Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Ядро Дирихле (и = 8) Этот результат известен как формула суммирования Пуассона. Эта формула полезна для анализа гибридных систем управления. Например, она показывает, что частотная характеристика квантованного сигнала является суперпозицией бесконечного числа копий соответствующей непрерывной частотной характеристики.
Чтобы установить это, запишем 410 Глава 14. Гибридное управление Интересным фактом, который легко установить, является то, что для всех и (14.6.7) Когда и -+ оо, можно видеть, что интегрирование функции (не спншком причудливой), умноженной на Р„Я), даст значения функции при 1 = Ь,2сь,..., нормированные значением Ь и значение функции при 1 = О, нормированное значением —. съ Таким образом, можно представить, что (14.6.6) просто дает — 1пп ( ~($)Р„~ — ) е ' = — +~ДйЬ)е ' (14.6.8) о и +оо О "~Ь) 2 ь=г =ге(е ' ) —— У(О) 2 (14.6.9) Это — важный вывод из (14.6.3). 14.7.
Резюме ° Гибридный анализ позволяет смешивать свойства непрерывных и дискретных систем. ° Гибридный анализ должен всегда использоваться, когда технические требования особенно строги и требуется достичь возможных пределов. ° Отношение амплитуды непрерывной реакции на частоте ю к амплитуде гармонической составляющей на этой же частоте кусочно- постоянной формы квантованного выхода определяется формулой С,(з) [а,а ) ( ' ) Замечание 14.3.
Вышеупомянутое рассмотрение несколько эвристическое, но формальное доказательство результата (при достаточно общих условиях) дастся в упомянутой в конце главы литературе. Фактически, если функция Г'(1) такова, что е г~($) имеет равномерно ограниченную вариацию длл некоторого и Е К, то выраоюение (14.6.3) справедливо длл любого з, такого, что Я(з) ) о. 14.8. Литература для последующего чтения 411 ° Данная формула позволяет объяснить очевидные различия между квантованной и непрерывной реакциями цифровых систем управления.
° Нули квантования обычно приводят к уменьшению [С,бас] (еу"и) в окрестности частоты ю = Я, т. е. к увеличению !с1(дат)! на этих частотах. ° Поэтому обычно необходимо быть уверенным, что дискретная дополнительная чувствительность существенно уменьшена по сравнению с единицей для сигналов чрезмерно большой частоты (см. разд. 12.2).
° Это часто интерпретируется так, что полоса пропускания замкнутого контура должна быть, по крайней мере, на 20% меньше максимально допустимой частоты сигнала (см. там же). а В частности, никогда не следует в дискретном проекте явно или неявно компенсировать нули квантования; это неизбежно приведет к существенным межтактовым пульсациям.
14.8. Литература для последующего чтения Межтактовые проблемы 1. АгаЫ, М., 1!о, тч апб На81тчзга, Т. (1996). Ргег1иепсу гевропвео!загар!еда!а вувзешв. Аи!огпа!!еа, 32(4):483-497. 2. СЬеп, Т. апб Ргапс1в, В.А. (1995). Ор!тта! Яатпр!е-Ра!а Соп!го1 Ядя!егпя. Брг!пбег-Чег1аб. 3. Реиег, А. апт! СоотЬч1п, С.С.
(1996). Яатпр!тд тп Р!д!!а! Ятдпа! Ргоееяя!пд апИ Соп!то1 В!гйаияяег Вов!оп, СашЪгЫбе, Мазе. 4. Сообтч!и, С.С. апб Ба18адо, М.Е. (1994). Ргет1иепсу-т!оша!и зеив!!!ч!гу 6шсг1оп !ог соп!!пипия-!!ше вуягешв ипт!ег выпр1е база соп!го!. Аи!огпа!!еа, 30(8):1263-1270.
Фундаментальные ограничения в гибридных системах управления 1. Вгзз!ачз1су, Л.Н., М1гЫ1етоп, К.Н., апб Ргеит!епЬегб, 3.Б. (1995). Ргег1иепсу гевропяе о1 бепега!!геб яашр1ег1-г!а!а Ьо14 Гипс!!оп. Ргаееет!тпдя о! !Ье Ю4Й СРС, !чете Ог!еапв, ЬА, 4:3596-3601. 2. РгеибепЬегб, д.Б., МЫс1!е!оп, Н.Н., апб Вгзя1ачв1су, Л.Н. (1995).
1пЬегепг без!8п 11пизайопв Гог 1шезг вашр1ег1-бага !еебЪас1т яуягешз. 1п!егпа!тапа! ,7оигпа! оу' Соп!го1, 6Ц6):1387-1421. 3. Сост!тч!и, С.С. апд Ба18ат!о, М.Е. (1994). Ргег1иепсу дошел вепв1йчйу !ипсг1оп !ог сои!!пипия-г!ше вув!ешв ипт!ег вагпрге т!ага сои!го!. Аиготпаеса, 30(8):1263-1270. 412 Глава !4. Гибридное управление 14.9. Задачи для читателя Задача 14.1. Рассмотрим объект, имеющий номинальную модель с передаточной функцией ( и ) (14.9.1) (з + 2) (з + 4) Найдите выражение для расположения нулей квантованной функции [С„сдье]д(з) как функцию периода квантования Ь. Задача 14.2.
Предположим, что [Г'ег 'ья]д(з) имеет вид (в+1.2) (я — 0.5)Я(» — 0.8) (14.9.2) Если С (з) — передаточная функция системы третьего порядка, найдите С~(я) для Ь= 0.1, Ь = 0.5 и Ь = 1 с. Задача 14.3. Оцените функцию 9(уы) так же, как в (14.4.6) для функций и периодов квантования, приведенных ниже. С,(з) = 1 (з — 1)(з + 2) е — О им (з+ 0.5)(з+ 0.25) 1 зя + 0.1з+ 1 Ь=0.10 ,лг = 0.20 Ь = 0.25 Задача 14.4.
Цифровой контур управления с обратной связью спроек- тирован для объекта, имеющего номинальную модель 2 (10з+ 1)(5з+1) (14.9.3) Период квантования равен 0.5 с. Однако вместо экстраполятора нулевого порядка используется экстраполятор первого порядка. Импульсная реакция этого экстраполятора показана на рис. 14.7. Формула квантования Пуассона 1. Вгая1адя1су, 1.Н., Ме1пягпа, О., МпЫ!европ, В,.Н., япб РгепдепЬег8,,!.Я. (1997). Оп а 1геу яагпр1ш8 Гогпш!а ге!ая!п8 1Ье 1 ар!асе апб Е-ггапягоппя.
Ярв1епгв ап4 Сап!го! йеггетз, 29(4):181-190. 14.9. Задачи для читателя 413 Рис. 14.Т. Импульсная реакция экстраполятора первого порядка Синтезируйте регулятор, обеспечивающий нулевую ошибку в моменты квантования за минимальное время для постоянных эталонных сигналов. Обсудите ваши результаты. Задача 14.5.
Предположим, что нужен цифровой регулятор для объ- екта, имеющего номинальную модель -0.25а+ 1 (0.25а+ 1)(а+ 1) (14.9.4) 14.5.1. Синтезируйте цифровой регулятор, такой, что контур управления будет отслеживать точно, насколько это возможно, периодический треугольный эталонный сигнал периода 10Ь, где период квантования Ь = 0.05. 14.5.2. Смоделируйте и оцените ваш проект. Обсудите результаты. \ Д ! 1 ЭНП Рис. 14.8. Экстраполятор нулевого порядка Это может быть обобщено простой заменой преобразования Лапласа импульсной реакции экстраполятора нулевого порядка более общей передаточной функцией, как показано на рис. 14.9.
Задача 14.6. Идея, которая описана в литературе по теории управле- ния, — использовать более сложные, чем нулевого порядка, экстраполя- торы. Вспомним из равд. 12.13.1, что экстраполятор нулевого порядка имеет модель, показанную на рис. 14.8. 414 Глава 14. Гибридное управление 1 1 ! 3 Рис. 14.9. Обобщенный экстраполятор 14.6.1. Используя эти идеи, покажите, что дискретная модель, соответствующая непрерывному обьекту Се(а) с обобщенным экстраполятором Сь (д) имеет вид Н (х) = Я [квантованная импульсная реакция Сь (а)Со(а)] (14.9.5) 14.6.2. Одним из способов формирования обобщенного экстраполятора является использование кусочно-постоянной функции.
Рассмотрим импульсную характеристику, изображенную на рис. 14.10. Рис. 14.10 Покажите, что для обобщенного экстраполятора мы имеем -(ь — ц ив а а=1 х($) = Ах(1)+Вуп($) у($) = Сх(в) (14.9.7) (14.9.8) Покажите, что соответствующая дискретная модель имеет вид х[й + 1] Аех[й] + Вдеи [й] у[й] = Сдх[й] (14.9.9) (14.9.10) Задача 14.7. Рассмотрим обобщенный экстраполятор, описанный в (14.9.6). Пусть он используется с непрерывной моделью (в форме про- странства состояний) 14.9.
Задачи для читателя 416 где А Аь Ч В„='~ дГ; ' (14.9.11) (14.9.12) т=1 где ьа Г; = / ел(л ~Вдт /~ -т1я (14.9.13) Задача 14.8. Обобщенные экстраполяторы могут фактически исполь- зоваться для произвольного перемещения дискретных нулей. Для иллю- страции рассмотрим непрерывную систему, описываемую матрицами А= 0 В = ~ ~, С = (2 — 3~ (14.9.14) ~Л 14.8.1. Получите соответственную дискретную передаточную функцию с экстраполятором нулевого порядка и лт = 0.1. 14.8.2. Покажите, что эта дискретная модель неминимально-фазовая с нулем, равным 1.10573 и полюсами 0.90484 и 0.81873.
14.8.3. Используя обобщенный экстраполятор, как в (14.9.6), с т = 2, получите дискретную модель, имеющую нуль, равный 0.90484. Этот нуль компенсирует устойчивый полюс и приводит к дискретной передаточной функции 0.1 я — 0.81873 (14.9.15) Задача 14.9. Задачи 14.6 и 14.8 говорят о том, что можно устранить влияние дискретных неминимально-фазовых нулей, используя обобщенный экстраполятор, что позволяет увеличить полосу пропускания замкнутой системы по сравнению с полосой, которую можно получить с помощью экстраполятора нулевого порядка. Объясните, почему это не очень хорошая идея (в общем случае), исследуя различие между квантованным и непрерывным выходом с помощью (14.4.6).
(Это довольно тонкий эффект. Оказывается, что непрерывная система имеет меньшую реакцию на выходе, чем дискретная система. Таким образом, реакция дискретной системы должна быть обеспечена недопустимо большими частотами (высокочастотными составляющими, которые преобразуются в более низкие частоты) из-за эффекта квантования.) 416 Глава 14. Гибридное управление Задача 14.10.
Проиллюстрируйте идею задачи 14.9 проектированием регулятора методом минимальной модели для С (в), данной в (14.9.15). Смоделируйте дискретную реакцию замкнутого контура и сравните ее с реакцией непрерывной системы, используя те же зкстраполятор и регулятор. Обсудите результат.
Введение В пятой части книги мы акцентируем внимание на некоторых несколько более продвинутых темах Я1БО-управления. В частности, мы покажем, как параметризовать все линейные стационарные регуляторы, которые обеспечивают устойчивость данной линейной системы. (Параметризация — описание реальных процессов с помощью параметров модели.) Параметризация будет использоваться для введения методов оптимизации в проектирование систем управления. Затем будут рассмотрены альтернативные методы проектирования систем управления, основанные на моделях пространства состояний.
Эти методы обеспечивают нас плавным переходом к системам управления со многими переменными, которые будут предметом рассмотрения оставшихся частей книги. Наконец, мы представим некоторые основные идеи, связанные с управлением нелинейными системами. 420 Глава 15. Параметривация 3130-регуляторов 15.2. Инверсия разомкнутого контура; повторное рассмотрение В предыдущих главах мы обсудили основную природу проектирования систем управления, задачи моделирования, ключевые особенности контуров управления с обратной связью, ограничения характеристик систем управления и различные методы синтеза. Учитывая эти моменты, был рассмотрен ряд основных концепций, включая ключевое понятие того, что управление явно или неявно зависит от инверсии модели объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
