Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Нежелательные полюсы замкнутого контура 15.6.1. Интерполяционные ограничения До сих пор неявно предполагалось, что все полюсы разомкнутого контура были устойчивы и, следовательно, могут быть допустимы в функции входной чувствительности замкнутого контура Я;,(з). На практике нам нужно делать различия между устойчивыми полюсами и желаемыми полюсами.
Например, слабо демпфированная резонансная пара полюсов могла бы быть устойчивой, но, вероятно, нежелательной. Пусть объект Используем сгпрукгпуру, показанную на рис. 15.5 и обрагпим внимание только на рациональную часть С,(з). Простое приближение дает 444 Глава 15. Параметризацил 8130-регуляторов разомкнутого контура содержит некоторые нежелательные (включая и неустойчивые) полюсы. Единственный способ удалить полюсы из дополнительной чувствительности состоит в том, чтобы выбрать функцию ч(з) такую, чтобы она содержала эти полюсы в качестве своих нулей.
Это приводит к компенсации таких полюсов в произведении Я(з) С,(з) и, следовательно, в Я„(з) и Тв(з) (см. выражения (15.3.1) и (15.3.2)). Однако мы видим из (15.3.4), что скомпенсированные полюсы все еще могут появляться в качестве полюсов номинальной входной чувствительности Яг,(З) В ЗаВИСИМОСтИ От НУЛЕЙ 1 — фг)С,(З) (т. Е. НУЛЕЙ Ята(З)). ЧтОбЫ устранить эти полюсы и из Ята(з), мы должны гарантировать, что эти нежелательные полюсы также являются нулями [1 — фз)С„(з)).
Следующая лемма суммирует вышеупомянутые рассуждения. Лемма 15.4 (Интерполяционные ограничения, связанные с удалением нежелательных полюсов). Рассмотрим номинальный контур управления с обратной связью и одной степенью свободы; предположим, что С (з) содержит нежелательные (включая и неустойчивые) полюсы разомкнутпого контура. Тогда мы имеем следующее: 1. Каждая из функций чувствительностпи Те(з), Я (з), Я; (з) и Ява(з) не будет иметь никаких нежелательных полюсов тогда и тполько тпогда, когда регулятор С(з) имеет вид, приведенный в (15.3.1), где Я(з) удовлетпворяет следующим ограничениям: (а) Функция Я(з) собственнал, устойчивал и имеет только желаемые полюсы.
(б) Любые нежелательные полюсы С (з) являютпся нулями Я(з), имеющими по крайней мере ту же кратность, что и у С (з). (в) Любые, нежелательные полюсы Се(з) являются нулями 1 — фз)С (з), имеющими по крайней мере ту же кратность, что и у Св(з). 2. Когда условия (б) и (в) удовлетворены, все результирующие компенсации неустпойчивых полюсов и нулей в С(з), заданной выражением (15.3.1), должны быть вьтолнены аналитпически до реализации рггулятпора.
Доказательство Пунктп 1 следуетп непосредственно из выражений (15.3.2) — (15.3.5). Пункт 2 устпранлет нежелатпельные (неустойчивые) компенсации полюсов и нулей внутри регуллтпора. 00П Замечание 15.4. В связи с пунктом 2 вышеупомянутого результата, читатель должен обратить внимание на различие между аналитической компенсацией нулей и полюсов и тпой же компенсацией 15.5. Нежелательные полюсы замкнутого контура 445 непосредственно в реализованной системе. Это может быть лучше понято, если рассмотреть пример, который использует следующие три передаточные функции: 4 4 ( — з+2) Н(з) = (з+1)(з+4) ' Нт(з) = (з+ 1)( — з+ 2) ' Нг(з) = (з+4) (15.6.1) Мы видим, что Н(з) = Н1(з)Нг(з).
Если компенсация выполнена до реализации передаточной функции Н(з) (аналитическая компенсация), никаких проблем не возникаетп. Однако если мы последовательно соединим реализацию Нт(з) и реализацию Нг(з), возникаегп внутпренняя неустойчивость, наглому что в этом случае компенсация будетп осуществлена в реализации. Это различие обоясняет, почему сгпруктура на рис. 15.1 не может использоваться для реализации регулятора в случае неустойчивых сисгпем. Вместо этого компенсация полюсов и нулей, характерная для интерполяционных ограничений, данных в лемме 15.4, должна бытпь выполнена до реализации.
ППП Проиллюстрируем лемму 15.4 простым примером. Пример 15.4. Рассмотрим номинальную модель С (з), имеющую вид н ) 6 (15.6.2) (з+1)(з+6) Предположим, что шум измерения ограничивает полосу пропускания замкнутого контура частотпой ы = 10 рад/с. При этих условиях возможный вариант Я(з) имеет вид Я() =РЕ( ) (з + 1)(з + 6) р1з+ 1 6 где Рст(з) = 1000 (15.6.3) где 61 — произвольный коэффициент, который будет выбран позже. Относигпельная степень Ргт(з) была выбрана равной 2, чтобы сделагль Я(з) бисобственной.
Т„(з) = Ргт(з), так что выбор Рст(0) =- 1 гарантирует точную инверсию на частогпе ьт = О, т. е. С(з) будет иметь полюс в начале координат. Мы видим, что регулятор фактически имеет вид -1 Я(з) Рд(з)[С,(з)] (~та+1)(э+1)(э+ 6) 1 — Я(з)С,(з) 1 — Рст(з) бз(за+ 24з+ 240 — 1000)1т) (15.6.4) Далее предположим, чтпо простая компенсация медленного полюса обаекта при з = — 1 в Я (з) недостаточна, потому что это привело бы к (относительно) медленному полюсу в Яго(з), который, в свою 446 Глава 15. Параметризация 3130-регуляторов 1000 217 Рг7(-1) = — (1 — Д) = 1 =, "В1 = — (15.6.5) 783 1000 Видно, что с этой величиной Вд знаменатель С(з) в (15.6.4) может бьгть разложен на множители бз(э+ 23)(э+ 1). Далее мы видим, что (з+ 1) компенсируется в числителе и знаменателе регулятора; это приводит к (217з+ 1000)(з+ 6) 6000з(з + 23) Из этпого последнего выражения мы видим, что гполько полюс в з = — 6 будет не поддающимся управлению со стороны этпалонного сигнала и управляемым со стороны входного возмущения.
ППП 15.6.2. Проектирование ПИД-регулятора; повторное рассмотрение Вернемся к проектированию из равд. 15.4.2, где синтезировался ПИ- регулятор для объекта первого порядка. Мы выяснили, что это проектирование (основанное на компенсации полюсов разомкнутого контура в С(з)) дало превосходное подавление выходного возмущения.
В химических процессах, однако возмущения часто лучше смоделировать, как появляющиеся на входе объекта. Вспомним, что реакция на входное возмущение, Уе(з), определяется следующим образом: (15.6.7) (15.6.8) УЗ(з) = Ягв(з)ХЦз) Втв(з) = Во(з)Со(з) Следовательно, когда какой-либо полюс объекта скомпенсирован в регуляторе, он остается управляемым со стороны входного возмущения и все еще наблюдаемым на выходе. Поэтому переходный процесс от входного возмущения будет иметь составляющую, связанную с этим полюсом.
Таким образом, компенсация медленных полюсов имеет вредное воздействие на реакцию. Для примера снова рассмотрим проект, определяемый выражениями (15.4.6) и (15.4.7). Реакция на единичное ступенчатое входное возмущение показана на рис. 15.7. Здесь время выражено в единицах и, и рассмотрены три случая. Кривые были получены для различных значений о (измеренных в относительных величинах о„). Эти величины были выбраны равными 1, 2 и 5. В каждом случае усиление модели объекта на нулевой частоте было взято равным очередь, дастп медленную реакцию на входное возмущение. Чтобы избежать это, желательно далее ограничить Я(з) так, чтобы з = — 1 был бы нулем Я„(з). Чтобы получигпь это, мы ищем величину Вы такую, что Я„( — 1) = 0 (~ Т„(-1) = Г17( — 1) = 1). Используя (15.6.3), мы потребуем 15.6.
Нежелательные полюсы замкнутого контура 447 0.4 „'оз „ о.г 5 о ол 0, единице. Мы видим, что реакция имеет длинный хвост и что изменение ст лишь масштабирует реакцию, не меняя ее форму. Причина втой проблемы — компенсация полюса в С,(з) нулем С(з). Как показано в разд. 15.6, единственный способ удалить полюс из Яго(з) состоит в том, чтобы выбрать Рс](з) таким образом, чтобы нежелательный полюс был бы нулем Яо(з) = 1 — Я(з)Со(з), т. е. мы требуем Яо( — а) = 0 =ь Т,( — а) = Р<~( — а) = 1 где а = — (15.6.9) и 1 оо Следующий результат показывает, как зто можно получить.
Лемма 15.5. Рассмотр м модель объекта (15.4.1) и схему управления, приведенные на рис. 15.1, где фз) = [С (з)] 1Рс](з). Тогда ПИ-регулятор, который не компенсирует полюс объекта, имеет вид С(з) = Кр+ — с Кр =, Кт = — 1ос1 (15.6.10) Кт 24 СвсИ'о — 1 Ыо 2 3 Ко где 141 1 и от 1 выбраны таким образом, чтобы получить характперистпический полинам замкнутпого контура в виде 2 Ас~(з) = — + 2401 — +1 (15.6.11) Доказательство Сначала параметризуем Р0(з) г ]115+1 ст25 + о.'15 + 1 где длл обеспечения (15.6.11) мы выберем 1 ст2 = — ', от,', ' (15.6.12) стт= 2— тра отс1 (15.6.13) о 0 0.5 1 1.5 г 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Время ]1/о,] Рис.
15.Т. Подавление входного возмущения с компенсацией полюса объекта для различных величин а 448 Глава 15. Параметризация 8!30-регуляторов Тогда замегпим, что (саге + ст! —;81)з огз2+сттз+1 (15.6.14) Это приводит к Т (з) [~ ( ))-1 (о1з+1Нтг з+1) оо(З) Коэ(ет2З+Ст! Р1) (15.6.15) Это приводит к выражению а,-,61 асс ст2 (15.6.17) О2 2тГгсг ого!1"о А =ст1 — — = тго !гошс1 (15.6.18) В этом случае результагп следует непосредственно из (15.6.15), что дает С(з) — — — +— Ргг (з) гч1 ьо оо 1 (15.6.19) ~о(З)(1 'К >(З)) Стгко Ст2ко З ОПП Лемма 15.5 позволяет свести задачу проектирования к выбору одного параметра.
Чтобы сделать это, мы сначала масштабируем время значением тго; это приведет к масштабированию частоты множителем [о,] 1. Если выбрать коэффициент демпфирования т1гсг = 0.7, то, используя (15.6.10), будем иметь з(1.4ь — 1) + о~ з(з+1) (15.6.20) ГДЕ и — НОРМаЛИЗОВаННаЯ ВЕЛИЧИНа ЦГсг, а ПЕРЕМЕННаЯ З таКжЕ ДОЛжыа быть нормирована величиной со,!. Из (15.6.20) очевидно, что выбор одного параметра (ог,г) определяет ХаРаКтЕРИСтИКУ КОНтУРа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
