Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Синтезируйте регулятор Я (з), который минимизирует ~~Н, — Т где целевая дополнительная чувствительность Н (з) дается выражением (16.8.13) зз — 1.2г + 0.45 Задача 16.11. Вспомним пример 16.1. Вычислите окончательную дополнительную чувствительность Т,(в) и сравните ее с целевым значением Н,(в). Сравните частотные характеристики и смоделируйте переходные характеристики. Обсудите результаты. Задача 16.12. Повторите задачу 16.11 для примера 16.2. Глава 17 Линейные модели пространства состояний 17.1. Введение Мы уже видели, что имеется много альтернативных видов моделей, которые могут использоваться для линейных динамических систем. Для простых Б1БО-задач, по-видимому, всякое представление столь же хорошо, как любое другое. Однако поскольку мы двигаемся к более сложным задачам (особенно для мультипеременных задач), желательно использовать специальные виды моделей.
Одна из наиболее гибких и полезных структур — модель пространства состояний. Как мы видели в гл. 3, эта модель имеет форму системы дифференциальных (или разностных) уравнений первого порядка. Этот вид модели особенно полезен для численных расчетов. Модели пространства состояний были кратко представлены в гл. 3. Здесь мы исследуем линейные модели пространства состояний несколько более глубоко для Б1БО-случая. Заметим однако, что многие из рассмотренных идей непосредственно будут перенесены на мультипеременный случай, представленный позже. В частности мы изучим: ° преобразования подобия и эквивалентные представления состояний; ° свойства модели пространства состояний: о управляемость, достижимость и стабилизируемость, о наблюдаемость, реконструируемость и определяемость; ° специальные (канонические) формы модели.
Основными инструментами, используемыми при изучении линейных методов пространства состояний, являются линейная алгебра и векторные пространственные методы. Предлагаем читателю кратко рассмотреть эти концепции перед чтением данной главы. 502 Глава 17. Линейные модели пространства состояний 17.2.
Линейные непрерывные модели пространства состояний Как мы видели в гл. 3, непрерывная линейная стационарная модель пространства состояний имеет форму х(8) = Ах(1) + Ви(1) р(1) = Сх(1)+ Пп(1) х(Ф,) = х, (17.2.1) (17.2.2) 17.3. Преобразование подобия Легко заметить, что определение состояния системы неоднозначно. Рас- смотрим, например, линейное преобразование х(Ф) в х(1), определенное следующим образом: х(1) =Т тх(1) х(1) = Тх(8) (17.3.1) где Т вЂ” любая невырожденная матрица, называемая преобразованием подобия.
Если (17.3.1) подставить в (17.2.1) и (17.2.2), будет получено следующее альтернативное описание состояний: х(Ф) =А х(с) + В и(с) у(с) =С х(с) + 1Э и(с) х(со) = Т х„ (17.3.2) (17.3.3) где А=Т 1АТ В=Т 1В С=СТ Ь=1л (17.3.4) Модель ((17.3.2), (17.3.3)) является эквивалентным описанием системы. Действительно, имеется бесконечное число (эквивалентных) способов выражения модели пространства состояний для данной системы. Все эквивалентные модели связаны через преобразование подобия (17.3.4), Ниже мы увидим, что некоторые варианты преобразования Т делают различные стороны поведения системы более легкими для рассмотрения и вычисления.
В качестве иллюстрации пусть матрица А переводится преобразованием подобия Т к диагональному виду;тогда А=Л=Т 1АТ (17.3.5) где х Е В" — вектор состояния, и Е И™ — управляющий сигнал, у Е К'— выходной сигнал, х, б К" — вектор состояния в момент Ф = Ф„(начальные условия), а А,В, С и Р— матрицы соответствующих размерностей. Уравнение (17.2.1) называется уравнением состояния, а (17.2.2)— уравнением выхода. 17.3. Преобразование подобия 503 и если ЛС,Лг,...,Лп — собственные значения матрицы А, то (17.3.5) Л = С11а8(ЛС,Лг,...,Л ) Так как Л вЂ” диагональная, то мы имеем х (с) еЛАс-с )х + еЛ,(с-т)5 и(т)<~т ус. (17.3.7) где нижний индекс с означает с-й компонент вектора состояния. Выражение (17.3.7) дает прямую связь выходного сигнала системы с собственными значениями матрицы А.
Заметим, что в случае комплексно- сопряженных собственных значений, хс(С) также будет комплексным, хотя выходной сигнал у(1) — обязательно вещественный: о н с рсв=с в '2-'>в.+1'вСС"'<'-">и с и +о,со п7звр с=1 С Пример 17.1. Расслсотрим систему, для которой описание в про- странстве состояний имеет вид -4 — 1 1 0 — 3 1 1 1 — 3 — 1 В= 1; С= [-1 1 0] Р=О (17.3.9) 0 Используя команду есд пакета МАТЮКАВ, мы найдем, что собственные значения матрицы А равны -5, -3 и -2. Матрицу А можно привести к даазональному виду, используя масприцу преобразования подобия Т, чьи ссполбцы представляют собой набор линейно независимых собственньсх векторов матрицы А.
Масприцу Т также можно получить, используя команду есд пакета МАТЮКАВ, которая дает 0.8018 0.7071 0.0000 0.2573 -0.7071 0.7071 -0.5345 -0.0000 0.7071 (17.3.10) Используя (17.3.4) и (17.3.10), мы получим подобное описание системы в пространстве состояний в виде — 5 0 0 0 — 3 0 0 0 — 2 0.0 -1.414 0.0 С = [ — 0.5345 — 1.4142 0.7071~; Р = 0 А= [ т=[ А=Л= [ в=[ (17.3.11) (17.3.12) 504 Глава 17. Линейные модели пространства состояний 17.4. Передаточные функции; повторное рассмотрение У(з)=[С(з1 — А) 1В+аэ)У(з)+С(з1 — А) тх(0) (17.4.1) =[СТ(з1-Т 1АТ) 1Т ~В+Раз)+СТ(з1-Т 1АТ) ~Т ~х(0) (17.4.2) (17.4.3) =[С(зХ-А) 1В+ХЭ)У(з)+С(з1-А) тх(0) которое идентично (4.5.10), как и ожидалось. Предыдущий анализ показывает, что различный выбор переменных состояния приводит к различным описаниям модели, но к одной и той же модели входа-выхода, потому что С(в1 — А) ~В+О = С(з1 — А) 1В+П (17.4.4) для любой невырожденной матрицы Т.
Это согласуется с физическими представлениями, как иллюстрируется в следующем примере. Пример 17.2. Рассмотрим снова двигатпеаь постоянного тока из примера 3.4. Физически, угол поворота вала двигателя — обвективная величина, которал явно не зависитп от единиц измерения другого состпояния — угловой скорости. Если хг($) — измеренная величина угловой скорости в одних единицах, а хг(1) — тпо же, но в других единицах с коэффициентом пропорциональности ст, хг(1) = стхг(1), тогда х(1)= 1 =Т ~ ~ =Т ~х(8) где Т 1= (17.4.5) Отаношение же входа-выхода в обоих случаях физически и матпематпически не зависит от этого преобразования.
ППП Как можно было бы ожидать, передаточная функция системы не зависит от базиса, используемого для пространства состояний. Рассмотрим, например, альтернативное описание, данное выражениями (17.3.2)- (17.3.4). Решение уравнения (17.3.3) с помощью преобразования Лапласа имеет вид 17.5. Переход от передаточной функции к пространству состояний 505 В этом примере мы осуществили преобразование из одного набора физических состояний в другой (а именно, те же самые величины, измеренные в различных единицах). Обычное применение таких преобразований подобия приводит к такому вектору состояния, когда матрица А имеет специфические свойства; при этом связанные с этим состояния могут даже потерять свой физический смысл (если они его имели), но первоначальное состояние может быть всегда восстановлено обратным преобразованием.
Например, мы можем выполнить преобразование, чтобы выдвинуть на первый план набор собственных частот системы, которые соответствуют собственным значениям матрицы А. Заметим, что де1(з1 — А) = т1ей(з1 — Т 'АТ) (17.4.6) которое подтверждает,что собственные значения инвариантны относительно преобразования подобия. Пример 17.3. Рассмотрим набор 4-х матриц (А,В,С,П), использусмыт1 в примере 17.1.
Передаточная функция С(з), полученная с помощью формулы (4.6.13), имеет вид 2зг + 14з + 20 (17.4.7) за+ 10зз+ 31з+ 30 Заметим, что вычисление С(з) можетп быть сделано с помощью команды зз2 вг пакгтпа МАТЮКАВ. ППП Замечание 17.1. Мы видим, что передаточная функция С(з) можетп бытпь выражена в виде САт(у(з1 — А) ~В (17.4.8) деФ(з1 — А) Следовательно, полюсы С(з) являются собственными значениями матрицы А, т. е. «ариями характперистического полинома матрицы А с1е~(з1- А) = П(з Л') (17.4.9) где Лы Лз,..., ˄— собственные значения матрицы А. 17.5.
Переход от передаточной функции к представлению в пространстве состояний Ранее мы видели, как.можно перейти от описания в пространстве состояний к соответствующей передаточной функции. Обратная операция 506 Глава 17. Линейные модели пространства состояний 1-1 где 1Яз) = — У(з) (17.5.1) А(з) У(з) = Е Ь -1 ив(з) 1=1 Заметим, что из этих определений вытекает ог(с) =Е ~ [1т(з)] = ' для 1=1,2,...,п (17.5.2) Мы можем тогда выбрать в качестве переменных состояния хг($) = о;(г), что при использовании (17.5.1) дает 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 (17.5.3) В= А= — ае — ав — а2 ' ' ' — ап — 2 а~-1 С = ~Ь, Ь, Ь, " Ь„ ,] О = О (17.5.4) Это иллюстрируется следующим примером.
Пример 17.4. Рассмотприм постпроение описания из примера 17.3 в пространстпве состояний, используя (17.5.1)-(17.5.4). Этпо приводит к в=[ 0 1 0 0:0 1 -30 -31 -10 А= [ (17.5.5) С= [20 14 2) ХЭ=О (17.5.6) В качестве упражнения для читателя мы предлагаем задачу нахождения преобразований подобия для конвертпирования этпого описания в другие два заранее данных описания той же самой системы, определяемых уравнениями (17.3.9) и (17.3.11). ППС1 Конечно, подобная процедура применима и к дискретным моделям. Например, рассмотрим передаточную функцию Сд(г), данную выраже- ниями 1'д( ) = Сд( )ГУд( ) (17.5.7) Вд(г) Ьп та~ 1 +Ь -2гп 2+ ' ' '+Ьтг+ Ьо Ад(г) г" + а„тг"-'+" + а1г+ ао сталкивается со следующим вопросом: дана передаточная функция С(з); как можно получитпь для этой системы представление в простпранстпве состоянийр В этом разделе мы дадим один ответ на этот вопрос.
Рассмотрим передаточную функцию ст(з) как в (4.5.3)-(4.5.5). Мы можем тогда записать 17.6. Управляемость и стабилизируемость 507 Это может быть выражено в виде и гт-1 1'е(г) =ЯЬ1 1К(г) где 14(з) = — Се(г) (17.5.9) т=1 е Из предыдущих определений мы имеем, что о[й] =Я 1[от(г)] =дит 1Я для т'=1,2,...,п (17510) где 9 в оператор сдвига вперед. Тогда мы можем выбрать в качестве переменных состояния хт[х] = е;[Й], что приведет к 0 " 0 0 1 ". 0 0 0 1 0 0 (17.5.11) в -ао -ат -аг " -а„г -а„1 с,=[ь, ь, ь, " ь„,1; (17.5.12) в =о 17.6. Управляемость и стабилизируемость Формально мы имеем следующее: Определение 17.1.
Говорят, что состояние х, управляемо, если существуетп хонечнмй интервал [О,Т] и вход (и(8),3 е [О,Т]) тахой, что х(Т) = О. Если все состояния управляемы, то говорят, что систпема полностью управляема. ППП Замечание 17.2. Связанное с этим понятие — достижимость. Этпо понятие иногда используетпся в дискретных системах. Формально оно определяетпся следующим образом: Центральный вопрос управления с использованием моделей пространства состояний — можем ли мы с помощью управляющих входных сигналов перевести систему в некоторое конкретное состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
