Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Три возможных варианта проектирования следующие: 1) Спроектировать регулятор в непрерывном времени, дискретизировать результат перед реализацией и гарантировать, что ограничения квантования существенно не затронут окончательную характеристику. 2) Работать в дискретном времени, делая точный анализ реакции е моменты квануловаяия и гарантировать, что межтактовая реакция не слишком удивительна. 3) Выполнить точный проект, оптимизируя непрерывную реакцию при наличии (ограниченного) цифрового регулятора. Первые два из этих вариантов будут проанализированы в следующих разделах.
13.5. Приближенные непрерывные проекты Здесь, мы используем идею просто выполнить обычное непрерывное проектирование, а затем перевести полученный регулятор в дискретную область. 13.5. Приближенные непрерывные проекты 371 1. Просто взять непрерывный регулятор, выраженный в терминах пере- менной Лапласа з и затем заменить каждое вхождение з соответству- ющим оператором у в дельта-области. Это приводит к следующему закону цифрового управления: С1(у) =С(з)~ (13.5.1) где С(з) — передаточная функция непрерывного регулятора, С1( у)— результирующая передаточная функция дискретного регулятора в дельта-форме. 2.
Преобразовать регулятор в дискретный эквивалент с экстраполято- ром нулевого порядка. Это называется сптупенчагпо-инвариантпным преобразованием. В результате получаем Сг( у) = Р (квантованная импульсная характеристика (С(з) Сьо(з) )] (13.5.2) где С(з), Сьо(з) и Сг(7) — передаточные функции непрерывного регулятора, экстраполятора нулевого порядка и окончательного дискретного регулятора соответственно. 3.
Можно использовать более сложный переход от з к у. Напри- мер, можно выполнить следующее преобразование, обычно называе- мое билинейным преобразованисм с предварительной деформацией. Пусть сначала 3 =, Ф--Ф 'у тгу 3 Ь7+ 1 (13.5.3) ст — — 3 г Дискретный регулятор тогда определяется следующим образом: Сз('у) = С(з)~ от — т+т (13.5.4) Затем выбираем ст так, чтобы частотные характеристики этих двух регуляторов совпадали на некоторой желаемой частоте, скажем, от'. Например, можно было бы выбрать ы' как частоту, на которой непрерывная функция чувствительности имеет максимальное значение.
Далее вспомним из гл. 12, что дискретная частотная характеристика на частоте ы* получается заменой у = (е' ~ — 1)/Ь, а непрерывная частотная характеристика получается заменой з на уи'. Следовательно, чтобы приравнять дискретную и непрерывную ча- Чтобы проиллюстрировать эффект обычного перевода проекта системы управления из непрерывной в дискретную область, мы упомянем три метода, почерпнутых из литературы по цифровой обработке сигналов.
372 Глава 13. Цифровое управление статные характеристики на частоте и*, нам нужно, чтобы параметр сг удовлетворял условию (13.5.5) Результат будет следующим: ю*~1 в1по1'Ь о1*Ь ю'~~ (13.5.6) Проиллюстрируем это следующим примером. Пример 13.2. Обвект имеет номинальную модель следующего вида: (13.5.7) Решение 13.2.1. Характеристический полинам замкнутого контура А,1(з) выбран в следующем виде Ае1(з) = (за+ Зз+ 4)(за + 10з+ 25) (13.5.8) где сомножитель за+ 10з+ 25 добавлен, чтобы получить для Ае1(з) степень, равную 4, что является минимальной степенью для возможности произвольного выбора Ае1(з). Решая уравнение назначения полюсов, мы получим Р(з) = 88зз+ 100з+ 100 и Ь(з) = э+ 15.
Это дает следующий ПИД-регуляторг 88зг+ 100з+ 100 з(э+15) (13.5.9) 13.2.1. Нужно синтезировать непрерывный ПИД-регуляпьор, такой, что доминирующие полюсы в замкнутом состоянии являются корнями полинома зг + Зз + 4. 13.2.2. Используя полученный результат, нужно получить дискретный ПИД-регуляп1ор. Предположим, что частота квантования может быть такой, какой потребуется и что на входе обьекта помещен экстраполятор нулевого порядка. 13.2.3. Испавьзуя Я1МШПвК, нужно сравнить реакции на единичный ступенчатый эталонный сигнал для непрерывного и дискретного контуров.
13.2.2. Мы можем использовать высокие скорости квантпования, поэтому простейиьей процедурой получения дискретного ПИД- регулятпора являептся замена з на 7 в (13.5.9): 8872 + 1007+ 100 'у(7+ 15) (13.5.10) иви в форме Е-преобразований 88гг — 1662+ 79 (г — 1)(г+ 0.5) (13.5.11) где мы предполагаем интервал квантпования г!т = 0.1. 13.2.3. Непрерывный и дискретный контуры смоделированы в пакете 81М1111МК для единичного ступенчатого эталонного сигнала в момент Ф = 1 и единичного входного возмущения в момент $ = 10.
Разность выходных сигналов обвекта показана на рис. 13.3. ол -О.4 0 2 4 6 6 10 12 14 16 16 20 Время (с! Рис. 13.3. Различие в выходах объекта под действием дискретизации регулятора (первод квантования = 0.1 с) Читателю предлагается проверить, что для меньтиих периодов квантпования, скажем, Ь = 0.01, различие с непрерывным вариантном было бы едва заметным. Оба контпура включены в файл 1содт'.тЖ пакета о1МШ 1ИК. ППП Однако факт, что ни одно из специальных преобразований, перечисленных выше, не является полностью удовлетворительным с более скромными скоростями квантования, иллюстрируется в следующем примере. я 0 е 3 мя -О.г 3 ы -о.з 13.5. Приближенные нвпрврывныв проекты 373 374 Глава 13. Цифровое управление 10 Со(з)— а непрерывный регулятор задан выражением 0.416з+ 1 0.139з + 1 (13.5.13) Заменитпь эпютп регулятпор цифровым регулятпором с Ь = 0.157 с, перед которым находится квантповатпель, а эа ним — экстраполятор нулевого порядка, используя каждую из трех аппроксимаций, перечисленных выше.
Протестировать реакцию на ступенчатпый этпалонный сигнал для каждой тпакой аппроксимации. Решение 1. Заменяя в С(з) з на у, получим — 0.416 у+ 1 0.139 у+ 1 (13.5.14) 2. Эквивалент С(з) с экстпраполятпором нулевого порядка имеетп вид Сг(7) = (13.5.15) 0.232 у+ 1 3. Для билинейного преобразования с предварительной деформацией сначала получим непрерывную функцию чувствитпельностпи ~'('У ) 1 С(' )С(' ) 1 (13.5.16) 1+ С(уи)С(ко) Найдем, чтпо ф„(ую)~ имеетп максимум на частотпе от* = 5.48 ргд/с.
Тогда, используя формулу (13.5.6), получим ст = 0.9375. С этпим значением ст найдем приближение 0 2088 0.4685 у + 1 (13.5.17) Переходные характеристики замкнутого контура, полученные с непрерывным регулятором С(з) и тремя дискретными регулятпорами Ст ( у), Сг ( у) и Сг ( у) предстпавлены на рис. 13.4. Из рисунка мы видим, что ни одно из приближений точно не воспроизводитп реакцию замкнутпого контура, полученную с непрерывным регулятором. Фактически, длл этого примера мы видим, что простая Пример 13.3. Номинальная передаточная функция систпемы имеет вид (13.5.12) 13.6.
Цифровое проектирование в моменты квантования 375 т о н 1О 0.5 3 о о 1 2 в 4 5 в Время [е[ Рис. 13.4. Характеристики различных проектов систем управления: непрерывной (у,(т)), простой подстановки (ут(т)), ступенчатой инвариантностн ((ув(2)) и билинейного преобразования (ув(8)) замена, хаэ1сется, дает лучитий результат и что нет смысла получать здесь результпатп более причудливыми методами. Однахо было бы опасно делать из этпозо примера общие заключения.
0ПС3 Вышеупомянутый пример показывает трудность получения дискретных законов управления специальными средствами. Поэтому мы продолжим исследовать проектирование дискретных и цифровых систем управления. 13.6. Цифровое проектирование в моменты квантования Следующий вариант, который мы исследуем, — точное цифровое проектирование системы управления для хвантпованной реакции. Напомним, что квантованная реакция точно описывается соответствующими дискретными моделями (выраженными или с помощью оператора сдвига, или с помощью дельта-операции). Здесь можно было бы использовать много разных возможных стратегий. Мы кратко рассмотрим некоторые из временных и частотных методов. 13.6.1.
Проектирование во временной области Любая алгебраическая технология (типа назначения полюсов) имеет непосредственный цифровой аналог. По существу, все, что здесь необходимо, — работать с параметром з (или .у) вместо переменной Лапласа 376 Глава 13. Цифровое управление х и иметь в виду различные области устойчивости замкнутого контура. Напомним следующие области устойчивости замкнутого контура: непрерывный: Я(в) < О; дискретный в х-области: [х[ < 1; дискретный в б-области: [б+ а[ < а. Вее(х) ~од(х) — [~о~ь01д(х) А ,(х) (13.6.1) и цифровой регулятор с передаточной функцией Се(х) = Ре(х) Ье(х) (13.6.2) где А,е(х), Вм(х), Ье(х) и Ре(х) — полиномы в х-плоскости с нормированными А (х) и Ье(х).
Степени А, (х) и В, (х) — п и т (т < п) соответственно. Дальше мы будем считать, что разомкнутый контур обладает накапливающим эффекупом (интегрирующее свойство), т. е. что Ав,(х)Ье(х) имеет по крайней мере один корень при х = 1, чтобы гарантировать нулевую ошибку в установившемся состоянии при ступенчатом эталонном сигнале и ступенчатом выходном возмущении. 13.6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
