Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Результаты показаны на рис. 15.3. зо Гс 20 1О % и н о 3 с -ю ~ -2О -зо ~о' Частота [ма/ьн] Рис. 15.3. Аддитивная ошибка моделирования для слабо демпфированной системы (г, = 0.01) Рисунок 15.3 показывает, что амплитуда ошибки имеет пик приблизительно в 33 дБ в обоих случаях. Однако подобие между случаями для х = 0.9 (переоценка собственной частоты) и х = 1.1 (недооценка собственной частоты) вводит нас в заблуждение. Чтобы иметь более точную картину влияния ошибок моделирования, вспомним выражение 1 зг+ 2г'з+ 1 хг С(з) = зг + 2~хо + х2 ог Зг + 2фстра + Ог (х+ 1) а + 2~х (зг + 2гз+ 1) (зг + 2г"ха+ хг) (х+1)з+2г,х ог+ 2г хз+ хг где теперь з — нормализованная переменная Лапласа и (15.4.35) (15.4.36) (15.4.37) (15.4.38) (15.4.39) 438 Глава 15. Параметризация 8!80-регуляторов Переоценка собственной частоты Недооценка собственной частоты 3 6 1 о йя о к ~ -! ь ! 8 й о д -1 -3 -1 О 1 Действительная ось -2 -1 О ! 2 -2 2 Действительная ось Рис.
15.4. Анализ корневого годографа для Яд(в) пря переоценке я недооцен- ке собственной частоты для достигнутой или истинной чувствительности (15.3.6). Если в это выражение мы подставим (15.3.10), (15.3.12) и (15.4.30), то получим Я(в) = (1 — Я(в)Со(в))Яд(в) = ' (15.4.41) 1+ Рс1(в)бд(в) Таким образом, поскольку номинальная модель устойчива, робастная устойчивость обеспечивается тогда и только тогда, когда годограф Найквиста функции Рс1(уы)Сд(уо) не будет охватывать точку ( — 1,0) на комплексной плоскости. Это совпадает с требованием устойчивости эквивалентного замкнутого контура, в котором передаточная функция разомкнутого контура дается выражением „г На рис.
15.4 показаны два корневых годографа. Они соответствуют случаям х = 0.9 и х = 1.1; в обоих случаях г, = 0.01, фс! = 0.7 и е = 2. Мы видим, что для первого случая (переоценка) реальный контур будет неустойчив даже для маленьких ошибок. В противоположность этому недооценка всегда дает устойчивый контур.
Результат для последнего случая должен интерпретироваться с осторожностью, потому что были рассмотрены только ошибки в собственной частоте. Однако из этого анализа кажется разумным в случае неопределенности в величине истинной собственной частоты выбирать номинальную собственную частоту равной нижней границе диапазона. Вышеупомянутый анализ выдвигает на первый план одну из главных трудностей в управлении слабо демпфированными системами: чрезвычайную чувствительность к ошибкам моделирования. Другая главная 15.4. Синтез ПИД-регулвтора с помощью аффинной параметризации 439 проблема возникает в присутствии входных возмущений, когда полюсы модели скомпенсированы. Полюсы, не поддающиеся управлению, по- являются во входной чувствительности и связанные с ними движения слабо демпфированы.
15.4.5. Модели с запаздыааиием, использующие аппроксимацию Паде 2-зт, 2+ зт (15.4.43) Бсли мы подставим (15.4.43) в (15.4.2), то получим аппроксимацию в виде рациональной модели гт ( тоКо)а+2Ко (т,и )зг+ (то+ 2и,)з+ 2 (15.4.44) Эта модель устойчива, но неминимально-фазовая, так что мы используем приближенную инверсию, определяемую выражением (гоио)з + (го+ 2ио)а+2 ор 2Ко (15.4.45) Бисобственная функция фз) получается, если выбрать фильтр Рд(з) с относительной степенью 2, скажем, 1 го(~) г+,„,з+1 (15.4.46) Тогда регулятор с единичной обратной связью будет иметь вид Ср (3 )— Я(з) Рс1(з)0',„(з) 1 - Ч(з)0.
(з) 1 - РЕ(з)а' (з)С (з) (15.4.47) (т,и,)зг + (т, + 2и,)з+ 2 (2Костг) зг + (2Костт + тоКо) з Далее мы рассмотрим модели первого порядка с запаздыванием, описываемые выражением (15.4.2). Главная трудность в этом типе систем связана с сомножителем е ', который является неинвертируемым и иррациональным. Вначале представим запаздывание с помощью так называемой аппроксимации Паде первого порядка, определяемой вы- ражением 440 Глава 15. Параметриаация 3130-регуляторов который, согласно лемме 7.2, является ПИД-регулятором типа (7.3.2) с параметрами 2т ег1 +4и гв1 + тоз+2т и — 4ао 4Хогв1~ + 4Когв1 то + то Ко К7=2К 2 (15.4.49) 2Кос" 1 + то о (2 Коа1 + тоКо) (т,и ) — (2Коего) (2Коег1 + тоКо) (то + 2и,) + 8К~а2~ Кп (2Когвг + тоКо) з (15.4.50) тгг = (15.4.51) 2ег1+ то Еще раз обратим внимание, что коэффициенты ПИД-регулятора даются непосредственно в терминах параметров модели (15.4.2) и фильтра проекта (15.4.46).
Довольно запутанный и нелинейный характер этих выражений объясняет, почему эмпирическая настройка ПИД-регулятора для систем с запаздыванием, как известно, является громоздкой. Выражения, данные здесь, однако, непосредственно приводят к окончательному проекту. Другое преимущество этих явных выражений заключается в том, что запаздывания изменяются во времени. Дело обстоит таким образом, например, там, где запаздывание связано со скоростью транспортировки, которая изменяется в связи с требованиями производства.
Если скорость измерима, запаздывание может быть вычислено в реальном масштабе времени и коэффициенты ПИД-регулятора (15.4.48) — (15.4.51) могут быть соответствующим образом адаптированы. Альтернативный подход — регулятор Смита, представленный в следующем разделе. Преимущество регулятора Смита над ПИД- регулятором (15.4.48) — (15.4.51) состоит в том, что аппроксимация Паде не используется; это дает преимущество, если постоянная запаздывания т, сопоставима (или даже больше) с доминирующей постоянной времени замкнутого контура.
Однако полученный регулятор, строго говоря, не будет ПИД-типа, потому что содержит элемент запаздывания в параллельной модели. 15.5. Аффинная параметризация для систем, содержащих запаздывание Классическим методом, позволяющим работать с чистым запаздыванием, является использование компенсатора мертвого времени. Эта 15.5. Аффннная параметрнзацня дяя систем, содержащих запаздывание 441 Рис. 15.5. Регулятор Смита (Я-форма) идея была предложена Отто Смитом в 1950-х годах. Здесь мы даем ее современную интерпретацию через аффинную параметризацию. Регулятор Смита основан на двух ключевых идеях: аффинный синтез и тот факт, что характеристики запаздывания не могут быть инвертированы. Структура традиционного регулятора Смита может быть получена из схемы на рис.
15.6, которая является частным случаем общей схемы, показанной на рис. 15.1. На рис. 15.5 номинальная модель задается произведением запаздывания и рациональной передаточной функции: (15.5.1) С,(з) =е "С,(з) Тогда из (15.3.2) номинальная дополнительная чувствительность равна Т,(з) = е '~Со(з)Я(з) (15.5.2) Выражение (15.5.2) наводит на мысль, чтобы передаточная функция фз) была спроектирована, учитывая только рациональную часть модели, С,(з), потому что запаздывание не может быть инвертировано. Для выполнения проектирования могут использоваться процедуры и критерии, обсужденные в предыдущих разделах.
В частности, нам нужна приближенная (устойчивая, причинно-следственная и собственная) инверсия для С„(з) = е ' Со(з). Задержка не имеет никакой причинной инверсии, поэтому мы ищем приблизительную инверсию для С (з). Это можно получить непосредственно, как в (15.3.14). Альтернативно можно использовать идею обратной связи, чтобы получить устойчивую инвер- 442 Глава 15.
Параметризация 8180-регуляторов Рис. 15.6. Регулятор Смита (траднцнонная форма) сию. Таким образом, мы могли бы подумать об оценке фз) в виде С(з) 1+ С(з)С,(з) (15.5.3) Когда значение ]СЦго)] большое, тогда г г(аког) - (С„(уго)] Если Я(з) реализуется через (15.5.3), то получается структура, изображенная на рис. 15.6. Это — традиционная форма регулятора Смита, как было показано в равд. 7.4. Однако форма, представленная на рис. 15.5, также подходит. Представленные выше идеи использованы в следующем примере. Пример 15.2. Рассмогприм обвект с номинальной моделью, имеющей вид в Со(з) =— (15.5.4) 2з+ 1 Нужно синтезировать регулягпор, который обеспечиваегп хорошее огпслеживание эталонного воздейсгпвия в диапазоне частот [О, 1] рад/с.
Замечание 15.3. Иногда кажется, что нельзя использовагпь регуляпюры Смита из-за их чувствительности к ошибкам моделирования. Однако лемма 15.1 показывает, чгпо структура, приведенная на рис. 15.5, покрывает всех регуляторы, обеспечивающие усгпойчивость систпемы. Следовательно, единственным вопросом остается выбор Я(з). В этом контексте имеются неизбежные проблемы ограничения полосы пропускания, связанньге с робастностью. Предлагаем чигпателю перечитать равд. 8.6.2. 15.6. Нежелательные полюсы замкнутого контура 443 Решение 2з+ 1 за + 1.3з+ 1 (15.5.5) что приводит к т (з) 2 (15.5.6) за+ 1.3з+ 1 .Характеристика эгпого проекта может бьгть оценена с помощью моделирования в ЯМПЫЛК, файл даЦ2.тд!.
С помощью этого схем- ного решения чигпатель, помимо прочего, может оценигпь влияние ошибок моделирования. Более сложное решение может бьппь получено, если компенсация полюса обпекта недопусгпима, что мы рассмотрим в следующем разделе. ППП Пример 15.3 (Управление толщиной листа на прокатном стане). Вспомним из примера 8.3, что имеется неизбежнол задержка в измерении, связаннол с использованием сдвинутой по направлению движенил полосы рентгеновской установки для измерения толщины.
Следовательно, если желательно использовать эпю измерение для уггравления с обратнои связью, то структура с упредителем Смита, показанная на рис. 15.6, могла бы подоити. Два практических комментария: 1. Постоянная запаздывания т фактически явллегпся функцией скорости мегпаллической полосы и гпаким образом можно получить постоянную запаздывания в регуляторе на основе скоросгпи этной полосы. 2. Проблемы робастпности не позволяют использовать чрезмерно большую полосу пропусканин для регулятора С(з). ППП 15.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
