Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Минимальная модель Основная идея этой стратегии проектирования систем управления состоит в том, чтобы достичь нулевой ошибки в моменты квантования Как уже обсуждалось в гл. 7, при определении полюсов замкнутого контура мы устанавливаем характеристики собственных движений замкнутого контура. Таким образом, общие подходы назначения полюсов, описанные в гл. 7, могут применяться с очевидными модификациями в синтезе цифровых систем управления. Однако дискретные системы имеют привлекательную особенность обладать конечным временем переходного процесса (что невозможно достичь точно в непрерывных системах).
Это достигается, когда все полюсы передаточной функции чувствительности расположены при х = 0 или, что эквивалентно, при у = — 1 (см. пример 12.5). Было предложено несколько вариантов синтеза для получения контура цифрового управления с конечным временем переходного процесса (при ступенчатом эталонном воздействии), измеренного в моменшм кваиупования. Мы кратко исследуем два из этих подходов для следующей структуры. Рассмотрим непрерывный объект, имеющий импульсную передаточную функцию в виде 13.6.
Цифровое проектирование в моменты квантования 377 за минимальное число периодов квантования при ступенчатых эталонных воздействиях и ступенчатых выходных возмущениях (при нулевых начальных условиях). Это подразумевает, что дополнительная чувствительность должна иметь вид Т (х) = —, р() (13.6.3) где 1 Е М, р(х) — полинам степени, меньшей, чем 1 и р(1) = 1. Это последнее условие гарантирует что Т, (1) = 1; оно является необходимым н достаточным условием получения нулевой установившейся ошибки. Синтез регулятора можно тогда выполнить, используя методы назначения полюсов (см. разд.
7.2). Рассмотрим два случая. Случай 1. Предполагается, что у импульсной передаточной функции объекта Сов(х) все полюсы н нули находятся строго внутри области устойчивости. Тогда регулятор может скомпенсировать числитель и знаменатель т', (х) и уравнение назначения полюсов становится следующим: йг(х)А„(х) + Ре(х)В (х) = Асте(х) (13.6.4) где й (х) = (х — 1)В (х)Те(х) (13.6.5) Ре(х) = КоАое(х) (13.6.6) Ас[е(х) х Вод(х)Аог(х) (13.6.7) Заметим, что степени полиномов были выбраны в соответствии с теорией, представленной в разд. 7.2. Используя (13.6.5) — (13.6.7) в (13.6.4) и упрощая, получим ( 1)Т ()+К и п1 (13.6.8) Уравнение (13.6.8) можно теперь решить относительно К„вычисляя выражение при х = 1.
Это приводит к Х„= 1 и регулятору и дополнительной чувствительности, равным Се(х) = [С,ч(х)) ~ „ и Т,(х) = — (13.6.9) 1 1 Пронллюстрируем этот случай на примере. Пример 13.4. Рассмотприм непрерывный обоектп с передапточной фуннт1ией Со(з) = 50 (13.6.10) (з + 2)(з + 5) Нужно синтпезироватпь регулятпор с минимальной моделью, когда период квантпования Ь = 0.1 с. 378 Глава 13. Цифровое управление Регпеиие Импульсная передаточная функция имеетп вид 0.0398(» + 0.7919) (» — 0.8187) (» — 0.6065) Заметном, что С (») — устойчивая и минимально-фазовая с т = 2 и и = 3. Используя (13.6.9), получим Характперистика окончатпельного контпура управления рассмотпрена при единичном стпупенчатом этпалонном воэдейстпвии при Ф = 0.1 с.
Выход обвекта показан на рис. 13.5. О.г Рис. ла и Мы видим, что квантпованная реакция устанавливаетпся точно за один период квантования. Так и ожидалось, потому что Т (») = » ~. Однако рис. 13.5 иллюстприруетп одну из слабостпей управления с минимальной моделью: совериьенное отслеживание гарантируется только в моменты квантования. Действитпельно, мы наблюдаем существенные межтпактповые биения! Проанализируем причину этпой проблемы в следующей главе. Другой недостаток этого иод»ода— большая тпребуемая величина управления: поскольку регулятор бисобственный, он мгновенно реагируетп на стпупенчатпое этпалонное воздейстпвие с начальной величиной, равной увеличенной в 48.73 раза амплитуде ступеньки. ППП Случай 2.
Пусть объект минимально-фазовый и устойчивый за исключением полюса при» = 1, т. е. АО(») = (» — 1)А, (»). В этом случае Н 5 бо ,5 о 58 хм ЯО и 25.124(» — 0.8187)(» — 0.6065) 1 (» — 1) (» + 0.7919) 0.6 0.4 0.5 0.6 0.7 Ол Время с 13.5. Выход объекта для единичного ступенчатого эталонного сигнацифрового управления с минимальной моделью; объект устойчивый 13.6. Цифровое проектирование в моменты квантования 379 идея минимальной модели не требует, чтобы регулятор имел полюс при г = 1. Тогда уравнения (13.6.5)-(13.6.7) дадут Уравнение (13.6.8) такое же, как и в случае 1. Таким образом, Кд 1 и Этот случай иллюстрируется следующим примером. Пример 13.5. Рассмотприм сервомотпор из примера 3.4.
Напомним, чтпо его передатпочная функция равна 1 ~о(з) — ( ц (13.6.19) Нужно. синтпезироватпь регулятпор с минимальной моделью, имсютций период квантпования Ь = 0.1 с. решение Из примера 13.1 мы имеем, чтпо импульсная передатпочная функция сисптсмы (при Ь = 0.1 с), заданная выражением (13.3.5), равна Сод(г) = 0.0048 (13 6 20) г+ 0.967 Тогда В,д(г) = 0.0048(г+ 0.967) и А, (г) = г — 0.905 (13.6.21) и, используя (13.6.16), получим Сд(г) = 208.33 «+ 0.967 Т ,(г) =— 1 (13.6.22) (13.6.23) Ьд(г) = В (г)Хд(г) Рд(г) = КоА,щ(г) Аыд(г) = г" ~В (г)А (г) 1 Аод(г) г — 1 =( ° ( и,„, — (,),„„ А, (г) В (г)(гп-пт-1+ гп-тп-г+ гп-тп-3+... + г+ 1) 1 Т (г)=— гп — тп (13.6.13) (13.6.14) (13.6.15) (13.6.16) (13.6.17) (13.6.18) 380 Глава 13. Цифровое управление $я Зо в о О.г ол 0.5 о.в 0.7 0.8 Время [с[ ол о.г Рис. 13.6.
Выход объекта для единичного ступенчатого эталонного сигнала н цифрового управления с минимальной моделью; объект с интегрированием Характеристика окончательного контура управления оценена для единичного ступенчатпого зтпалонного воздействия при 1 = 0.1 с. Выход обвехта показан на рис. 13.6. Снова мы видим, чтпо квантованная реакция устанавливается за один период квантования. Однако рис. 13.6 тпахже подтверждает главные характперистики управления с минимальной моделью: ненулевые ошибки в межтактовые периоды и большие амплитпуды управлянпцего воздейстпвия. ППП Примечательная общая особенность в обоих случаях — межтахтовая реакция имеетп слабо затухающие колебания частоты, равной половине частпотпы квантования. Мы исследуем причины этого в гл. 14.
Дальнейшее понимание подхода с использованием минимальной можно получить, анализируя поведение выхода регулятора и[й]. Из (13.6.3) мы имеем, что 1" (г) =Т, (г) = —,Во(г) «=» Уо(х) =[С (г)] 'Уц(г) = 7 Во(г) г' я~ Вео (г) (13.6.24) Для вышеупомянутых примеров р(г) = 1 и 1 равно относительной степени С,д(г) (это обычно имеет место). Таким образом, собственные движения в и[[о] будут зависеть от расположения нулей Сев(г), т.
е. корней Вео(г) (включая и нули квантования!). Это подразумевает, что и[й] не приходитп к своему устпановившемуся значению за конечное время. Поскольку нули квантования вообще имеют отрицательные вещественные части, этот переходный процесс будет включать колебательные движения; это явление (иллюстрируется примером 12.6) известно как пульсации, и оно нежелательно из-за изнашивания исполнительных механизмов. 13.б. Цифровое проектирование в моменты квантования 381 13.6.3. Оптимальное по времени апериодическое управление 1от(л) = „Вч(л) ~=Р Тел(л) = тр(л) тр(л) то(Л) = топз + топ-1» + ' ' ' + то1Л+ тпо (13.6.25) (13.6.26) Чтобы достичь совершенного отслеживания установившегося состояния в моменты квантования (для ступенчатых эталонных воздействий и ступенчатого выходного возмущения), нам нужно, чтобы Т (1) = 1, т.
е. тр(1) вв ~> тр1 = 1 (13.6.27) Мы также требуем, чтобы выход регулятора и[)с] достиг установившегося состояния за п периодов квантования. Это условие позволит нам вычислить1 полипом тр(л), поскольку Бд(л) = [бой(л)] Уд(л) = $иой(л)йо(в) = В~~(л) (13 6 28) Далее, чтобы переменная в[к] достигала своей установившейся величины за п периодов, нужно, чтобы полинома В, (л) не было в знаменателе последнего выражения равенства (13.6.28).
Следовательно, мы должны выбрать тр(л) в виде 1 тр(л) = стВ, (л) где а = (13.6.29) ' ЗаМЕтИМ: ЧтпбЫ ЧуВСтВИтЕЛЬНОСтЬ Бьет(Л) бЫЛа СОбетВЕННОИ, СтЕПЕИЬ М(Л) дОЛжНа бЫтЬ, по крайней мере, равна степеии Вес(в). Основная идея проектирования апериодического управления подобна случаю с минимальной моделью: достичь нулевой ошибки в моменты квантования за конечное число периодов квантования для ступенчатых эталонных воздействий и ступенчатых выходных возмущений (при нулевых начальных условиях). Однако в этом случае мы добавляем требование, чтобы для этого вида эталонного сигнала и возмущения, выход регулятора и[к] также достиг своей установившейся величины за то же самое число интервалов.
Рассмотрим контур с цифровым управлением со ступенчатым эталонным воздействием и в котором у[к] должен достичь своей установившейся величины (с нулевой ошибкой управления в моменты квантования) за и моментов квантования, где и является степенью полинома знаменателя. Тогда полипом У(л) должен иметь вид 382 Глава 13. Цифровое управлеиие Окончательно мы видим, что егА, (г) (13.6.30) Это равенство достигается с помощью следующею закона управления: С,(з) = 1 (13.6.32) Нужно синтезировать оптимальное по времени апериодическое управление с интервалом квантования Ь =0.1 с.
Рещение Из примера 13.5 мы имеем, что импульсная передапючная функция (при Ь = 0.1 с), учитывая (13.6.20), имеет вид Сов(г) = 0.0048 =ь ег = 105.49 (13.6.33) г+ 0.967 Следовательно, используя ~13.6.31), получим аА, (г) 105.49г — 95.47 г" — егВог(г) г+ 0.4910 (13.6.34) Характеристика этого регулятора показана на рис. 13.7 для единичного ступенчатого эталонного сигнала, прихладываемого в момент времени 4 = О. Видно, что непрерывный выход объекта у(е) достигает установившейся величины после двух периодов квантования, хак и ожидалось.
Кроме того, межтактповая реакция теперь весьма приемлема. Чтобы оценить управляющее воздействие, используем (13.6.30), чтобы поау- Уд(г) = „Вч(г) = 105.49 г Вг(з) (13.6.35) Решал уравнение, мы получим управляющую последоватпельностьс и[0] = 105.49, и[1] = -95.47 и и[й] = 0 Чй > 2. Заметим, что кулевые значения управляющего сигнала павучаются потому, что объекгп С (,) 4Щ(') (13.6.31) г" — егВое(г) Апериодическое управление иллюстрируется следующим примером. Пример 13.6. Рассмотрим сервомотор из примеров 3.4 и 13.5, который имеет передаточную функцию 13.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
