Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Дискретные модели пространства состояний могут также быть описаны в дельта-форме. Соответствующий вид модели пространства состояний следующий: бх[й] = Агх[й] + Вго[й] у[й] = Сгх[й]+ Рги[й] Мы можем без труда преобразовать дискретную модель пространства состояний, данную в форме оператора смещения, в модель в дельта- форме (и наоборот). Например, (12.5.3) и (12.5.4) дают дх[й] — х[й] (Ае -1) Ве у[й] = Сех[й] + Реи[й] Эта модель представлена в форме (12.8.9) и (12.8.10), где Ае — 1 В Аг =; Вг = —; Сг = Се, Рг = Ре (12.8,12) Пример 12.8.
Для ПИ-регулятора из примера 12.7 мы имеем Аг = О, Вг = —, Сг = 1, Рг = сг (12.8.13) ППП (12.8.11) ( [Ю(йА))] РШ1)) (12.8.6) т. е., когда период квантования стремится к нулю, б-оператор стремится к оператору дифференцирования. Заметим, однако, что мы не будем применять никакие приближения при использовании дельта-оператора для конечного периода квантования, потому что мы получим тпочные описания модели, соответствующей этому оператору, при конкретной скорости квантования. Пример 12.7. Рассмотрим ЛИ-регулятор из примера 12.4 и пусть А означает период квантпования.
Деленое обеих частпей выражения (12.4.5) на А приведет к следующей дельта-форме регулятора: би(йА) = сгбе(йА) + — е(йса) Ь (12.8.7) ППП 12.9. Дискретное дельта-преобразование 34$ Решением (12.8.9) и (12.8.10), как легко видеть, будет х[Й] = (? + АаЬ)"х[0]+ ~~~ Ь(? + АзЬ)'Вли[й — 1 — 1] МО а — 1 у[й] = Сз(1+ АаЬ) х[0]+ Са ~~~ Ь(Г+ АаЬ)'Вам[а — 1 — 1]+Эаи[й] (12.8.14) (12.8.15) 12.9. Дискретное дельта-преобразование формулой а.[у($)]= / е '~у($)й /О (12.9.1) Естественно искать дискретный вариант этого преобразования Лапласа в форме суммы Римана уа(а) = ~ е м'у(ца)Ь ~а = й,ль (12.9.2) По причинам, о которых сейчас говорилось, желательно также использовать изоморфное изменение аргумента е' = 1+7Ь ва и е'~ — 1 7— (12.9.3) (12.9.4) Как можно видеть, сравнивая результаты в табл.
12.1 и в табл. 4.1, выражения в преобразованиях Лапласа и Е-преобразования не обладают явной структурной эквивалентностью. Интуитивно, мы могли бы ожидать, что такая эквивалентность будет существовать при получении дискретной последовательности с помощью квантования непрерывного сигнала. В частности можно было бы ожидать, что преобразование Лапласа должно получаться из Е-преобразования при увеличении частоты квантования.
Мы покажем, что это действительно происходит, если будем использовать альтернативный дельта-оператор. Чтобы показать, как это происходит, рассмотрим последовательность (у[к] = у(ЙЬ)), являющуюся результатом квантования непрерывного сигнала у(Ф) каждые Ь секунд. Вспомним, что преобразование Лапласа определяется 346 Глава 12. Модели дискретных систем Таблица 22.3 Таблица дельта-преобразований /[л] (а > О) пйа[[ Область сходимости В терминах аргумента 7 определим пару дискретных дааьтпапреобразований: Дискретное дельта-преобразование связано с 2-преобразованием соотношением Уб(7) = ~-ьте(Х)~ (12.9.7) т=сьт+1 12.9.
Дискретное дельта-преобразование 347 гт(у(а)) Назввиии а;~;[й] е=1 Л[й+1] 1т[й+ 1] - Ут[й] атГт(7) т=1 (Р7+ 1)%(7) Л[О!) Простейшие дроби Смещение вперед Масштабированная разность 7г1(7) (1+7п)Л[О] 1 г (7) (1+ 7~Г'Р(7) + т [-1] (1+7~) 'Р(7) 1+7~ ~ (~) Ь И~ 1+",' 11пт 7г (7) т-+о 7г (7) т оь1+7~ С;~[1]б, ыо У[й — 1] ,г'[й — 1],и [й — 1] йЛй] Сумма Римана Смещение назад — г'[й] 1 й Теорема о конечном значении 1пп 1[й] Теорема о начальном значении 1пп 1[й] ь-1 Л[1]2тг[й — 1]Р гт(7)гг(7) Свертка ыо Л[й]Уг[й] (1+ абь)~7т[й] Сложная свертка где Уо(з) = Я [у(йбь)].
Обратно, Уо( ) = д~а(7)~ 1 (12.9.8) — ь Выражения (12.9.7) и (12.9.8) позволяют получить таблнпу дельта- преобразований из соответствующих Е-преобразований в табл. 12.3. Свойства дельта-преобразования даны в табл. 12.4. Таблица 12. 4 Свойства дельта-преобразования. Заметим, что гт(7) = з[Л[й]], р[й] означает, как обычно, единичную ступеньку, параметр Доо] должен быть полностью определен и что свойство свертки справедливо при условии, что 7т [й] = 7г[й] = О длн всех й < О 348 Глава 12. Модели дискретных систем 1Ш1 тЗ('у) = 1 (З)] (12.9.9) Далее мы проиллюстрируем это на простом примере.
Пример 12.9. Пустпь последоватпельностпь (у[тс]) получена при квантповании с периодом Ь непрерывной зкспоненциальной функции елт. Тозда у[ус] евьтв (12.9.10) и из таблицы 12.3 1тв(У) вл (12.9.11) 1 В частпностпи, заметим, чтпо при Ь -+ 0,1з(у) -+ — — есшь 7 — Р преобразование Лапласа евт. ППП Для нас основным свойством дельта-преобразования будет следующее: Дельта-преобразование может использоваться для преобразования ревностного уравнения в алгебраическое.
дельта-преобразование так- же позволяет легко перейти от дискретного к непрерывному времени с помощью увеличения скорости квантования. Исторически анализ дискретных систем начался с использования дельта-преобразования. Позже акцент переместился к Е-преобразованию. Совсем недавно опять вернулись к дельта-преобразованию. Это связано с применением более быстрых компьютеров, которые позволяют использовать меньшие периоды квантования; в этом случае дельта-преобразование имеет большие числовые и концептуальные преимущества, как мы покажем ниже.
Действительно, мы догадываемся, что причиной того, что цифровое управление считалось отличающимся от непрерывного управления, частично являются недоразумения, связанные с широким использованием Е-преобразования и операторов сдвига. Эти концептуальные проблемы разрешаются при использовании дельта-преобразования, которое показывает, что цифровое и непрерывное управление фактически весьма близки. Принципиальное свойство дельта-преобразований заключается в том, что они сходятся к соответствующим преобразованиям Лапласа при Ь вЂ” т О, так что 12.11.
Передаточные функции и импульсные характеристики 349 12.10. Дискретные передаточные функции (форма дельта-преобразования) Применяя дискретное дельта-преобразование и его правило разности к разностному уравнению высокого порядка в дельта-форме (12.8.8), мы получим Аа(7)У~(7) = Ва(7) Щ7) + Ь(7, яо) (12.10.1) где Уе( у) и 17а( у) — дельта-преобразования последовательностей (у[й]) и (и[й]) соответственно. Здесь, аналогично (12.7.2) и (12.7.3), Ал(7) =7" +а'„17" 1+ +а,', (12.10.2) В,(7)=5'7 +Ь' 17 -'+ "+5'.
(12.10.3) а Я7,хо) — компонент, зависЯщий от начальных Условий, аналогичный 7'(а,х,) в (4.5.1) и Яе,х,) в (12.7.1). Уравнение (12.10.1) может быть переписано в виде уе(7) =аа(7)уе(7)+ А ( ) (12.10.4) Ах(7) где и Ве(7) (12.10.5) Ах( у) называется дискретпной нереданточной функттией (е дельта-форме). Мы можем также использовать дельта-преобразования для получения передаточной функции, соответствующей модели пространства состояний в дельта-области, задаваемой уравнениями (12.8.9) и (12.8.10).
Взяв дельта-преобразование и пренебрегая начальными условиями, получим Са(7) = Са(71 — Ае) Ва+ Ра (12,10.6) 12.11. Передаточные функции и импульсные характеристики Для каждого из трех преобразований, введенных ранее (а именно,преобразование Лапласа, Е-преобразовывание и дельта-преобразование), существует характерный сигнал, имеющий преобразование, равное единице. Эти сигналы следующие: дп(1) (дельта-функция Дирака) для преобразования Лапласа; для] (единичый импульс или дельта-импульс Кронекера) для 2-преобразования; 350 Глава 12. Модели дискретных систем ~~-бил (масштабированный единичный импульс) для дельта- преобразования. 12.12.
Устойчивость дискретных систем 12.12.1. Связь с полюсами Мы видели, что реакция дискретной системы (в области оператора сдвига) на входное воздействие У(х) имеет форму У(х) = Св(х)У(г) + ~ ' (12.12.1) (к Ст1)(Л Ст2) ' ' ' (в Сти) где св1, ..., ст„— полюсы системы. Тогда, используя разложение на простейшие дроби, выражение для У(х) можно записать следующим образом: У(я) = ~~1 — + слагаемые, зависящие от У(х) (12.12.2) ~3.» — ™Я где, для простоты, мы предполагаем что все полюсы являются различными. Соответствующая реакция во времени у[к] = Д [ст ] + члены, зависящие от входного воздействия. (12.12.3) Устойчивость обеспечивается, если [ст ]" -+ О, что выполняется в случае, если [св [ < 1. Следовательно, устойчивость требует, чтобы полюсы имели модули меньше единицы, т.
е. находились внутри единичной окружности с центром в начале координат. 12.12.2. Устойчивость в дельта-области Фактически, дельта-область — просто сдвинутый и отмасштабированный вариант У области, что вытекает, например, из (12.9.7) и (12.9.8). Из этого следует, что граница устойчивости дельта-области — окружность радиуса — с центром в точке — — в у-плоскости. Снова об- 1 1 ратим внимание на тесную связь между непрерывной а-областью и дискретной Б-областью: область Б-устойчивости приближается к области а-устойчивости (открытая ЛПП) при Ь -+ О. 12.13. Дискретные модели для квантованных непрерывных систем 351 12.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
