( т -т Аф(Ю+ ф,фгт) (18.2.21) Дес(К + Ф ФГ) И' 'Фтфг 1~ 'Фт — Фт- 1+фтИ,,Ф, иг 'ф (18.2.23) 536 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состояний уравнения (18.2.21), получим результат (18.2.19). Доказательство (18.2.20) следует из твт же рассуждений. ППП Применение леммы 18.3 к уравнению (18.2.15) дает СоАт(т(з1 — А+ ВоК)Во = СоАф(з1 — Ао)Во (18 2 27) 18.3. Наблюдатели В предыдущем разделе мы выяснили, что обратная связь по состоянию может назначать произвольные полюсы замкнутого контура.
Однако часто не все переменные состояния могут быть измерены. Поэтому мы вводим идею наблюдателя. Это основной механизм для восстановления неизмеряемых переменных состояния по доступным измерениям выхода. Это — специальная форма виртуального датчика.
Рассмотрим снова модель пространства состояний (18.3.1) (18.3.2) х(~) = А к(1)+Вон($) у(т) = С к(т) где матрица Л называется усилением наблюдателя, а й(1) — васста- новленнтвм состолнием. Заметим, что в частном случае, когда Л = О, наблюдатель (18.3.3) превращается в модель разомкнутой системы (18.3.1).
Выражение и(т) = у($) — С х($) (18.3А) Тогда мы видим, что правая сторона вышеупомянутого выражения совпадает с числителем Во(з) номинальной модели С,(з). Следовательно, обратная связь по состоянию назначает полюсы замкнутого контура в предписанные положения, в то время как нули всей передаточной функции остаются теми же самыми, что и у модели объекта. Обратная связь по состоянию охватывает сущность многих фундаментальных идей проектирования систем управления и находится в центре многих стратегий проектирования.
Однако этот подход требует, чтобы все переменные состояния могли быть измерены. В большинстве случаев это — нереальное требование. По этой причине далее представлена идея наблюдателей, как механизма восстановления переменных состояния с помощью доступных измерений. 18.3. Наблюдатели 537 называется инновационным процессом. Для ненулевой матрицы Л параметр и(1) в (18.3.3) представляет ошибку между наблюдением и предсказанным выходом модели. Следующий результат показывает, как усиление наблюдателя Л может быть выбрано так, чтобы ошибка х($), определяемая как х($) й х($) — х($) (18.3.5) затухала с любой желаемой скоростью. Лемма 18.4. Рассмотрим модель простпранстпва состояний (18.3.1)- (18.3.2) и связанный с ним наблюдатель вида (18.3.3).
Доказательство Вычитпание (18.3.1) и (18.3.3) и использование (18.3.2) и (18.3.5) дает (18.3.6). Аналогично, если модель полностью наблюдагма, тпо всегда существует преобразование подобия х=Тхл=ьА=Т А Т; В =Т В; С=С Т (18.3,7) что дает описание состпояния системы в канонической форме наблюда- емости (см. гл. 17). Это хл($) = Ах„($) + Ви(1) у($) = Сх,(г) (18.3.8) (18.3.9) где -аи т 1 бп-1 5л-2 ап-2 1 -ао О ... О (18.3.10) 538 Глава 18.
Синтез с помощью методов пространства состояний В этой форме наблюдатель имеет уравнение х (т) =Ах (т)+Ви(1)+Л (у(т) — Сх (т)) (18.3.11) (18.3.12) (18.3.13) Пусть теперь Л "-'Г о о о1т Я~-г ' ' зо3 'Тогда ошибка равна Хо(ь) — хо(ь) хо(ь) что приводит к о — 1 о — ап а — Лп г хо(т) = (А ЛоСо)хо(г) = хо(г) (18.3.14) 1 — аз — зо О ... О Динамика ошибки, следовательно, определяетпся корнями следуютцего характеристического уравнения: с1еС(з1 — А — ЛоС) =з" +(ан 1+ то 1)з" 1+" +(во+Я) =О (18.3.16) Следоватпельно, выбором Л может бытпь произвольно задана динамика ошибки.
Наконец, преобразуя состояние к первоначальному виду, получим, что в уравнении (18.3.3) требуется Л=ТЛ (18.3.16) ППП Пример 18.1 (Оценка уровня жидкости в резервуаре). В качестве простого пр менения линейного наблюдателя для восстпановления состояния рассмотприм задачу двух соединенных резервуаров, в которых фактпически можно измеритпь только высоту жидкости во втором резервуаре, однако нас также интересуетп и оценка высоты жидкости в первом резервуаре.
Спроектируем виртуальный датчик длл этой задачи. Систпема такого типа также рассмотрена на Яез-странице книги, где приведена фотография реальной системы. Схематическое изображение показано на рис. 18.1, Вода течет в первый резервуар через насос 1 со скоростпью Я$), что, очевидно, влияет на высотпу воды в резервуаре 1 (обозначенную через Ьт($)). Вода вытекаетп из резервуара 1 в резервуар 2 со скоростью ~та($), воздействуя и на Ьт(Ф), и на Ьг(1). Наконец, вода вытпекает из резервуара 2 со скоростью ~г, управляемой насосом 2. 18.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
