Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Уравнение (15.7.2) обеспечивает связь между аффинным параметризованным резульгпатом и мегподами назначения полюсов, рассмогпренными в гл. 7. ППП Х(з)А (з)+Р(з)В (з) = Е(з)Р(з) (15.7.7) где мы задаем Е(з) = Е(з)Р(з). Рассмогприм (15.7.7) как стандаргпное уравнение назначения полюсов из гл. 7. Тогда, выбирая порядки Е(з),Р(з) й(з) Р(з), мы найдем единственное решение Ь(з) и Р(з). Получение единсгпвенного решения (Цз),Р(з)) уравнения ().5.7.7)— стпандартный алгебраический результат, из которого можно полушть любое другое решение (т (з),Р(з)) следующим образом: 15.7. Аффннная параметрнгацня: случай неустойчивого разомкнутого контура 455 (15.7.15) ППС7 Проиллюстрируем использование леммы 15.6 следующим примером.
Пример 15.5. Рассмотприм номинальную модель обвекта — Ц( +4) (15.7.16) Пусть тпребуетпся, чтобы все полюсы замкнутой системы лежали на комплексной плоскости левее точки — 0.5. Потпребуем также, чтобы регулятпор обладал интегрирующими свойстпвами. а) Надо найтпи конкретный регулятор, котпорый удовлетпворяет этим условиям. 5) Следует параметпризоватпь все регулятпоры, хотпорые удовлетворяютп этпим условиям. Замечание 15.6. Фактпически, лемма 15.6 просто дает автоматический путь параметризации гд(з) тах, чтобы интперполяционные ограничения, данные в лемме 15.4, были удовлетворены.
Действительно, подставляя (15.7.7), (15.7.8), (15.7.9) в (15.7.3), мы получаем, что исходное выражение сд(з) тпеперь ограничено формой Фз) = — ' ~ — +Яе(з) А„(з) (Р(з) А,(з)1 Р(з) ~Е(з) " Е(з) ~ (15.7.11) где Я„(з) содержит желаемые полюсы. Показано, что эта форма для 1д(з) автпоматичесхи гарантируетп интперполяционные ограничения (а)- (в) леммы 15.4. 1:7ПС7 Замечание 15.7. Если А„(з) содержит сочетпание желаемых и нежелаемых полюсов, то мы можем записатпь А,(з) = Ад(з)А„(з) (15.7.12) где А„(з) содержитп нежелательные полюсы. В этом случае мы можем записать, что Е(з) = Ад(з)Е(з) и (15.7.2) даетп Ад(з)А„(з)Цз)+В (з)Р(з) =Ад(з)Е(з)Р(з) (15.7.13) Ясно, что это уравнение требует сущестпвования такого Р(з), чтпо Р(з) =Р(з)Ад(з), и, следовательно, (15.7.2) понижаетпся до А„(з)Цз) + Во(з)Р(з) = Е(з)Р(з) (15.7.14) Если А (з) содержитп тполько жазаемые полюсы, то А„(з) = Е(з), А (з) = 1 и Е(з) = 1 и можно взять Цз) = Р(з) и Р(з) = О.
Результпат леммы 15.6 тпогда сводитпся к результпатпу леммы 15.1. Итак, в этом случае мы имеем цг( ) = д. ( ) 456 Глава 15. Параметризация 8180-регуляторов Решение Найдем, чгпо Цз) = з+ —; Р(з) = — -(173з+ 135) (15.7.19) 263 - 1 6 ' 6 Следовагпельно, часгпное решение будегп (173з+ 135)(з+ 4) з(6з + 263) 6) Все возможные решения могут быть выражены как в (15.7.1) и после некоторых упрощений получим (173з+ 135) ~ ~ (з — 1) 6(зг+4з+9)~ + " ~(зг+4з+9) ! з (6з+ 263) ~ ~ (з — 4) 6(зг+ 4з+ 9)(в+ 4) ~ 1(зг+4з+ 9)(в+ 4) (15.7.21) где Я„(з) — любая собсгавенная передаточная функция, имеющал полюсы в желаемой области.
ОПП Параметризация выражения (15.7.1) приводит и следующему параметризованному варианту номинальных чувствительностей: о(з)В(з) ь) ( ) о(з) о(з) о з — Е( )Р( ) и з Во(з)Р(з) Во(з)Ао(з) о' - Е(з)Р(з) + и' Е(з)Р(з) В (з)Цз) (В,(з)) о(з) Е(з)Р(з) Г~и(з) Е(з)Р(,) (15.7.24) Ао(з)Р(з) (Ао(з)) '" "- Е(.)Р(.) '~""Е(.)Р(.) (15.7.25) (15.7.23) а) Замегпим, что полюс разомкнутого конгпура в точке — 4 находигпся в желаемой области. Кроме гпого, так как гпребуегпся, чтобы регулятор обладал интегрирующими свойсгпвами, то функция Х(з) в (15.7.10) должна иметь форму зЦз). Ретаение (15.7.14) дает з(з — 1)Цз) + (з — 4)Р(з) = Е(з)Р(з) (15.7.17) Для единственного решения выберем степени Е(з)Р(з), А(з) и Р(з), равными 3, 1 и 1 соогпветсгпвенно.
Для определенности выберем Е(з)Р(з) = (з~+ 4з+ 9) (я+ 10) (15.7.18) 15.7. Аффинная параметризация: случай неустойчивого разомкнутого контура 457 Структура, обеспечивающая устойчивость Рис. 15.9. Я-параметризацвя неустойчивых объектов — ~.(а)Е(а)Р(з)+ Р(а)(Р(а) — ~и(з)Во(а)) Йа)(Р(а) Яи(а)Во(а)) Используя равенство А,(а)Ца) + Во(а)Р(з) = Е(з)Р(з), это выражение можно упростить следующим образом: — ( ) Ю,(з)Ао(а)Ь(а) + Р(з)Р(а) Йа) Р(з) — 7 (а) Яи(а) Во(з) (15.7.27) Параметризация регулятора, разработанная выше, может быть также описана в форме структурной схемы. Выражение для С(а) непосредственно подразумевает, что регулятор такой, как на рис.
15.9. Мы видим, что на основе принципа суперпозиции входной сигнал У(з) на рис. 15.9 может быть записан как сумма двух сигналов: один, идущий от верхнего контура через — г,-т и другой, идущий через Щ,(а). Р(в1 Интересно также исследовать класс всех регуляторов, обеспечивающих устойчивость системы, для предварительно стабилизированного объекта. Для этого рассмотрим конфигурацию, показанную на рис. 15.10. Заметим, что предварительно стабилизированный объект имеет в замкнутом состоянии передаточную функцию „,, где В 00 А,(а)Ь(а) + Во(з)Р(а) = Е(а)Р(з). Следовательно, структура на рис. 15.10 соответствует структуре на рис.
15.1, где сто(а) заменена предварительно стабилизированным объектом. Простое вычисление показывает, что эквивалентный регулятор с единичной обратной связью на рис. 15.10 будет 458 Глава 15. параметризация 8130-регуляторов Предварительно стабилизированный объект Рис. 15.10. Я-интерпретация предварительно стабилизированного объекта Тогда получим следующий результат." Лемма 15.7. Рассмогприм сгпрукгпуры систем управлениц показанные на рис. 15.9 и 15.10.
1. Если передагпочная функция Ях(з) устпойчива, гпо струкгпура на рис. 15.10 всегда можетп быгпь предсгпавлена сгпрукгпурой рис. 15.9, где Ян(з) имеет следующее значение: ьех(з) (з) (15.7.28) Г(з) 2. Если передагпочная функция ® устойчива, гпо структуру на рис.
15.9 можно преобразовагпь в структуру рис. 15.10, где Ях(з) имеегп следующее значение: ) Р( )Я.(з) — (з) (15.7.29) Доказательство Приравнивал С(з) и С(з), мы найдем, что отношение между Ян(з) и Я (з) задаегпся равенством (15.7.28). Отсюда следуегп искомый результата. 000 Замечание 15.8. Часть 1 из вьплеупомянутого результагпа неудивительна; конгпур на рис.
15.10 явно устойчив для устпойчивой Я (з), гпак чгпо по лемме 15.6 регулятпор можегп быть выражен так, как на рис. 15.9, для некогпорой устойчивой Ян(з). Обратное преобразование, 15.8. Дискретные системы 459 данное в части 2, является более интересным, так как оно показывает, что существуют структуры типа, показанного на рис. 15.9, которые не могут быть выражены структурой, представленной на рис. 15.10. Однако рассмотрение выражения (15.7.22) указывает, что будет низкая чувствительность, если Я (з) выбрать близкой к — ф в интересующем диапазоне частот.
Таким образом, может быть разумно выбрать Яе(з) так, чтобы ® была устойчивой. В этом соучае, часть 2 леммы 15.7 показывает, что можно предварительно стабилизировать обеехт и затем просто использовать лемму 15.1. 15.8. Дискретные системы Ка протяжении всей главы мы иллюстрировали аффинную параметрвзгцию, используя случай непрерывных объектов. Однако все методы являются алгебраическими, поэтому они могут быть расширены и на дискретные системы. В качестве простой иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пример 15.6.
Рассмотрим дисхретный конопур управления, где мо- дель обвекта а (Х)оо (15.8.1) и Аое(х) имеет, по крайней мере, один корень вне открытого единичного круга. Нужно сформулировать эквивалентную форму леммы 15.2 для дискретных неустойчивых в разомкнутом состоянии систем. Решение Сначала заметим, что аффинная параметризация в неустойчивом дискретном случае дает ~ог( )~г( ) О ( ) ое( ) ог( ) Ее(х)Ре(х) Ее(х)ге(х) где Аог(х)Ье(х) + Воо(х)Рг(х) = Ег(х)рг(х) (15.8.3) и где мы предполагаем, чшо В,(х) не обращается в нуль на единичной окружносши. Тогда при постоянном входном возмущении нулевая ошибка отслеживания в установившемся состоянии может быть получена только если Я;о (х)~о г = 0 =а Ьг(1) -Яе(1)Вог(1) = 0 (15.8А) 460 Глава 15.
Парвметрнэвцяя 8!80-ретуяяторов Таким образом, дискретный аналог (15.3.15) выглядит так: (15.8.5) Яб(7) 7Ъ(7) + д (0) Яаб(7) Вб(0) Ваб(0) (15.8.6) где Щ у) — любая устойчивая передаточная функция, а Яаб(7) — любая устойчивоя передатпочная функция, которая дополнительно удовлетпворяетп условию Яаб(0) = 1. С1ПС1 Заключительный момент в связи с цифровым Я-синтезом — это то, что нули квантования должны всегда рассматриваться как нежелательные значения полюсов замкнутого контура (независимо от того, устойчивы они или нет).
Это следует из выводов, сделанных в гл. 14 относительно межтактовой реакции. 15.9. Резюме ° В предыдущей части книги было установлено, что свойства замкнутого контура связаны сетью компромиссов. Следовательно, настройка одного свойства автоматически воздействует на другие свойства. Это требует понимания взаимосвязей и сознательных решений компромисса. ° Фундаментальные законы компромиссов, представленные в предыдущих главах, позволяют определить недостижимые условия и установить, где дальнейшие усилия имеют смысл, а где будут потрачены впустую. ° Однако при максимальном приближении проекта к тонкому компромиссу, предыдущие формулировки фундаментальных законов не оправдывают ожиданий, потому что трудно реализовать характеристики проекта, настраивая систему в терминах коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции регулятора, поскольку влияние полюсов и нулей чувствительности на разрешение компромиссов очень нелинейно, сложно и тонко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
