Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Рассмотрим установку, показанную на рис. 12.6, где интервал квантования Ь = 0.5 с. Предположим, что передаточная функция от Уе(в) к У, (а) равна н.,(,) =, 12.7.1. Найдите С (а). (Используйте команду т12с пакета МАТЮКАВ.) 12.Т.2. Объясните, почему предыдущее решение не единственное и получите какие-нибудь альтернативные выражения для Со(а), которые также удовлетворяют (12.18.10). Задача 12.8. Рассмотрим установку, показанную на рис.
12.6, где 0.8 (12.18.11) а+ 0.8 Найдите передаточную функцию от Уо(а) к У (в) сначала для Ь = 1 с, а затем для Ь = 0.75 с. Задача 12.9. Передаточная функция импульсной системы (в дельта- форме) задана выражением ~б(7) — 0 1 0 8 (12.18.12) 12.9.1. Если Ь = 3.5 с, будет ли система устойчивой? 12.9.2. Найдите соответствующую передаточную функцию для Е- преобразований при Ь = 3.5 с. 12.9.3. Повторите 12.9.1 и 12.9.2 для Ь = 1.5 с.
Задача 12.6. Выход у(Ф) непрерывной системы с входным единичным ступенчатым сигналом квантуется каждую секунду. Выражение для последовательности (у[А)) имеет вид уРс! = 0.5 — 0.5(0.6)" (12.18.9) 364 Глава 12. Модели дискретных систем Но(7) = 1 (12.18.13) 7г+Я7+1 12.10.1. Сравните частотные характеристики для фильтров в диапазоне частот (О;Зш,]. Прокомментируйте результат. 12.10.2. Может ли цифровой фильтр использоваться в качестве сглаживающего фильтра? Задача 12.11. Рассмотрим две передаточные функции Ст(о) и стг(в): 1 2 Жв) = в+1 и Сг(о) = о+2 (12.18.14) Сравните частотные характеристики следующих двух передаточных функций: (г'лог*Фг)о(г) и (СьоС1)д(в)(СьоСг~д(в) (12 18 15) для двух различных периодов квантования Ь = 0.05 с и Ь = 0.5 с.
Обсудите основные проблемы, возникшие в атом примере. Задача 12.10. Рассмотрим непрерывный и дискретный фильтры низких частот, имеющие передаточные функции Н(в) и Но("у) соответственно. Предположим, что для цифрового фильтра частота квантования ы, выбрана равной 25 рад/с и что Н(о) = 1 вг+ т/28+ 1 Глава 13 Цифровое управление 13.1. Введение Модели дискретных систем были описаны в гл.
12. Там мы видели, что цифровые и непрерывные системы фактически весьма близки. Следовательно, обычно справедливо, что цифровые реакции приближаются к соответствующей непрерывной реакции при стремлении периода квантования к нулю. По втой причине в оставшейся части книги мы будем представлять непрерывные и дискретные идеи параллельно. Цель данной главы состоит в том, чтобы обеспечить плавный переход к такому подходу, выдвигая на первый план специальные проблемы, связанные с цифровым управлением. В частности, в главе рассматриваются вопросы: е почему мы не можем просто обращаться с цифровым управлением, как будто оно точно такое же самое, что и непрерывное управление и ° как спроектировать цифровую систему управления так, чтобы в моменты кваншования ее реакция точно совпадала с реакцией непрерывной системы.
13.2. Дискретные функции чувствительности Предлагаем читателю вспомнить результаты, представленные в гл. 12 по моделям дискретных систем. Предположим (как бывает почти всегда на практике), что объект работает в непрерывном времени, в то время как регулятор реализован в цифровой форме. Наличие регулятора, реализованного в цифровой форме, вносит несколько ограничений в задачу: а) регулятор чувсщвуещ реакцию выхода только в моменты квантования) б) обычно будет необходим сглаживающий фильтр (см. равд. 12.2) до процесса квантования выходного сигнала, чтобы избежать преобразования высокочастотных сигналов (типа шума) в сигналы более низких частот, где они будут неправильно восприняты, и 366 Глава 13. Цифровое управление Экстра.- полятор Объект Цяфровой регулятор Сглаживающий фильтр Рис. 13.1.
Контур управления с квантованвыми данными о ) квантованная импульсная "е)о ( ) '(характеристика Р(з)Со(з)Сье(з) а ~ ) квантованная импульсная 1 "о з( ) ~характеристика Со(з)бао(з)) (13.2.1) (13.2.2) Учитывая эквивалентную дискретную передаточную функцию объекта, мы можем сразу же записать другие соответствующие передаточные функции замкнутого контура: в) непрерывный вход объекта просто связывается с цифровым (квантованным) выходом регулятора, например, с помощью экстраполятора нулевого порядка. Основная идея гл. 12 состоит в том, что если нас интересует реакция только в моменты квантования, эти квантованные величины могут быть описаны дискретными моделями или с помощью дельта-оператора, или с помощью оператора сдвига. Например, рассмотрим контур управления с квантованными данными, показанный на рис. 13.1.
Заметим, что на рис. 13.1 мы использовали переменную Лапласа з, чтобы описать непрерывные передаточные функции и переменную 2-преобразования з для описания цифрового регулятора. Если нас интересует только квантованная реакция, то легко получить эквивалентную дискретную модель для квангвоеанноб реакции с помощью комбинации экстраполятор — объект — сглаживающий фильтр.
Это может быть сделано или через передаточные функции, или через методы пространства состояний. Для удобства мы здесь используем форму передаточной функции, которая представлена в (12.13.3). 13.3. Нули импульсных систем 367 Пока это все кажется аналогичным непрерывному случаю (и, действительно, это так). Конечно, приведенные передаточные функции описывают только квантованные реакции. Дополнительно будет сказано об этом в гл.
14, когда мы будем исследовать межтактовую реакцию цифрового контура управления. Термин «межзпактловал реакт1талв означает реальную, но недоступную (для компьютера) непрерывную реакцию основного процесса. 13.3. Нули импульсных систем егп — 1 оа Рс (13.3.1) 1 = 1, ... тт где р~ и р; означают дискретные (в дельта-области) полюсы и непрерывные полюсы соответственно. В частности, мы видим, что р; -+ р;, 6 когда Ь -+ О. Однако отношения между непрерывными и дискретными нулями более сложны. Возможно, удивительно, но все дискретные системы, оказывается, имеют относительную степень, равную единице, независимо от относительной степени первоначальной непрерывной системы . ' Бывают исключения, когда квантованные непрерывные системы имеют илн чистое запаздывание, или неминимально-фазовые нули (ори особом выборе периода квантования).
Как показано в гл. 8, нули разомкнутого контура системы существенно влияют на достижимую характеристику замкнутого контура. Поэтому важность понимания значения нулей в дискретных моделях не удивительна. Оказывается, что здесь существуют некоторые тонкие проблемы, которые мы и рассмотрим. Если мы используем модели с оператором сдвига, то трудно заметить связь между непрерывной и дискретной моделями.
Однако если мы используем эквивалентное описание в дельта-области, то станет ясно, что дискретные передаточные функции сходятся к соответствующим непрерывным описаниям. В частности, отношения между непрерывными и дискретными полюсами 1в дельта-области) представлены выражением (12.14.17). Например, мы видим, что 368 Глава 13.
Цифровое управление 1. Системные нули: гы ", г„, имеют такое свойство, что )1 ю (13.3.2) ь-+о где г4 — дискретные нули (выраженные для удобства в дельта- области) а г; — нули соответствующей непрерывной системы. 2. Нули квантования: г„,+„", г„1имеют такое свойство, что 1пп ~гг~ = оо 1 = т + 1>...,п — 1 (13.3.3) а- о~ ' Конечно, если у непрерывной системы т = п — 1, то нулей квантования нет. Заметим также, что раз нули квантования стремятся к бесконечности, то они определяют относительную степень непрерывной системы.
Пример 13.1. Рассмотрим непрерывную сервосистпсму из примера 3.4, имеющую непрерывную передаточную функцию 1 Со(з) ( ц (13.3.4) где п = 2 и т = О. Тогда мм можем ожидать, что дискретизация приведет к одному нулю квантования, что мм проверим следующим образом. С периодом квантования 0.1 с точная цифровая модель в области оператора смещения будет г го ч оч(г) = (13.3.5) где К=0.0048, гч = — 0.967 и счо = 0.905. Соответствующая точная цифровая модель в дельта-области имеет вид: к' (7 го) (13.3.6) 7(у — о) где К' = 0.0048, гог = — 19.67 и счо = — 0.9516. Ввиду сходимости дискретных нулей к непрерывным нулям, мы делим (несколько искусственно) все дискретные нули на два множества. 13.3.
Нули импульсных систем 369 Нуль квантования, дельта-область Нуль квантования, область оператора смеп1ения -10 О.з -20 0 1 2 З 4 б Период квантования [с) -1 О 1О 2 4 з а Период квантования (с) Рис. 13.2. Расположение нуля квантования с различными периодами квантования (пример 13.1) Располозтсение нулей квантования в области оператпора смещения и дельта-областпи как функция периода квантования Ь определяется соответственно выразтсениями (1+Ь)е ~ — 1 о -Ь и гг о д.» е-д (13.3.7) откуда легко проверитль, что для очень маленького са, гое ~ ( — 1)+ и гоз -+ оо. Аналогично для очень большого Ь, зое -+ 0 и гз — ~ 0 .
Эти изменения показаны на рис. 13.2. ППП При управлении дискретными системами следует особое внимание обращать на нули квантования. Например, эти нули могут быть неминимально-фвзовыми даже если исходная непрерывная система минимально-фазовая. Рассмотрим, например, минимально-фвзовую непрерывную систему с передаточной функцией з+4 ~'(з) ( +цз (13.3.8) Для этой системы нули в области оператора смещения функции (СОСьб)0(г) при двух различных периодах квантования будут следующими: Ь = 2 с =ь нули при -0.6082 и -0.0281 зь = 0.5 с =ь нули при — 1.0966 и 0.1286 Заметим, что для Ь = 0.5 с импульсная передаточная функция имеет нуль вне области устойчивости.
370 Глава 13. цифровое управление 13.4. Является ли специальная теория цифровых систем действительно необходимой? В разд. 13.3 мы видели, что при разумных условиях дискретная модель системы будет сходиться при увеличении скорости квантования к исходной непрерывной модели. Это неизбежно приводит к вопросу: нам дейсупвительио нужна отдельная теория цифрового дправленилУ Интуитивно понятно, что ограничения а), б), в) в разд. 13.2 почти незаметны, если квантование осуществляется достаточно часто.
Из равд. 13.3 мы также видим, что дискретные полюсы (в дельта-области) и нули сходятся к непрерывным при Ь -+ О. Хотя эти наблюдения абсолютно правильны, требуемая скорость квантования, вероятно, определяется не только практическими соображениями. На практике скорости квантования обычно выбираются в 3-10 раз больше полосы пропускания замкнутого контура, чтобы сделать влияние квантования незначительным, в то время как на самом деле влияние квантования будет несущественным, если скорости квантования на порядок больше. Поэтому следует думать о цифровом управлении с учетом его внутренних особенностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
