Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 69
Текст из файла (страница 69)
на этом наборе частота обеспечиваетпся совершенная инверсия модели. ° Необходимость Рассмотрим регулятор, который обеспечивает устпойчивостпь замкнутого контура, а также обладает нулевой ошибкой в установившемся состоянии по отношению к возмущениям на частпотпах ш = <~ыолг " М. Обозначим числитель фз) через ФЕг(з), а ее знаменатель через Рц(з). Если мы поделим Фсг(з) на полинам Рз(з) = П; (зг+мг), то г получим в результатпе М1(з) и остаток Мг(з): )у0(з) — у г(з) Рд(з) Рз(з) = Жт(з)+— (15.3. 21) Отсюда (15.3.19) следует при замене Ж1(з) на Мт(з) и Мг(з) на )юг(з).
Кроме того, условие нулевой ошибки в устпановившемся состоянии эквивалентно утпверждению, что номинальная входная чувствительность равна нулю при з = ~гш; для т' = 1,2,...,1. Нз выражения (15.3.4) мы видим, то это тпакже эквивалентно условию ф~гю;) = »С Яг'щ)) ~, которое тпребует, чтобы условие (15.3.20) было удовлетпворено. ППП юыыг,...,ол. В этом случае контпур управления с одной стпепенью свобо- ды обладаетп нулевой ошибкой слежения в установившемся состоянии тогда и только тогда, когда регулятор С(з) может быть предс1павлен выражением (15.3.1), где Я(з) удовлетворяетп условию 15.3. Аффинная параматриаация: случай устойчивого объекта 427 й~г(з) =113(з),') (туыт+1)" '[Со(р т)) ' П .
" (15322) ь и .3"*'-Яюь т=1 ьейин где т ) О, агг+; — — — аг; длл т = 1, 2,..., (, Йгг,; = (1, 2,..., 2Ц вЂ” (т) и ~Х Од(з) =ВО(з)(та+1) ' ' (15.3.23) Тогда мы можем параметпризовать Я(з) следующим образом: 21 Я(з) = Я(~) Ц(в~+ ю~)+ ~,[С,(1отт)) ' П ., (15.3.24) т=1 тва йенни Вышеупомянутые леммы позволяют нам параметризовать задачу управления, удовлетворяющую ограничениям установившегося состояния при сохранении аффинной структуры функций чувствительности в параметре проекта Щз). Мы используем зти параметризации в гл.
16 в контексте проектирования систем управления через оптимизацию. б) Компромиссы подавления возмущений Обращаясь только к возмущениям и шумам из гл. 5, мы видим, что номинальная реакция на выходе имеет вид У,(з) = — Т,(з)0„(з) + Я,(з)В,(з) + Я;,(з)Вч(з) = — Я(з)Со(з)0п(з)+(1 — Я(з)Со(з))Во(з) (15.3.25) + (1- Я(з)С.(з))С.(з)Х) (з) Используя (15.3.12) и (15.3.14), мы видим, что 1о~(з) = — (Р~(з)Воа(з))О~(з) + (1 — Рд(з)Вои(з))0 (з) + (1 — Рц(з)В (з))С (з)Вч(з) (15.3.26) Как мы знаем, первые две передаточные функции в правой части уравнения равны в сумме 1: Яо(з)+Т,(з) = 1. Более тонкий компромисс происходит между Р, и Ю;.
Мы можем использовать Рц(з), чтобы скомпенсировать любые желаемые полюсы разомкнутого контура в Я;(з), но тогда эти полюсы обязательно появятся в качестве нулей в Я„как показано в разд. 8.6.3. Так как и полюсы и нули воздействуют на свойства ситемы, как сказано в гл.
8, мы видим, что имеется определенный компромисс между работой с входными возмущениями и работой с выходными возмущениями. Например, если Замечание 15.2. Заметим, что в (15.3.19) возможный выбор длл Жг(з) следующий: 428 Глава 15. Параметризация 8180-регуляторов имеется медленный полюс в С„(з), то он появляется или как медленный полюс в Ява(з), что приводит к большому времени переходного процесса, или как медленный нуль в Я,(з) с последующим появлением пика чувствительности. Это будет рассмотрено далее в равд. 15.5 и 15.6. Случай, когда присутствуют возмущение и шум измерения, а объект является неминимально-фазовым, иллюстрируется в следующем примере. Пример 15.1 (Немнннмально-фазовый объект).
Рассмотрим контур управления с одной степенью свободы, где обеекга имеегп наминальную модель вида С,(з) = (15.3.27) (з + 2)(з + 1) Предположим, что имеется выходное возмущение, которое представляет собой нечастые резкие изменения. Шум измерения — сигнал с существенной энергией только в области частота выше 5 рад/с. Нужно спроекгпировать регулятор С(з), используя подход аффинной параметризацищ тпакой, что выход регулягпора и(1) не содержит существенных шумовых компонентов.
Решение Рассматривая гполько выходное возмущение, мы требуем, чтобы ° регулятор включал интегрирование (т. е. Я(0) = [С,(0)) 1 = 1), чтобы гарантироватпь нулевую ошибку в усгпановившемся состоя° полоса пропускания замкнугпого контура была как можно больше, чтобы обеспечигпь быструю компенсацию возмущения. Одпако наличие шума устанавливает верхнюю границу полосы пропускания контура, скажем, ю, = 5 рад/с. Заметим, что шумовая составляющая на выходе регулятора определяетсл чувстпвительностью (15.3.5).
Тогда можно использовать теорию синтеза фильтра, потому что функция Р<1(з) должна быть низкочастотным фильтпром с граничной частотой от = 5 рад/с. После итераций с различными типами фильтра (Баттперворта, Чебышева и эллиптического) различных порядков был выбран фильтр Батгперворта четвертого порядка: Ргт(з)— за -1- 13.065бзз + 85.3553зг -1- 326.6407з -1-625 (15.3.28) Предлагаем читателю проверить другие выборы Ггт(з), используя схему в файле дад.1.тдв' пакета ЗПн'ПБПтК. С1ОП !5.3.
Аффиииая парамвтриаация: случай устойчивого объекта 429 15.3.6. Управляющее воздействие Ргт(8)С',(8) 1 — Ргт(8) (15.3.29) Для иллюстрации выберем РО(8) = 1 (та+ 1)" (15.3.30) Тогда усиление регулятора на высокой частоте Кау, и усиление модели на высокой частоте Кау соотносятся следующим образом: 1 Каус т "Кауд (15.3.31) Таким образом, если мы делаем Ргт(8) быстрее (т. е. т становится меньше), то это увеличивает Каус. Это, в свою очередь, подразумевает, что энергия управления увеличивается.
Этот результат можно оценить на основе того факта, что, согласно предположению, С,(8) минимальнофазовая и устойчивая, откуда (15.3.32) 15.3.7. Робастиость Проблема ошибок моделирования была рассмотрена в разд. 4.12. Основным результатом было то, что ошибки моделирования обычно существенны на высоких частотах. Это наблюдение было самым важным в анализе робастности, выполненном в разд. 5.9. Фундаментальный результат этого анализа заключается в том, что для того, чтобы гарантировать робастность, полоса пропускания замкнутого контура должна быть такой, чтобы частотная характеристика ~Т,(уы)~ достаточно уменьшилась бы прежде, чем станут существенны эффекты ошибок моделирования.
Предположим, что мы выбрали ф8) как в (15.3.12); тогда Хр(8) = Р<~(8)Вои(8) (15.3.33) Из (15.3.3) и (15.3.1) видно, что если мы обеспечиваем Я, = 0 на конкретной частоте (например, с помощью ЯС, = 1), то в этом случае имеем бесконечное усиление регулятора С на той же самой частоте. Например, скажем, объект является минимально-фазовым; тогда мы могли бы выбрать С',(8) = С, !. Однако, используя (15.3.12), мы тогда имели бы 430 Глава 15.
Параметризация 3130-регуляторое Таким образом, в структуре аффинной параметризации, которую мы здесь обсуждаем, требование робастности может быть удовлетворено, если Рц(э) уменьшает усиление Т,Цы) на высоких частотах. Это обычно достигается включением соответствующих полюсов в РО(з). Конечно, уменьшение ~Т,(1гц)~ до величин << 1 после некоторой частоты неизбежно означает, что Я,(а) стремится к единице после той же самой частоты. 15.3.8.
Выбор передаточной функции О. Выводы для случая устойчивых полюсов разомкнутого контура Мы видели, что модель выбора фэ) — просто инверсия передаточной функции объекта в разомкнутом состоянии С,(з). Однако это «идеальное» решение должно быть изменено на практике, чтобы учесть следующее: ° Неминимально-фазовые нули. Внутренняя устойчивость не допускает компенсацию этих нулей, так что они должны появиться в Т,(а). Это подразумевает, что усиление фа) должно быть уменьшено на этих частотах, чтобы избежать слабой переходной реакции, как было рассмотрено в гл.
8. ° Относительная степень. Избыточные полюсы в модели определяют нижнюю границу относительной степени Т,(а), потому что Я(а) должна быть собственной, чтобы гарантировать, что регулятор С(а) будет также собственным. ° Компромиссы возмущений. Всякий раз, когда мы уменьшаем Т„чтобы обеспечить подавление шума измерения, мы обязательно увеличиваем чувствительность к выходным возмущениям на тех же частотах. Аналогично, медленные полюсы разомкнутого контура должны появиться или как полюсы Ят,(а), или как нули Я,(а) и в любом случае расплатой является ухудшение качества системы.
° Энергия управления. Объекты обычно являются инерционными. Следовательно, любая попытка сделать Я(а) близкой к инверсии модели обязательно дает передаточную функцию от .0„(э) к У(а), соответствующую фильтру высоких частот. Это приведет к большим сигналам на входе регулятора и может вызвать его насыщение. ° Робастность.
Ошибки моделирования обычно становятся существенными на высоких частотах; следовательно, чтобы сохранить робастность, необходимо уменьшить Т, (и, следовательно, Я) на этих частотах. 15.4. Синтез ПИД-рагулнтора с помощью аффинной параметризации 431 15.4. Синтез ПИД-регулятора с помощью аффинной параметризации В этом разделе мы проиллюстрируем применение аффинной параметризации, используя ее для разработки стратегии синтеза ПИ- и ПИД-регуляторов, когда все полюсы разомкнутой системы устойчивы (и, следовательно, приемлемы как полюсы замкнутого контура). Неудивительно, что можно проектировать ПИД-регуляторы, выбит рая Я(а); формула (15.3.1) охватывает все регуляторы, обеспечивающие устойчивость замкнутых систем в случае устойчивой модели объекта, так что она должна также включить и ПИД-структуру в применении к устойчивым объектам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
