Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Одна такая проблема — обеспечение робастности. Помещение [13.7.3) в знаменатель передаточной функции регулятора гарантирует, что функция дополнительной чувствительности будет точно равна единице на частотах Решение Из (13.7.6) мы видим, чтпо полинам, формирукпций эталонное воздей- ствие, Гд,(г) имеет вид гто — 1. Таким образам, принцип внутренней модели приводит к следующей структуре регулятора: Рд(г) Рд(г) Хд(г) т (г)Г „(г) (13.7.7) Далее используем принцип назначения полюсов для харахтперистичесхого полинома, имеющего вид А тд(г) = г12(3-0.2). Решение диофантова уравнения дает Р,( ) =13.0х" +11.8 1О -24.0 '+ 19.7гг- 16.1гт+ 13.2ге- 5 4 з 2 (13.7.8) — 10 8гз+8 8гв — 7 2гз+ 36 4г~ — 48 8г-[-17 6 7,,(г) =( "-Ц(. +0.86) (13.7.9) Рисунок 13.9 показывает характперистпиху окончательного цифрового контпура управления, Рис.
13.9. Периодическое управление На рис. 13.9 мы видим, чтио после переходного периода выход обоекта у($) тпочно следует за периодическим эталонным сигналом в моменты квантования. Отметим опасность анализа и синтеза только в моменты квантаования. Межтахтповое поведение в этом примере может быть предсказано методами для гибридных систем, котпорые будутп рассмотрены в гл. 14. [:[С7С[ Совершенное отслеживание в установившемся режиме для эталонного сигнала с высокочастотными гармониками, может нарушить робастность номинального проекта.
Это может быть оценено, добавляя несмоделированное запаздывание величиной 0.02 с в контур управления, 1 "и ол н ,", Фг ~я ее 8 ня я гп 2О.5 -1 о 13.7. Принцип внутренней модели для цифрового управления 389 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Время [е[ 13.8.
Фундаментальные ограничения характеристик 391 Доказательство Из определения Е-преобразования мы имеем, что для всех з в области сходимости преобразования, т. е. для [з[ ) р, Н(з) =~ 6[я]з ~ й=е (13.8.3) Отсюда следует результат, потому что з„— из области сходимости преобразования. 000 Использование этой леммы приводит к тем же самым выводам, как и в непрерывном случае.
Это происходит потому, что в обоих случаях ключевые моменты следующие: 1. Функция чувствительности должна равняться нулю для неустойчивых полюсов разомкнутого контура, а функция дополнительной чувствительности должна равняться единице для тех же величин. 2. Функция дополнительной чувствительности должна равняться нулю в неминимально-фазовых нулях, а функция чувствительности должна быть равна единице для тех же величин.
3. Мы используем совокупную меру интересующих сигналов. Это приводит к той же самой совокупности аргументов относительно компенсации положительных н отрицательных накопленных величин. Для иллюстрации этой параллели ниже сформулирован дискретный аналог леммы 8.3. Лемма 13.2. Рассмотрим контур управления с обратной связью, имеющий устойчивые полюсы замкнутпого контура, располорсенные Таким образом, свойства во временной области могут быть получены из леммы, эквивалентной лемме 4.1, которая формулируется следующим образом.
Лемма 13.1. Пусть Н[з) — рациональная функт1ия з и аналигпическая для [х[ ) р. Пусть такзгсе соогпветпствующая дискретная функция имеегп вид Н(з) = Я 16[1]) (13.8.1) 392 Глава 13. Цифровое управление внутри окружности с центром в начаае координат и радиусом р для некоторого р < 1. Предположим также, что регулятор С(х) = щ Р! в1 имеет, по крайней мере, один полюс в томке (1,0). Тогда, для нуля обеекта хе и полюса обеехта и„, удовлетворяющих условиям [х [ > р и [па[) р соответственно, имеет место следующее: 1. Для положительного единичного ступенчатого эталонного сигнала или отрицательного единичного ступенчатого выходного возмущения имеем е[й](х,) (13.8.4) в= еЩ(тр,) ~ =0 а=о 2. Для положительного единичного ступенчатого эталонного воздействия и для х, вне круга единичного радиуса имеем у[Ч(хо) (13.8.6) в=о 3.
Для отрицательного единичного ступенчатого входного возмущения имеем (13.8.5) (13.8.7) Доказательство Доказательство основано на важном факте, что полюсы и нули, которые мы рассматриваем, находятся в области сходимости преобразования, т. е. их модули больше, чем модули всех полюсов замкнутого контура. 1. В этом случае ошибка управления удовлетворяет уравнению Е(х) = Я, (х)(йг(х) — Ю„(х)) (13.8.8) где или Вг(х) = (1 — х 1) 1, или 0,(х) = (1 — х 1) 1. Заметим также, что Бее(х„) = 1 и Бее(ц ) = О.
Тогда результат следует из леммы 13.1, если Ь[1г] заменить на е[х]. 2. В этом случае выходной сигнал обеекта удовлетворяет выражению Уе(х) =Т, (х)В (х) (13.8.9) при Ве(х) = (1 — х 1) 1. Заметим также, что Т,е(хе) = О. Тогда результат следует из леммы 13.1, если Ь[Й] заменить на уЯ. 13.8. Фундаментальные ограничения характеристик 393 3. В этом случае ошибка управления удовлетворяет условию Е(г) = -Я;, (г)Р;(г) (13.8.10) где — Рт(г) = (1 — г ~) ~. Заметим также, что Ят,(гь) = 0 и Зть(»1е) = й"-3 .
Тогда резульгпат следует из леммы 13.1, если 6[к] заменить Рт на е[к]. ППП Оставим как задачу для читателя, получить дискретные аналоги другим результатам, представленным в равд. 8.6.5. Эти дискретные ограничения, однако, требуют осторожной интерпретации. Например, условие (13.8.6) не обязательно подразумевает, что система имеет недо- регулирование, потому что сумма в левой части равенства может быть равна нулю, если гь Е 1к, даже если у[к] никогда не изменяет знак. Это будет в случае, когда г„— нуль квантования. Можно также расширить результаты частотной области гл.
9 на дискретный случай. Предлагаем читателю посмотреть приложение С на %еЬ-сейте по этому вопросу. Чтобы показать особенности дискретных результатов, приведем следующую лемму, которая является дискретной версией леммы 9.2. Лемма 13.3. Рассмотрим дискретный устпойчивый контпур управления с одной степенью свободы, который имеегп в разомкнутом состоянии рациональную передаточную функцию Н,»(г). Предположим, что Н,(г) имеетп д полюсов вне единичного круга, расположенных в точках ~м~г,...,(». Тогда функция номинальной чувствительности удовлетворяет условию Доказательство Доказательство следует из непосредсгпвенного использования формулы Йенсена для единичного круга (теорема С.11).
Заметим, что Цг) следует заменить на Яь(г), котпорая по определению является бисобственным устойчивым частным двух нормированных полиномов, Ку=1 ит=т< — +т'=О. ППП Выражение (13.8.11) очень похоже на (9.2.9); оба указывают на необходимость уравнять область с низкой чувствительностью (отрицательный логарифм) с областью с высокой чувствительностью (положительный логарифм). Они также показывают, что существование больших 394 Глава 13.
Цифровое управление неустойчивых полюсов разомкнутого контура существенно смещает этот баланс в сторону области, где чувствительность больше, чем 1. Главное различие заключается в том, что для дискретного случая компенсация чувствительности должна быть достигнута в конечном диапазоне частот [О, 2к]. Другие параллельные результаты для дискретных систем — более или менее прямые следствия леммы С.2 и теоремы С.11. Вышеупомянутый результат иллюстрируется следующим примером.
ПРимеР 13.11. Обвект с номинальной моделью С„(з) = —,г :—в —,+гз зУпРавляется цифровым регулятором. Используются период квантования Ь и экстраполятор нулевого порядка. Предположим, что номинальная чувствительность должна удовлетворять условию ]о' (ег"~)] <в<1 ею< — ~ =— 4 2Ь (13.8.12) Используя лемму 13.3, нужно определить нижнюю границу пика чувствительности Яш~ . Решение Заметим, чп1о номинальная модель имеет два неустойчивых полюса„ расположенных в точках р1 г = 2ху3. Когда будет получено дискретная модель, эти неустойчивые полюсы отобразятся в ~цз = е(э~1~1~.
Тогда применим лемму 13.3, используя нормализованную частоту. Это даст л 1п]Яв(еУ~) ]дю = 4кЬ (13.8.13) о Ясли мы разделим интервал интегрирования на [О,к] = [О, $]0(г,к], то 1пЯ вв ) 4Ь вЂ” 1п(е) (13.8.14) Эта граница спшновится меньше, если увеличивается частота квантования.
Предлагаем читателю исследовать использование теоремы С.10 для получения меньшей границы для Я 13.9. Резюме ° Имеется множество путей проектирования цифровых систем управления: о проектирование в непрерывном времени, а затем дискретизация регулятора перед реализацией; о моделирование процесса цифровой моделью и выполнение проектирования в дискретном времени. 13.9. Резюме 395 ° Непрерывный проект может быть дискретизирован для дальнейшей реализации с помощью следующих этапов: о Для проекта сначала используются непрерывные сигналы и модели. о Перед реализацией регулятор заменяется эквивалентной дискретной версией. о Экеиеаленпьнос1пь означает простую замену з на 6 (где 6 — дельта- оператор).
о Следует сделать предостережение: анализ был выполнен в непрерывном времени и поэтому ожидаемые результаты будут при условии, что скорость квантования достаточно высока, чтобы замаскировать эффекты квантования. о Если интервал квантования выбран грамотно, особенно относительно динамики разомкнутого и замкнутого контура, то результаты должны быть приемлемы. ° Дискретный проект может быть основан на модели дискретизированного процесса: о Сначала модель непрерывного процесса дискретизируется. о Затем на основе дискретного процесса разрабатывается и реализуется дискретный регулятор. о Нужно быть осторожным с межтактовым поведением системы: анализ, очевидно, полностью основан на поведении в дискретные моменты времени, однако процесс обладает непрерывными характеристиками между моментами квантования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
