Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 56
Текст из файла (страница 56)
1 и я о з ов й 0 о Время [перяодм квантования] Рис. 12.2. Ступенчатое восстановление 336 Глава 12. Модели дискретных систем Управляемые компьютером системы обычно рассматривают тполько в моменты квантования (опасность такого подхода, а также более общее описание будут рассмотрены в гл. 14). В простом случае, когда нас интересуют только моменты квантования, описание объекта преобразуется в связь между входной квантованной последовательностью (и[й]) и выходной квантованной последовательностью (у[й]).
Таким образом, нам нужны удобные способы описания динамических моделей, которые связывают одну последовательность (вход) с другой последовательностью (выход). 12.4. Линейные дискретные модели Полезная дискретная модель типа, упомянутого выше, — линейная вер- сия модели разностных уравнений старших порядков, упоминавшейся в разд. 3.8. В дискретном случае эта модель принимает внд у[й+ и]+ а„1у[й+ и — Ц+ + асу[й] = б„1и [й + и — Ц + " + Бои[й] (12.4.1) е[й+ Ц = е[й]+сге[й] и[й] = сге[й]+ е[й] (12.4.2) (12.4.3) Сдвиг на один шаг вперед в (12.4.3) дает и[й+ Ц = сге[й+ Ц + е[й+ Ц (12.4.4) Вычитая (12.4.3) из (12.4.4) и используя (12.4.2), получим следуюи1ую модель ревностного уравнения старишх порядков: и[й+ Ц вЂ” и[й] = сг (е[й+ Ц вЂ” е[й!) + е[й+ Ц вЂ” е[й] (12.4.5) = сг (е[й+ Ц вЂ” е[й]) + сге[й] В обозначениях (12.4.1) мы имеем ао = -1, 61 = сг, Ьо = с1 — сг.
Заметим, что старший член сге[й+ Ц появляетсл в правой части потпому, чшо регулятор бисобстенный (левая и правая части уравнения (12.4.5) имеют один и тот же порядок). Заметим п|акже, что здесь (и[й]) — выход, а (е[й]) — вход. ППП Пример 12.2. Рассмотрим шак называемый ПИ-регулятор, который формирует управляющую последовательность и[й] как сумму составляющей, пропорциональной ошибке управления и сосшавляющей, пропорциональной накопленной (интаегральной) ошибке.
Этпо может быть смоделировано следующим образом: 12.6. г;преобразование 337 12.5. Оператор сдвига У(7" [/с]) а 7[й+ 1] (12.5.1) В терминах этого оператора модель (12.4.1) будет иметь вид а"уЯ+ап 1д" ~уЯ+" +аоу[7д] =Ь а иЯ+ +ЬоиЦ (12.52) Для дискретных систем можно также ввести дискретные модели пространства состояний.
В области оператора сдвига эти модели имеют вид дхЯ =Адх[Ь]+В иЯ (12.5.3) у[к] = Сдх[к] + Оди[7д] (12.5.4) где (х[й]), (и[к]) и (у[к]) — последовательности состояния, входа и выхода соответственно. Решение уравнений (12.5.3) и (12.5.4) легко получается с помощью итерации уравнения (12.5.3). ж[й] = А~~к(0) + ~~~А~Вди[й 1 1] г=о г-1 у[к] = СдА~х(0)+ Сд ~ А'В и~Я вЂ” 1 — 1] (12.5.5) (12.5.6) г=о Пример 12.3.
Рассмотрим дискретный ПИ-регулятор иг приме- ра 12.2. Фактически уравнения (12.4.2) и (12.4.3) уже имеют форму дискретного пространства состояний где (12.5.7) ППП Ад — — 1; С =1; Рд=сг Вд — — сг, 12.6. 2-преобразование Таким же образом, как преобразования Лапласа переводят дифферен- циальные уравнения в алгебраические уравнения, мы можем использо- вать Е-преобразования, чтобы преобразовать разностные уравнения в алгебраические.
При описании далее дискретных моделей нам будет удобно использовать обозначение оператора сдвига вперед. Мы определим оператор сдвига вперед следующим образом: 338 Глава 12. Модели дискретных систем 1'аблнпа 12.1 Таблица У преобразований Область сходииости г[ГУ 1) Рассмотрим последовательность (у[й]; й = 0,1,2,...1. Тогда пара Е-преобразований, связанная с (у~йЦ, определяется следующим образом: 12.6. а-нреобразоаанне 339 Таблица 12.2 Свойства Е-преобразования. Заметим, что г';(«) = Я [Яй]], д[й] означает обычно единичную ступеньку, значение у[со] должно быть вполне определенным и что свойство свертки справедливо при условии, что,6г [й] = ~«[й] = 0 для всех й < О я №)! Названия ос К(«) Сгм «г («) — «ДО) Простейшие дроби Сдвиг вперед « — Е'( ) « — 1 Суммирование Сдвиг назад Единичная ступенька !се [й] Теорема о конечном значении Теорема о начальном значении Свертка У1 [й] г г [й] (л)"у,[й] Сложная свертка Масштабирование частоты где контур интегрирования является окружностью с центром в начале координат и радиусом р.
У(«) называется Е-преобразованием у(1). Пара преобразований полностью определена, если существует параметр р Е И+, такой, что Е-преобразования различных распространенных сигналов приведены в табл. 12.1. Некоторые полезные свойства Е-преобразования собраны в табл. 12.2. осЛ[й] гзп ~[й+ Ц Ея ыо Дй — Ц у[й-1]р[й — 1] — ~[й] 1 й !пп у[й] 1пп у[й] ,6г [1]Яй — 1] Р(«) + Д-1) « 'У(«) с1Г(«) с1« 1пп (« — 1) У(«) «-+1 1пп У(«) г"г («) Рг («) г"г(йг"г р (з) [у[й]] < Р Чй>0 (12.б.З) 340 Глава 12. Модели дискретных систем Пример 12.4.
Рассмотрим дискретный ПИ-регулятор из примера 12.2 и пусть и[0] = О, а е[Ь] — единичная ступенька, приложенная при й = О. Тогда, взяв Е-преобразование от (12.4.5), получим «С(«) — «и[0] — С(«) = сг («Е(«) — Е(«) — «е[0]) + с1Е(«) Следоватпельно1, с2«+ (с1 — с2) Е( («-1) У(«) с1 сг цг+«1 Е()=, (12.6.4) С1«С2« С()=(, ),+, (12.6.5) Следовательно, и[а] = стя + сг , 'я > О. ППП Е-преобразование можно использовать для преобразования .разност- ных уравнений в алгебраические уравнения. 12.7. Дискретные передаточные функции где г1 Ве(«) Ае(«) (12.7.5) Заметим, что м[0) = сте[ОЬ Взяв Е-преобразование от обеих сторон модели в виде разностного уравнения старших порядков (12.5.2), получим Ае(«)10(«) = Ве(«)СО(«) + Я«,хо) (12.7.1) где T («) и У («) — Е-преобразования последовательностей 1уЩ и (и[те]) соответственно.
Заметим, что Ае(«) = «" +а„1«" 1+" +а„ (12.7.2) Ве(«) =Ьт«+Ь„, 1«т 1+ +Ь, (12,7.3) и 7е(«,хо) — слагаемое, зависящее от начальных условий, аналогичное Г'(з,«„) в (4.5.1). Уравнение (12.7.1) может быть переписано в виде 1'е(«) = Се(«)Се(«) + (12.7.4) Я 12.ь. Дискретные передаточные функции 341 Од(г) = Сд(г1 — Ад) ьВд+ Р (12.7.6) Роль дискретных передаточных функций в описании динамического поведения аналогична роли передаточных функций для непрерывных систем. В частности, расположение полюсов (корни Ад(г)) определяет собственные движения системы.
Хотя непрерывные и дискретные передаточные функции имеют много общего, есть некоторые специальные особенности у дискретного случая, как иллюстрируется следующими двумя примерами. Пример 12.5 (Полюсы в начале координат — конечное время переходного процесса). Вычислим переходную характперистпику дис- кргтпной системы с передаточной функцией 0 бгг 1 2г+ 0 9 Сд(г) = (12.7.7) Решение Е-преобразование реакции системы у[В] на входной сигнал иЩ опреде- ллетсл формулой 0 5гг — 1 2г+ 0 9 1д(г) = ' з ' Уд(г) = О.бг Бц(г) — 1.2г 'сьд(г) + 0.9г Уд(г) (12.7.8) Следоватпгльно, у[Я = 0.5и[7с — 1] — 1.2и[й — 2] + 0.9и[й — 3] (12.7.9) Тогда, если иЩ = ььЯ, реакция сиспьгмъь опргделлетсл выражением 0 й=О 0.5 й = 1 -07 Й=2 О 2 ььк > 3 у[А] = (12.7.10) называется дискретной (в форме опгратпора сдвига) передаточной функцией.
Так же как и для непрерывного времени, передаточная функция однозначно определяет поведение входа-выхода в дискретные моменты квантования при нулевых начальных условиях. Мы можем также использовать Х-преобразование для получения передаточной функции, соответствующей дискретной модели пространства состояний в форме оператора сдвига. Взяв Е-преобразования в (12.5.3) и (12.5А) и пренебрегая начальными условиями, получим 342 Глава 12. Модели дискретных систем Нринципиальная особенность этой системы — то, что ее реакция на ступеньку имеет конечное времл установления.
Это получается благодаря полюсам в начале хоординатп. ОПП Пример 12.6 (устойчивые отрицательные вещественные полюсы — пульсации). Найдем переходную характеристику системы, имеющей передаточную функцию вида Св(г) = 0.5 г+ 0.5 (12.7.11) Решение Я-преобразование реакции на ступеньку у[Ц имеет еид Ув(х) = ' Уо(г) = (12.7.12) Раскладывая на простейшие дроби (с помощью команды т'езЫие пакета МАТйАВ), получим Уд(х) — — Ф=» у[Ц = — (1 — (-0.5) ) рЯ (12.7.13) 3(г — 1) 3(г+ 0.5) 3 Заметим, то реакция содержитп компонент ( — 0.5)~, который соответпстпеует колеблющейся реакции (известной как пульсации).
В дискретном времени это может произойти (ках в данном примере) длл единственного отрицательного вещестпвенного полюса, в пю время как при непрерывном времени необходима пара комплексно-сопряженных полюсое длл получения этого эффекта. Это поведение можно оценить по рис. 12.3, где показана реакция на ступеньку (12.7.13). ППП о. о. 5 о.
о, о 1 г з а в в т в в 1о Время Рис. 12.3. Переходная характеристика системы, обладающей реакцией с колебаниями 12.8. Дискретные модели в дельта-области 343 12.8. Дискретные модели в дельта-области руИ)+у(8)= „~ +уР)= И) 4уИ) (12.8.1) и дискретное уравнение в области оператора сдвига аиду(ЬЛ) +ату(1Ь) = 51и(ЦЬ) (12.8.2) Представляя дифференциал как предельную операцию в (12.8.1) мы получим Иш + у($) = и(8) (12.8.3) а-то ~ Ь Если мы теперь сравним (12.8.1) с расширенной формой (12.8.2), азУ(8+ сь) + атУ(8) = 61 и(8); где Ь = 1ь+1 — 8ь (12.8.4) то увидим, что принципиальное различие между непрерывным и дискретным временем ощутимо улавливается в операции взятия предела у выражения (12.8.3). Кроме этого, мы также замечаем, что (12.8.3) принципиально основано на оптноситальном и временном смещении от абсолютного значения у(1), в то время как (12.8.4) моделирует ту же самую динамику двумя абсолюптнммн значениями у(8) и у(8+ Ь).
В дальнейших главах мы увидим, что это тонкое отличие приводит к тому, что дискретные результаты, основанные на операторах смещения, отличаются от соответствующих непрерывных результатов при Ь -+ О. Эту принципиальную трудность можно избежать, используя альтернативный оператор, называемый дельтла-операторолт: 4(т(льд)) ь 1(Я+ 1)~1) 1Жд) Ь (12.8.5) где Ь означает период квантования. Оператор сдвига вперед д, определенный в разд. 12.5, является наиболее часто используемым дискретным оператором.
Однако в некоторых приложениях оператор сдвига вперед приводит к трудностям. Причина этих трудностей объясняется ниже. Хотя наблюдается явное подобие между моделью с дифференциальным оператором, задаваемой уравнением (4.2.4) и моделью оператора сдвига, определяемой уравнением (12.5.2), имеются тонкие (но далеко идущие) различия между этими представлениями. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим непрерывное уравнение первого порядка 344 Глава 12. Модели дискретных систем Для квантованных сигналов важная особенность этой операции в том, что В дельта-форме основная дискретная модель (12.4.1) будет иметь вид б"у[й]+а'„1би ~у[й]+ +аоу[й] =Ь,'„б™о[й]+ "+Ьи[й] (12.8.8) Заметим, что существуют простые однозначные отношения между коэффициентами [а;,Ь;) в (12.4.1) и (а';,6,') в (12.8.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
