Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Цифровое проектирование в моменты квантования 383 обладаетп интегрирующими свойствами. Обратим также внимание на тло, что первые две квантованные величины сигнала управления могутп в прахтпичесхих приложениях привести к насыщению исполнительного механизма: в этом отпношении апериодическое управление не отличается отп управления с минимальной моделью или непрерывного управления; быстпрое управление (относительно полосы пропускания объектив) будет всегда требовать больши е амплитуд управления (ках и случилось в этом примере) — этот компромисс не зависит от структуры управления или философии управления (см.
гл. 8). ь 8 0. 3 н 0 М 0. и", 0. 0 оз 0.2 О.з Ол О.ъ 0.6 0.7 О.г Время [с] Рис. 1З.Т. Оптимальное по времени апериодическое управление для объекта второго порядка Замечание 13.1. Рассмотренный выше регулятор был получен для устойчивых объехтов или объектпов самое большее с одним полюсам в начале координата, потому что допускаеп1ся компенсация Аег(г). Однако апериодичесхая философия можетп также применяться и к неустойчивым объектам, при условии, чтпо результпат достлигаетпся более чем за и периодов квантования. Чтобы сделать этпо, мы простпо используем назначение полюсов и размещаем все полюсы замкнутого контура в начале координат. РРР 13.6.4. Проектирование цифровых систем с помощью назначения полюсов Подходы с использованием минимальной модели и зпериодического управления — специфические приложения назначения полюсов.
Если, например, нужно уменьшить управляющее воздействие, требуемое апериодическим проектированием, мы можем обратиться к синтезу с помощью назначения полюсов, перемещая полюсы в начало координат, 384 Глава 13. Цвфровое управление чтобы ослабить требование к числу периодов квантования по сравнению со случаем размещения полюсов в точке (1;0). При этой стратегии мы жертвуем скоростью управления (полоса пропускания контура) в пользу уменьшения управляющего воздействия (амплитуда и[те)).
Эта идея используется в следующем примере применительно к задаче сервосисгемы. Пример 13.7 (Общий синтез с помощью назначения полюсов). Рассмотрим ту же самую сервосистему, что и в предыдущих примерах. Оиа имеет непрерывную передатаочную функцию, приведенную в (13.6.33) и импульсную передаточную функцию, заданную выражением (13.6.34) (для Ь = 0.1 с). Синтпез с помощью назначения полюсов выполнен с полиномом замкнутого контура Аыд(г) = (г — 0.905)(г — 0.8)(г — 0.6). Если мы сравним этот выбор с апериодическим синтезом, то видим, что все еще компенсируем полюс при г = 0.905; но на сей раз другие полюсы замкнутого контпура были перемещены из начала координат в точки г = 0.8 и г = О.б. Тогда уравнение назначения полюсов будетп иметь вид Атг(г) = (г — 1)(г — О 905)Ье(г) + О 0048(г + О 967)Рг(г) = (г — 0.905) (г — О.б) (з — О.
8) (13.6.36) где йг(г) = г сто Ре(г) = Д (г 0 905) — т Се(г) Д(г — 0.905) (13.6.37) Если решить уравнения (13.6.36) и (13.6.37), тпо получим 8.47(г — 0.905) 8.47(з — 0.905) (г — 1) г- 0.44 "'г (з — 0.6)(з — 0.8) Читатель может проверитпь, чтпо с этим регулятором реакция контпура на единичное стпупенчатпое этпалонное воздействие укладываетпся в 2%-ый диапазон от установившейся величины приблизитпельно за 20 с. Заметпим, чтпо это в десять раз больше времени переходного процесса, полученного при оптимальной по времени апериодической стпратпегии управления. Однако компромисс становится очевидным, когда мы используем чувстпвительность по управлению Явет(г) из (13.6.38), чтобы вычислить величину управляющего воздейстпвия для того же самого эталонного сигнала.
Для этпого случая управляющая последователь носта ь (и[Й[) = (8 474 19,180,0 51, -О 15, — О 45, -О 56, — О 57,-О 52,..., 0) Сравнивая это с управляющими воздейстпвиями при апериодическом проекте, мы видим явные преимущества. Компромисс между 13.6. Цифровое проектирование в моменты квантования 385 Еще один пример цифрового проектирования с помощью назначения полюсов приведен ниже. Пример 13.8. Рассмотрим непрерывный обеехт, имеющий номинальную модель Св(з) = 1 (13.6.39) (з + 1)(з + 2) Нужно .спроектировать цифровой регулятор Ст(г), который обеспечивает полосу пропускании замкнутого контура приблизительно в 3 рад/с. Контур должен также обладать нулевой ошибкой в устпановившемся состоянии при постоянных этпалонных сигналах.
Решение Мы хотим выполнитпь проект, используя дельта-преобразование и затем перевестаи полученный регулятор Сз® в Я-форму Сг(г). Период квантования Ь выбран равным 0.1 с. (Заметим, что эта частота квантпования значительно выше, чем требуемая полоса пропускания.) Мы сначала используем программу с2де1.тп пахета МАТЬАВ (находится на прилагаемом СР-ЯОМ), чтпобы получитпь дискретпную передаточную функцию (в дельта-форме) системы, состоящей из непрерывного обеектпа и эхстраполятора нулевого порядка. Это даетп 0.04537+ 0.863 уг+ 2.7647+ 1.725 (13.6,40) Далее выберем полинам замкнутой систпемы А з(у) в виде А,тз(у) = (7+ 2.5)~('у+3)(7+4) (13.6.41) Четвертый порядок полинома выбран потому, чтпо нам нужны в регуляторе интпегрирующие свойства.
Окончательное уравнение для назначения полюсов имеетп вид (7~+2 7647+1.725)7Тз(7)+ (0.04537+0.863) Рз Я = ( 7+2 5) (7+3) ( 7+4) (13.6.42) Для решения этого уравнения используется программа рад.тп па- кета МАТЮКАВ, что дает передаточную функцию Сз('у), котпорая в временем реакции и величиной управляющего воздействия в этом и предыдущем примере — полностью в соотпветствии с компромиссами, рассмотренньами в гл. 8. ппп 388 Глава 13. Цифровое управление конце концов преобразуетпся в Сг(»).
Регуляторы в дельтпа-области и в области оператора смещения имеют вид 29.1у~+100.07+87.0 Рз(7) ! ~ + 7 9 ! 7А(7) 29.1»г — 48.3» + 20.0 (13.6.44) (» — 1)(» — 0.21) Проект проверен путем моделирования эталонного сигнала в виде прямоугольных колебаний с помощью файла дора.тгИ пакета Я1М111 1г1К. Результат показан на рис.
13.8. !.5 я Д, йя -ол Зо й " -!.5 'о 0.5 1 !.5 г 3.5 3 3.5 4 4.5 5 Время 1с1 Рис. 13.8. Реакция цифрового контура управления Предлагаем читателю использовать файл дора.тсй пакета 81МГП1УК, чтобы проверить, что полоса пропусхания контура (используя команду 4111пшос1) превыигает требуемую величину. Интересно также оценить, хак изменяется положение полюсов замкнутого хоитура при изменении периода квантования (без изменения Сд(»)). ППП 13.7. Принцип внутренней модели для цифрового управления Большинство идей, представленных в предыдущих главах, можно перенести на цифровые системы.
Просто нужно учесть такие особенности, как различные области устойчивости и типы модели. В качестве иллюстрации мы рассмотрим здесь принцип внутренней модели применительно к цифровому управлению. Пусть возмущение моделируется дискретной моделью с помощью полинома (см. 10.2) Гаг(») (или Г'ез( у) для дельта-операторов). Гег(») будет обычно иметь полюсы 13.7. принцип внутренней модели для цифрового управления 387 Решение Заметим сначала, чтпо хвантпованный эталонный сигнал — тЩ Кт г1п(0.2)т + Кз), где Кт и Кз — неизвестпные константы. Топим образом, полиномы, формирующие эталонный сигнал, в форме оператпора смещенил или дельтпа-форме соответствуютп знаменателям Е-преобразования и дельта-преобразования сигнала г1тт] соответпственно. Тогда мы получаем Ггв(х) = х~ — 1.96х+ 1; Г„г(7) = у +Ю.Ю4у+Ю.Ю4 (13.7.1) Соответствеяно полиномы, формирутощие возмущение, имеют вид Гз (х) =х — 1; Г„,(у)= у (13.7.2) Чтобы получить иулевые устпановившиеся ошибки, необходимо удовлетворить принципу внутпренней модели.
Это требует, чтобы знаменатель передаточной функции регулятора включал любой сомножитель Г, (х)Гав(х) = (хз — 1.9бх+ 1)(х — 1) (для формы с использованием оператора сдвига) или сомножитпель Г„г(у)гц(у) = (у~+ 0.04 у+ 0.04)'у (для дельтпа-формы) . ППП 13.7.1. Периодическое управление Интересен особый случай принципа внутренней модели в цифровом управлении при периодических сигналах.
Легко видеть, что любой квантованный периодический сигнал, чей период разбит на )тр тактов квантования, может быть смоделирован дискретной моделью (в области оператора сдвига) с помощью формирующего полинома г„,(д) = (д" -1) (13.7.3) в единичном круге, а Г'зг(у) — в смещенном круге у: ~у+ — ~ = 3;. Принцйп внутренней модели тогда обеспечивается помещением Гзе(х) или Г'зг( у) в знаменатель передаточной функции регулятора.
Например, дискретное интегрирующее действие достигается размещением (Гзе(х) = х — 1) или (Г',у( у) = у) в знаменателе передаточной функции регулятора. Проиллюстрируем зто простым примером. Пример 13.9. Непрерывный обвехт управллетися цифровым регуляторам. Выход обвехта должен отслеживать синусоидальный эталонный сигнал частотпы 0.2 рад/с в присутстпвии ступенчатых возмущений. Нужно определитпь полинам (который следуетп включить в знаменатпель передаточной функции цифрового регулятора), необходимый для достижения нулевых установившихся ошибок.
Пусть период квантования равен 1 с. 388 Глава 13. Цифровое управление 12тг от' = — ' 1=0,1,...,Фр — 1 (13.7.4) где Ь вЂ” период квантования. Эти идеи иллюстрируются следующим примером. Пример 13.10. Рассмотрим непрерывный обеект с номинальной пере- датпочной функцией Со(г), имеющей вид С,(г) = 2 (з + 1)(з + 2) (13.7.5) Пусть этот обеект управляется цифровым регулятором с периодом квантпования Ль = 0.2 с тпаким образом, что выход обеекпьа отпслеживает периодический этпалонный сигнал т[й], имеющий вид оо ГО г[й] = Я ту[й — 101] с=э Вд[г) = Яуд[г) 1О оло (13.7.6) где (гу[й]1 = 10.0; 0.1; 0.25; 0.6; 0.3; 0.2; — 0.1; — 0.3; — 0.4; 0.0) и1 Яуо[г) = Я [ту[й]].
Нужно синтезироеатпь цифровой регулятор, который обеспечиваетп нулевую устпановивиьуюся ошибку в моменты квантования. г Заметим, что кгтйй — полипом относительно и Следовательно, любой эталонный сигнал с периодом в Мр тактов может быть точно отслежен (по крайней мере, в моменты квантования) включением Гав[у) в знаменатель передаточной функции регулятора. Эта идея — основа технологии, известной как периодическое управление, цель которою — научить снстему тому, как выполнить повторяюшуюся (периодическую) задачу.
Она нашла приложение во многих областях, например, в робототехнике. Авторы этой книги использовали ее в реальных приложениях сталелитейной промышленности. Основная идея, как это изложено выше, проста и интуитивно понятна. В приложениях обычно приходится модифицировать схему управления при возникновении практических требований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
