Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Основная идея этой процедуры состоит в том, чтобы модифицировать номинальный регулятор так, чтобы минимизировать ожидаемое отклонение (дисперсию) фактической характеристики системы от априорной желаемой характеристики. Предположим, что мы имеем номинальную частотную характеристику С,(уот) вместе со статистическим описанием связанных с ней ошибок в виде 16.3. Проектирование робвстной системы управления 477 (16.3.5) 8о(з) = 1 — Со(з)Яо(з) Реальная чувствительность Ят при использовании номинального регулятора Со вместе с реальным объектом будет равна Яо(з) 1+Я (з)0,(з) (16.3.6) Наш план проектирования робастной системы управления теперь заключается в том, чтобы скорректировать регулятор так, чтобы минимизировать рассптолмие между окончательной реальной чувствительностью Яз и Яо.
Если мы заменим Яо на Я и, следовательно, С, на С, то достигнутая чувствительность изменится на 1 — С,(з)Я( ) 1+ С,(з)Я(з) (16.3.7) где Я() Со(зй(з) (16.3.8) Я2(з) Яо(з) =, ®~ (1 Со(з)Яо(з)) (16 3 9) 1 — С,(з)Я(з) Мы видим, что Яз обозначает реальную чувствительность, когда объект — 0 и регулятор параметризован функцией Я, а Яо обозначает реальную чувствительность, когда объект в С, и регулятор параметризован функцией Я,.
К сожалению, (Яг — Я,) †нелинейн функция Я и С,-; однако в следующем разделе мы покажем, что эта проблема может быть исправлена путем использования взвешенной ошибки чувствительности. С, н что соответствующая функция номинальной чувствительности есть Я,.
Конечно, предполагается, что истинный объект удовлетворяет выражениям (16.3.1)-(16.3.3); следовательно, величина Яо на практике не будет достигнута из-за отличия реальной чувствительности Я от Я,. Предположим для начала, что разомкнутая система устойчива.
(Более общий случай будет рассмотрен в разд. 16.3.6.) Мы можем, таким образом, использовать простую форму параметризвции всех стабилизирующих регуляторов, чтобы выразить С и Я, в терминах устойчивого параметра Яо: Ч.(з) Со(з) — 1 (16.3.4) 476 Глава 16. проектирование систем управления на основе оптимизации 16.3.3. Частотные взвешенные ошибки Вместо минимизации некоторой меры ошибки чувствительности, данной в (16.3.9), мы рассмотрим взвешенный вариант с Итг = 1+ С,Я. В этом случае рассмотрим Ург(зНВг(з) Во(з)) = (1 — Со(зЮ(з)) — (1 — 1то(з)Яо(з)Н1+ 1т',(з)Я(з)) = -С,(з)Й(з) — Б,(зЮ,(з)с,(з) — Б,(з)О(з)с,(з) (16.3.10) где Я(з) = Я(з) — Щ,(з) — желаемое приближение к Я (з) в соответствии с бт(з).
Прежде чем продолжать дальше, рассмотрим интерпретацию (16.3.10). Лемма 16.3. Взвешеннол ошибка чувствительностпи имеет смещение матпематпического ожидания Е (ттг(у<~)) (ог(уцт) — 8о(Ято)) 1 = -Со(уто)о(у от) (163.11) и дисперсию )(В (з ) В ( ))~г~ ~~ ( Иг ч( Иг + ~$о(уто)Яо(уцт) + Яо ОьтЮЦат) ~ ст'(й~) (16 3 12) Доказательство Чтобы доказатпь (16.3.11) и (16.3.12), мы видим, что И г(з)(~г(з) ~в(з)) ~О(з)Я(з) ~О(з)ЯО(з)~т(з) ~О(з)Ю(з) е(з)" (16.3.13) Результпат следуетп из использования свойств С,. ПСл.1 Процедура, которую мы теперь предлагаем для выбора ф, — найти величину, которая минимизирует '=» »'-'»:=У '1»- " .-' -1>'1- )~г г( )~г+~В ( )б) ( )+В ( )~( Иг-г( ),~ (16.3.14) Замечание 16.7. Эта функция потперь имеетп интпуитпивное толкование.
Первое слагаемое правой части предстпавляет оитибку смещения матпематического ожидания. Можно заметить, что этотп член равен нулю, если ф = 0 (т. 'е. когда мы остпавляем регуллтпор неизменным). 16.3. Проектирование робестной системы управления 479 Второе слагаемое в (16.3.14) представляет отаибку дисперсии. Этотп член равен нулю, если Я = — Я„т. е. если мы выбираем разомкнутое управление. Эши рассуждения приводят к выводу, что имеются два крайних случал.
Для й = О (нет никакой неопределенности в модели) мы оставляем регулятпор неизменным; когда ст — т оо (больтиая неопределехность модели), мы выбираем разомкнутое управление, которое естественно являетпся робастным длл случая, когда обвектл в разомкнутом состоянии устойчив.
фог~(з) = ах6 пап ))УУг(Яг — Яойг О(о)ЕБ Н(з) Н( — з) (16.3.15) Доказательство Сначала докажем, чтпо Р(з) = с~(з)с~( — з)Яо(з)Яо(-з)+ Со(з)Со(-з) (16.3.16) имеет спектпральную плотность. По предположению ст(з)тт(-з) имеет спектпральную плотность В, тах чшо Р(з) = В(з)В(-з) Яо(з) Яо( — з) + Со(з) Со( — з) (16.3.17) В(оо) Ф О и, по предположению, С (оо) = О и Яо(оо) = 1, так что Р(00) =В(00)г) О (16.3.18) и, тах как С, не имеетп нулей на мнимой оси, ясно, что и Р тоже их не имеет. Наконец, проста доказать, что Р(-з) = Р(з); зто говоритп о Замечание 16.8. Можно было бы задуматься о значении весовой функции Иг для! С,(опт)Щи) ) « 1 мы имеем, что (Иг(ую)) = 1. Однако ~С,(1ы)Я(ует)~ < 1 — достаточное условие робастпной устойчивости и таким образом взвеитенная функция не будет существенно влиять на результат (см.
тпахже замечание 16.1О). ППП Лемма 16.4. Предположим, чшо 1) функция С, строго собственная, не имеющая нулей на мнимой оси и 2) б(С,(тот)С,( — уюЦ имееш спектпральное разложение, как в (16.3.3). Тогда а(з)а( — з)Яо(з)Яо( 3) + Со(з)Со( з) имеет спектральную плотность, которую мы обозначим через Н и оптимальное значение ф определяется выражением 480 Глава 16. Проектирование систем управления на основе оптимизации Тогда ст(з)ст( — з)Бо(з)Бо( — з) ~о(з)~о( — з) Н(з)Н( — з) Н(з)Н( — з) (16.3.20) имеет относитпельную стпепень, по крайней мере, равную двум; тпаким образом, мы видим, чтпо второе слагаемое в правой часши вььражения (16.3.19) ограничено.
Более того, это слагаемое не зависит от Я, поэтому мы можем минимизироватпь функцию стпоимоспти, минимизируя первое слагаемое правой части: ! О(з)ст(- )Б,( )Б,(- )Ю,(з) Н( — з) тт(в) Ит(в) (16.3.21) Н вЂ” спектпральная плотность, тпак чтпо У = Н не имеетп нулей на мнимой оси и можетп не рассматриваться. Это тпакже оэначаетп, что тт" не имеет полюсов на мнимой оси. В соотпветпствии с леммой 16.2 решение оптпимизационной задачи доказано.
ППП Замечание 16.9. Величина ф, найденная в лемме 16.4, даетп оптпимальный, в смысле (16.3.14), компромисс между ошибкой смещения матпематичесхого ожидания (первое слагаемое в (16.3.14)) и дисперсией (второе слагаемое в (16.3.14)). Замечание 16.10. Заключитпельная проверка робастной устойчивости (которол автоматпически не гарантпируется алгоритмом) требу'- ет, чтобы мы убедились, чтпо (С,(уотИ(,)()то)! < 1 для всех от и всех евероятныхз значений б,()от). Чтпобы сделатпь этно более явным, предположим, что С,(уьз) имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и коэффициентпом ковариантности (втпорой центральный моментп) Р(от).
(Заметим, чтпо это обеспечиваетсл автоматпически, если модель оценивается в присутствии гауссовского шума измерения; длл детального рассмотрения см. литператпуру по идентификации, приведенную в конце главы.) том, что Р имеет спехтпральную плотность, которую мы обозначим через Н. Чтпобы завершитпь квадратичную оценку, выражение (16.3.14) можно записать следующим образом 16.3. Проектирование робвстной системы упрввлвннл 481 Обозначим действитпельную и мнимую состпавллющие С,(тот) через дя(от) и дт(от) соответпственно.
Пусть также д(от) = (дд(от),дт(от)) Наконец, пусть коэффициент ковариантпностпи д(от) будет Р(ю). Тогда — это известпнтяй результата из статистики — д(от)тР(от) тд(ю) имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. С помощью этого распределения мы можем найти скалярную величину В, такую, что 99% (например) значений д(то) удовлетворяет условию -( )тР( )-т-( ) < 3 (16.3.22) Если мы тепеРь Убедамсл, что )Щто)~ < фЛто Р(отЯ т длл всех ат, то этпо будет означатпь, чтпо (С,(альт))~Щот)) < 1 с вероятностью 0.99. Чтобы проверить это утверждение, заметим, что из выражения (16.3.22) 99% значений д(от) удовлетворяетп следующему более строгому условию: (д'д) < )3Л Р(ю) Следовательно, если )ф1'от)! < фЛ Р(от)) ' (16.3.24) тогда, обвединяя (16.3.23) и (16,3.24), мы видим, чтпо вероятность того, что ~угд~Д(дто$ < 1 равна 0.99, хах и требовалось.
В принципе, необходимо проверить (16.3.24) для всех от. Однако разумный практический компромисс говорит о том, что нужно проверить (16.3.24) для каждого дискретпного значения от, используемого в исходной квадратич ной оптпимизации. ППП Замечание 16.11. Конечно, процедура, рассмотренная в замечании 16.10, позволлетп проверить лиить то, явллетпся ли данный проехт фасо) совместимым с робастпной устпойчивостью для данных вероятностных доверитпельных границ.
Если проверка неудачна, то можно искусственно увеличить неопределенность на стадии проекта, чтпобы сместиться х более благоприятному результату. Альтернатпивно, возможно вхлючитпь уравнение (16.3.24) как ряд дополнительных ограничений непосредственно в саму процедуру квадратпичной оптимизации, но мы не станем этого делатпь. ппп Замечание 16.12.
Как мы видели в гл. 15, обычно необходимо делать различие между устойчивыми полюсами замкнутого контура и желаемыми полюсами замкнушого контура. Предлагаем читпателю обратить внимание на замечание отпноситиельно реакции на входное возмущение в равд. 15.4.4. Можно изменитпь представленный здесь алгоритам, чтобы гарантироватпь, что все полюсы лежат в желаемых областпях. Например, предварительное преобразование з -+ з' = з+Д при Д > 0 может использоваться, чтобы преобразовать областпь, левее — В в ЛПП. 482 Глава 16. Проектирование систем управления на основе оптимизации 16.3.4. Добавление интегрирующих свойств Методология, описанная в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
