Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 73
Текст из файла (страница 73)
ВСПОМНИМ, Чта Цтсг — МЕРа ПОЛОСЫ ПРОПУСКаНИЯ замкнутого контура в единицах полосы пропускания модели объекта и таким образом становится определяющим параметром настройки. Чтобы проиллюстрировать применение вышеупомянутого результата, мы повторим моделирование, показанное на рис. 15.7, но на сей раз Таким образом, чгпобы получить ПИ-регулятор, который компенсирует вклад полюса разомкнутого контура — 1 ! в реакцию на входное возмущение, необходимо, чгпобы Рс~(-а) = — аВ!+1 =1 (15.6.16) агст2 — аст1 + 1 0.6 а~ ' а 0.0 2 2В 2 зз З ЗЛ 4 4Л З Время [1/яо) Рис. 15.8.
Подавление входного возмущения без компенсации полюса объекта будем использовать регулятор, определяемый выражением (15.6.10). В атом случае (15.6.11) имеет вид < з х аз 3 — +2ф01 — +1 = (ага+1)+зла(и 0+1) (15.6.21) Реакция на единичное ступенчатое входное возмущение показана на рис. 15.8 для трех различных (нормализованных) значений от,1, которые равны 1, 2 и 5. В отличие от результатов на рис.
15.7, когда использовалась компенсация полюса, мы теперь видим, что реакция на входное возмущение может быть изменена и по форме и по масштабу. Различие можно оценить, исследуя рис. 15.8 и 15.7 для случая, когда выбрано значение 5 для отношения между полосами пропускания замкнутого контура и объекта. Заметим однако, что (и,з + 1) теперь появляется в числителе 80(з). Ятъ(з) = Я„(з) 00(з), так что неизбежно любой полюс разомкнутого контура появляется или как полюс в Ят„или как нуль в Я,(з).
15.6.3. Модели с интегрированием В данном разделе мы рассмотрим модель первого порядка в сочетании с интегратором: С (з) = (15.6.22) о ( +1) Чистый интегратор такого типа часто моделирует накопление массы, угол поворота ротора двигателя или положение перемещающегося объекта. Конечно, интегрирование нежелательно (по сути дела, неустойчиво) в качестве полюса замкнутого контура, Следовательно, мы должны применить методологию, приведенную в равд. 15.6. 4 0.0 л 0.4 8~ аз 0.2 5 ь 0Л 0 15.6. Нежелательные полюсы замкнутого контура 449 450 Глава 15. Параметризация 3130-регуляторов (15.6.25) Вспомним из леммы 15.4, что параметризация (15.3.1) все еще имеет силу, но функция фв) должна удовлетворять дополнительным ограничениям подбора параметров.
В этом случае имеются только два ограничения, которые происходят из-за наличия полюса в начале координат. В частности, внутренняя устойчивость требует, чтобы и Я(в) и 1 — Я(в)Со(в) должны иметь нуль в начале координат. Поскольку (15.6.22) не имеет неустойчивых нулей, мы можем выбрать Со(в) К (15.6.23) о которое требует (для собственной функции Я(в)), чтобы фильтр Г0(в) имел относительную степень, по крайней мере, равную 2. При этом выборе Я(в) = Р0(в)С',(в) автоматически удовлетворяет одному из ограничений (Ч(0) = 0). Второе ограничение удовлетворяется, если Р0(в) выбран таким, что Р<~(0) = 1. Подходящий вариант для Р0(в) дан, например, в (15.4.46). Это приводит к Р0(в) Мо(в)) ' в(ров+ 1-) 1- Р'Е( ) К ( г + а ) Снова мы замечаем, что регулятор (15.6.24) получен после компенсации неустойчивых полюсов и нулей.
Эта компенсация должна быть выполнена аналитически, т. е. до реализации (см. замечание 15.4). С точки зрения проекта, (15.6.24) все еще имеет недостаток, так как не подавляет постоянные входные возмущения. Это происходит потому, что Я;о(в) не имеет нуля в начале координат, даже несмотря на то, что он имеется в Яо(в). Это можно исправить, если выбрать такой фильтр Рд(в), который приведет к тому, что чувствительность Я,(в) будет иметь два полюса в начале координат; тогда Я;о(в) будет иметь один нуль в начале координат. Самый простой выбор Р0(в), приводящий к этому желаемому результату, следующий: г)у(в) атв+ 1 Р0(в)— гЪ(в) азв +агв'+атв+1 Заметим, что коэффициенты в числителе совпадают с коэффициентами при тех же степенях в в знаменателе.
Функция чувствительности тогда имеет вид вг( „ + о(в) = Ы~) = а вз+ г+,г в+1 (15.6.26) Окончательно входная чувствительность равна 15.6. Нежелательные полюсы замкнутого контура 451 Следовательно, постоянные входные возмущения действительно подавляются, давая нулевую ошибку в установившемся состоянии. Соответствующий регулятор с единичной обратной связью имеет вид С (. )зг+М+ ) +1 Коз(азз + аг) (15.6.28) который опять-таки является ПИД-регулятором с коэффициентами на- стройки Кр= Кг= Кр— Коаг 2 аз тп = а2 Как и в предыдущих случаях, параметры ПИД-регулятора (15.6.29)— (15.6.32) задаются непосредственно в терминах параметров интегрирующей модели (15.6.22) и фильтра проекта (15.6.25). Этот фильтр, в свою очередь, предназначен для первоначального выбора характеристического полинома замкнутого контура — ага~ + аглг + атз + 1, который вызывает появление нуля ага+ 1.
Вспомнив, что общий характеристический полипом третьего порядка может быть получен объединением комплексно-сопряженной пары и простого вещественного полюса, мы можем записать Ргз(з) = ~ — га + — а+1 (асл+1) (15.6.33) г 2ттты ы1 Юс1 что приводит к тгс1 + С"сюс1 (15.6.34) Обычно простой вещественный полюс размещается на том же расстоянии от начала координат, что и комплексная пара, т. е. (15.6.35) а коэффициент демпфирования выбирается фс1 = 0.7; таким образом, фильтр третьего порядка, а следовательно и ПИД-регулятор параметризуются в терминах единственного удобного параметра настройки со,1. Если реальная система совпадает с моделью, дополнительная чувствительность определяется фильтром Рд(з).
У этой чувствительности (и +а1)аг — аЗ Коаг 2 1 Коаг агат м, — агаги, — азагат+ аэ 2 г (15.6.29) (15.6.30) (15.6.31) (15.6.32) 452 Глава 15. Параметризация 8180-регуляторов имеется нуль, расположенный в точке г« (15.6.36) 2ф,1+1 Следовательно, характеристический полинам замкнутого контура приводит к появлению нуля, который медленнее (меньше), чем меньший из го,1, а более медленные нули приводят к большим перерегулированиям, как было отмечено в гл. 8. Заметим, что ответственный за перерегулирование нуль РО(в) был вызван желанием получить нулевую ошибку в установившемся состоянии в ответ на ступенчатое возмущение на входе интегрирующего объекта.
15.7. Аффинная параметризация: случай неустойчивого разомкнутого контура В примерах, приведенных выше, мы столкнулись с некоторыми неприятностями, когда обеспечивали расположение полюсов всех функций чувствительности замкнутого контура (особенно входной чувствительности Яь») в желаемой области комплексной плоскости. В данном разделе мы упростим эту процедуру, рассматривая общую задачу проектирования, в которой объект разомкнутого контура может иметь один (или несколько) полюсов в нежелательных областях. Мы не будем давать формальное определение нежелательной области, но эвристически можно было бы ожидать, что она включает все неустойчивые полюсы, устойчивые полюсы, которые находятся «близко» к началу координат (т.
е. приводят к замедлению переходных процессов) и слабо демпфированные полюсы (т. е. приводящие к колебательным переходным процессам). В предыдущем разделе мы пришли к выводу, что требуются дополнительные интерполяционные ограничения на Я(в), чтобы устранить нежелательные полюсы из входной чувствительности Я»»(в). В примерах проектов, представленных ранее, мы выбирали фв) так, чтобы явно обеспечить ограничения подбора параметров. Однако это — утомительная задача и приводит к следующему вопросу: можем ли мы параметризовать С(в) таким способом, чтобы интерполяционные ограничения данные в лемме 1б.«, удовлетворялись бы автомагпическиу Ответ — да и решение дано в следующей лемме.
Лемма 15.6 (Аффинная параметризация нежелательных полюсов разомкнутого контура). Рассмотрим контур управления с одной степенью свободы для обеекгпа с номинальной моделью С„(в) = Аг(',-). Мы предполагаем, чгпо В,(в) и Ао(в) — взаимно просгпые полиномы и что С„(в) может содержать нежелательные полюсы (включая и неусгпойчивые полюсы). 15дг. Аффиннея парвметризация: случай неустойчивого разомкнутого контуре 453 В этом случае номинальный замкнутый конгпур будет внугпренне устойчив, а все функции чувсгпвительности будут содержатпь только желаемые полюсы тогда и только тогда, когда передаточная функция С(з) парамегпризована следующим образом: а) Яи(з) — собсгпвенная усгпойчивая передагпочная функция, содержащая желаемые полюсы и б) Р(з) и Цз) — полиномы, удовлетворяющие следующему уравнению назначения полюсов: Ао(з)Б(з) + Во(з)Р(з) = Е(з)Р(з) ' (15.7.2) где Е(з) и Р(з) — полиномы подходящих стпепеней, которые имеют нули, находящиеся в жеваемой области комплексной пвоскосгпщ но, с другой сгпороны, произвольны.
Я(з) = = Р(з) Е(з) (15.7.3) что дает С(,) Ф') Р(')А (') (15.7.4) Я(з)~о(з) Е(з) — Р(з)В„(з) Из выражения (15.7.3) мы видим, чгпо необходимые и достпаточные условия для интерполяционных ограничений леммы 15.4 удовлегпворяются, если: 1) нули Е(з) лежат в желаемой обяасгпи; 2) А,(з) являегпся сомножитпелем Р(з), тп. е. существуегп полинам Р(з) гпакой, что Р(з) = А,(з)Р(з) и 3) А (з) является сомножигпелем (1 — Я(з)С(з)).
Доказательство Для простогпы мы предполагаем, что все полюсы в Ао(з) лежатп в нежелательной области (см. замечание 15.7 для более общего случал, в котором рассматривается смесь полюсов). Без потпери общносгпи, мы запиитем тг(з) в виде отнотаения двух полиномов: 454 Глава 15. Параметригация 3180-регуляторов Однако - )(.)Со(.) = — .""' Е(з)А,(з) Р(з)Во(з) Е(з) Е(з) — Р(з)Во(з) Е(з) (15.7.5) Следовательно, чтобы удовлетворигпь 3), должен существовать полинам Й(з), такой, что Е(з) — Р(з)Во(з) = Цз)Ао(з) (15.7.6) т (з) Й~~) В,(з) Е(з) Е(з) " Е(з) (15.7.8) +~() о Р(з) Р(з) А,(з) Е(з) Е(з) " Е(з) (15.7.9) где Щ,(з) — усгпойчивая собсгпвенная передагпочная функция, не имеющая нежелательных полюсов.
(Проверьгпе, чгпо это решение удовлегпворяет (15.7.7).) Подсгпавляя (15.7.7) в (15.7А), видим, чгпо С(з) = = Р(з) Х(з) (15.7.10) Окончагпельно, используя (15.7.8) и (15.7.9) в (15.7.10), мы видам, что любой регулятор, удовлетворяющий желаемым условиям, может быть параметризован, как в (15.7.1) и (15.7.2). ППП Замечание 15.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
