Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Таким образом, инверсия †удобн понятие для разработки альтернативных решений задачи проектирования систем управления. В разомкнутых системах управления входной сигнал объекта У(а) может быть сформирован из эталонного сигнала В(а) с помощью передаточной функции фв). Это приводит к передаточной функции от входа к выходу следующей формы: 2о(а) — Со(а) Ю(а) (15.2.1) Эта простая формула — основа аффинной параметризации, которая будет рассмотрена в данной главе.
Она выдвигает на первый план фундаментальную важность инверсии: Т Цш) будет равняться единице только на тех частотах, где Я(уго) инвертирует модель. Заметим, что это совместимо с моделью решения задачи управления, описанной в равд. 2.5. Ключевой момент заключается в том, что уравнение (15.2.1) аффинно в фа). С другой стороны, с обычным регулятором обратной связи С(а) передаточная функция замкнутого контура имеет вид Со($)С(8) (15.2.2) О 8 1+ а (8)С(8) Это выражение нелинейно относительно С(в), что делает трудной настройку С(а) для достижения желаемых свойств замкнутого контура. Это побуждает задуматься, можно ли сохранить простоту (15.2.1) для более общего случая системы с обратной связью.
Фактически, сравнивая (15.2.1) и (15.2.2), мы видим, что прежние аффинные отношения сохраняются, если бы можно было параметризовать С(в) следующим образом: С(а) 1+ С(в) С,(в) (15.2.3) Это — сущность идеи, представленной в данной главе. В частности, мы будем использовать идею инверсии сначала для проектирования Я(в) в (15.2.1), а затем использовать (15.2.3), чтобы определить соответствующую функцию С(а). 15.3. Аффиииая параиетриэация: случай устойчивого объекта 421 15.3.
Аффинная параметризация: случай устойчивого объекта 1$.3.1. Параметризация Начальной точкой здесь будет отношение (15.2.3) между Я(в) и С(г). Можно инвертировать это отношение, чтобы выразить С(в) через Я(в) и С,(г): ®в) 1 — ©в)С (г) (15.3.1) Доказательство Вначале заметим, что четыре функции чувствигпельносгпи, опреде- ленные в (5.3.1)-(5.3.4), могут быть записаны, используя (15.3.1), в виде Необходимость и достагпочность тогда могут быгпь установлены следующим образом. Необходимость Иг уравнения (15.3.5) мы немедленно заключаем, что устойчивость ъ)(в) необходима для внутренней устойчивосгпи.
Это соотношение известно как параметризация Йола всех регуляторов, обеспечивающих устойчивость замкнутых систем, в случае устойчивых объектов. Результат формализуется в следующей лемме. Лемма 15.1 (Аффинная параметризация устойчивых систем). Рассмогприм обвект, имеющий устойчивую номинальную модель С,(г), управляемый контуром обратной связи с одной степенью свободы и соответсгпвующим регулятором. Тогда номинальный контур (рис. 5.1) внутренне устойчив тогда и только гпогда, когда Я(г)— любая устойчивая собственная передапючная функция, если передаточная функция регулятора С(в) параметригуется так, как показано в выражении (15.3.1). 422 Глава 15.
Пврвмвтризвция 3130-регуляторов Достаточность Вьграженил (15.3.2) — (15.3.5), вместое с предположением об устойчивостпи С,(з), подразумеваютп, что устойчивостпь Я(з) достпаточна, чтпобы гарантпироватпь устпойчивость зтпих четпырех функций чувствитпельностпи и, следовательно, гарантировать внутреннюю устпойчивостпь контура. С1С11:1 Ключевой момент параметризации (15.3.1) — то, что она описывает все возможные линейные стационарные регуляторы, обеспечивающие устойчивость замкнутой системы, для данного линейного стационарного объекта С,(з).
Все, что мы должны сделать (в свете леммы 15.1) — это гарантировать, что фз) является устойчивой передаточной функцией. Вышеупомянутая параметризация может быть представлена явно, если контур обратной связи преобразован так, как показано на рис. 15.1. Это описание регулятора может также использоваться, чтобы получить выражения для реальных (или истинных) чувствительностей. Используя выражения (5.9.15)-(5.9.19) гл. 5, мы получим где С,(з) и Сд(з) — зддитивная и мультипликативная ошибки модели- рования соответственно, как отмечено в разд. 4.12. 15.3.2. Соображения насчет проекта Из выражений (15.3.2)-(15.3.5) видно, что при помощи фз) мы можем сформировать одну из четырех номинальных чувствительностей.
Тогда оставшиеся три, конечно, определяются этим выбором. Обычное стремление — первоначально сосредоточиться на формировании Я,(з). Типичное требование — это чтобы ~Я„(уат) ~ был маленьким на низких частотах и затем увеличивался до единицы на высоких частотах. Последнее требование используется для того, чтобы уменьшить |Тв(уаг) ~ на высоких частотах; это обычно требуется, чтобы гарантировать, что высокочастотный шум измерения будет подавляться контуром управления и чтобы обеспечить робастность по отношению к ошибкам моделирования.
15.3. Аффинная параиетризация: случай устойчивого объекта 423 При этих обстоятельствах, казалось бы, что разумный выбор для Я(а) мог бы быть ~( ) = Р'Е( )(С ( )Г' (15.3.11) где [С (з)] т — точная инверсия С„(з). Мы снова убеждаемся, что инверсия играет центральную роль в этой модели решения. Как мы увидим, передаточная функция Рс1(а) играет ключевую роль в проектировании регулятора. Хотя проект, предложенный в (15.3.11),— полезная отправная точка, обычно его в дальнейшем будет нужно уточнить, чтобы учесть более детальные моменты. В частности мы исследуем следующие проблемы: ° неминимально-фазовые нули", ° относительная степень модели; ° подавление возмущений; ° управляющее воздействие; ° робастность. 15.3.3.
Неминимально-фазоаые нули Вспомним, что если С,(з) устойчива, лишь Я(в) должна быть устойчивой, чтобы гарантировать устойчивость замкнутого контура. Однако это подразумевает, что если С„(з) содержит неминимально-фазовые нули, то они не могут быть включены в (С,(з)] ~ в уравнении (15.3.11). Поэтому можно было бы подумать о замене (15.3.11) на Фз) =~0 )С!() (15.3.12) Рис. 15.1. Параметризация Йола всех регуляторов, обеспечивающих устой- чивость замкнутой системы, для устойчивых объектов 424 Глава 15.
Параиетриаация 3180-регулятороа где С'(з) — устойчивое приближение [С„(з)] 1. Например, если С,(в) можно представить в виде сомножителей следующим образом В„(в)В (з) А,(з) (15.3.13) 15.3.4. Относительная степень модели Чтобы регулятор был собственным, необходимо, чтобы фв) была также собственной. Таким образом, учитывая (15.3.12) и (15.3.14), необходимо, чтобы формирующий фильтр Рг)(в) имел относительную степень, по крайней мере, равную отрицательному значению относительной степени [С',(з)] 1. Концептуально это может быть достигнуто включением сомножителей вида (тв+1)"' (т Е Ж~ ) в знаменатель.
В этом выражении пв выбирается таким, чтобы сделать Я(в), по крайней мере, бисобственной, а величина т должна быть выбрана такой, чтобы выполнить необходимые компромиссы проекта. 15.3.5. Подавление возмущений а) Ошибки в установившемся состоянии Ошибки в установившемся состоянии из-за входных и выходных возмущений могут быть уменьшены до нуля, если фуга) — точная инверсия С,(арго) во всей полосе частот, где входные и выходные возмущения имеют существенное значение. Это обеспечит в данной полосе нулевую чувствительность и нулевую входную чувствительность.
Аффинная парамет3тизация может быть обобщена на случай, когда энергия входного и выходного возмущений сконцентрирована на некоторых известных частотах. В частности, из С(з) = Я(в) (1 — фв)С,(в)) ~ мы имеем, что регулятор обладает интегрирующими свойствами тогда и только тогда, когда Я(0) = [Са(0)] 1. Заметим однако, что этот способ формулировки задачи подавления возмущения не охватывает решения проблемы о степенях свободы, доступных проектировщику.
Такая параметризация обеспечивается следующим результатом. Лемма 15.2. Рассмотрим устойчивую модель С,(з) с возмуи1ением на нулевой часгпогпе (на входе или выходе обьекгпа или обоих). Тогда где В„(з) и В,„(з) — устойчивый и неустойчивый сомножители числителя соответственно при В (О) = 1, то подходящий выбор для С'„(з) .мог бы быть Сто (в) А,(з) (15.3.14) от(в) 15.3. Аффиииая параиетризация: случай устойчивого объекта 425 Доказательство ° Достаточность Мы видим, что, если Я(з) и Яв(з) устойчивы, то устойчива и фз), а это подразумевает, что контур устойчив. Мы тпакже видим из (15.3.15), что С(з) содержит интпегратор. ° Необходимость Рассмотарим регулятор, который обеспечивает устойчивость замкнутого контура, а также обладает нулевой ошибкой в устпановившемся состпоянии на нулевой частоте. Это эквивалентно утверждению, что номинальная дополнитпельнвл чувствительность равна единице на нулевой частотае.
Из уравненил (15.3.2) мы видим, что это тпакже эквивалентпно условию Я(0) — [С (0)) ~ = О, т. е. фз) — [Со(0)) 1 — произвольная устойчивол функция, которая имеет нуль при з = О. Характеристика всех таких передатпочных функций Я(з) [Со(0)! = з 71~(з) + где Яа(0) = 0 (15.3.16) Выражение (15.3.16) показывает, что любая Я(з), дающая нулевую ошибку в установившемся состпоянии при постоянном эталонном сигнале или возмущении (или обоих), может быть записана в виде а( ) = Ф )+[Со(0)) '[1+Се( )Яь(з)) Результпат следует из где Яь(0) = 0 (15.3.17) Ю (з) = 1 + С (з)Яь(з) (15.3.18) 000 Замечание 15.1.
Мы видим, что самый простой выбор в (15.3.15)— Щз) =1. Лемма 15.3. Рассмотрим устойчивую модель Са(з) и предполо- жим, что входное возмущение имеетп 'состпавляющие на частотах контур управления с одной степенью свободы, дающий нулевую установившуюся ошибку слежения, будетп устпойчивым тогда и только тогда, когда регулятпор С(з) может быть выражен формулой (15.3.1), где фз) удовлетворяетп условию Я(з) =газ)+[С,(0)] 'Я,(з) (15.3.15) где 71~(з) — любая устойчивая передаточная функц~щ а Яв(з) — любая устойчивая передаточная функция, которая удовлетворяет условию Я (0) = 1.
426 Глава 15. Параметризация ЗБО-регуляторов вт ( ) ат,(з)П~ ( г+ г)+)иг( ) 1~0( ) ОЫ ) где Ф0(з),Фт(з),Лг(з) и Вц(з) — вещественные полиномы отпноситпель- но з, 1)0(з) устойчива и Щты;) =Вам;)(Св(тоэг)» ~ где т = 1,2,...,1 (15.3.20) Доказательства ° Достаточностпь Мы видим, что раз Юег(з) — устойчивый полипом, Я(з) также устпойчива и это подразумевает, чтпо контур устпойчив. Также из (15.3.19) и (15.3.20) мы видим, что Я(гюг) = »Со(ты;)» 1 и, таким образом, С(~гю;) = оо для т' = 1,2,...,1 — т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
