Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 70
Текст из файла (страница 70)
15.4.1. Модели объектов для ПИД-управления Далее мы будем рассматривать следующие модели: первого порядка (15.4.1) первого порядка с запаздыванием (15.4.2) колебательная относительной степени 2 Ь >О относительной степени 1 В этих моделях предполагается, что все коэффициенты положительны. При совместном применении эти модели могут покрыть многие промышленные системы.
В частности, (15.4.2) обычно встречается в приложениях с транспортными задержками, а (15.4.3)-(15.4.5) обычно связаны с электромеханическими системами, имеющими резонансные структуры. 15.4.2. Модели первого порядка В этом разделе мы рассмотрим модель (15.4.1): ~о(а)— ст,(о) = С,(а) = за+ 21оог~а+от~ тьо(Ьоа+ 1) 8 +2~антса+го К,( — Ьоа+ 1) а + 2г,оьгов+о>о Ь„> О неминимально-фазовая (15.4.5) колебательная 432 Глава 15. Параметризация 8130-регуляторов Используем технологию аффинного синтеза. У модели нет неустойчивых нулей, так что она точно инвертируема. Тогда мы выберем (15.4.6) Чтобы фз) была бисобственной, Р<1(з) должна иметь относительную степень, равчую 1, например, Р0(з) = 1 (15.4.7) Следовательно, Фз) = ~я(з)Со(з) = (15.4.8) и регулятор (15.3.1) получается в виде фз) из+1 и 1 Я(з)бго(з) Я огтз Я огт 1в'огтз (15.4.9) который является ПИ-регулятором с параметрами 1 ~! =— .посв мо Кр=— косу (15.4.10) С этими параметрами регулятора номинальная дополнительная чувствительность будет иметь вид 2о(з) — Фз)бо(з) — г'я(з)— 1 (15.4.11) Снова, маленькая величина а подавляет выходное возмущение быстрее, чем большая величина.
Этот эффект показан на рис. 15.2, где реакция на ступенчатое выходное возмущение приведена для гт = 0.1,0.5, 1.0 и 2.0. Однако, как обсуждалось в гл. 8, коэффициент а не может быть выбран произвольно маленьким из-за ограничений исполнительного механизма и соображений робастности. Однако выполняя эксперимент, который показан на рис.
6.6 (при условии, что Фо = Ф1), можно видеть, что отношения в (15.4.10) обеспечивают простой метод для проектирования ПИ-регулятора с единственным легко настраиваемым параметром а. где ст — параметр настройки: выбирая сг меньше, мы делаем контур быстрее, большая величина а замедляет контур. С этим регулятором выходные возмущения подавляются номинальной функцией чувствительности ~о(з) = 1 — 2о(з) = 1 — Ж~.„>(з) = (15.4.12) аз+ 1 15.4. Синтез пид-регулятора с помощью аффинной параметризации 433 е о.в 3 О.в '8 ом он н 3 гп о,з о о О.з 1 нв 2 2.в 3 З.в 4 ев в Время [с[ Рис. 15.2.
Влияние а на подавление выходных возмущений Кроме того, если постоянную времени ио или усиление Ко нужно изменять во времени известным способом, регулятор можно легко настроить, потому что Кр и Кг в (15.4.10) явно выражены в терминах этих величин. 15.4.3. Модели второго порядка со средним демпфированием Далее рассмотрим проектирование ПИД-регуляторов для моделей второго порядка вида (15.4.3) — (15.4.5). В данном разделе мы предполагаем, что объект средне-демпфированный.
Точное значение среднего демпфирования для проекта зависит от величины преобладающих ошибок моделирования; однако обычно результаты проектирования, описанные в данном разделе, применимы для коэффициентов демпфирования, больших чем, скажем, 0.6.
Рассмотрим сначала модель с относительной степенью, равной 2 (15.4.3). Поскольку там нет никаких неустойчивых нулей, мы можем выбрать (15.4.13) Чтобы гарантировать бисобственность Я(з) = Р~(з)С',(з), Р41(з) должна иметь относительную степень, равную 2, — обычно ~Ь()= 1 (15.4.14) агзг+ а1 з + 1 Эквивалентный регулятор в системе с единичной обратной связью будет таким: Я(з) Гд(з)С,',(з) зг+2гоотоз+отог 1 — фз)Со(з) 1 — РО(з)0,'(з) Х,(агзг+атз) 434 Глава 15. Параметризация 8180-регуляторов и эквивалентный ПИД-регулятор имеет пропорциональное усиление 2ЬоСОоСт1 СтгСоо ,„г Кр= г Кост1 (15.4.16) интегральное усиление г соо Кг=— Кос" 1 усиление по производной (15.4.17) (15.4.20) ст1 =— Ыс1 стг = — г,' с1 т.
е „г 2о(а) РЫа) г г (15.4.21) аг+2~„,„,а+, г Тогда, подставляя (15.4.20) в (15.4.16)-(15.4.19), получим следующие коэффициенты усиления ПИД-регулятора: 41оФНюоЫ.1 — Ыо 4К трг (15.4.23) 2К,асс 4Ф,1 со,1 -4~о соо4с1 сос1+ от, г г (15.4.24) з 8К ф,~ы (15.4.22) тгт = 1 (15.4.25) 2фс1сос1 По сравнению с классическими ПИД-методами гл. 6, этот подход, основанный на моделировании, имеет несколько преимуществ. В частности, коэффициенты усиления ПИД-регулятора (15.4.22) — (15.4.25)— явные функции желаемой модели замкнутого контура (15.4.21), что позволяет систематически решать компромиссы.
Они также явно выражены в параметрах модели, что позволяет без дополнительных усилий учесть изменения параметров. г г г Ст1 — 21оСОоСт1Стг + Стгыо (15.4.18) К 3 оСт1 и постоянную времени дифференцирования тп =— (15.4.19) ст1 Снова полезно параметризовать номинальную функцию дополнительной чувствительности замкнутого контура непосредственно в терминах желаемых собственной частоты ш,1 и демпфирования фс1 замкнутого контура, выбирая Ф 15.4.
Синтез ПИД-регулятора с помощью аффинной параметризации 435 Подобные выражения можно получить для моделей с относительной степенью, равной 1 (15.4.4), используя инверсию С*. = (Со( )Г' = (15.4. 26) и фильтр с относительной степенью, равной 1, Рд(з) = (15.4.27) Для неминимально-фазовой модели (15.4.5), соответствующее устойчивое приближение инверсии имеет вид з'+ 2~о<4~оз+ <~,' (15.4.28) поскольку неустойчивый нуль не может быть инвертирован.
Чтобы гарантировать бисобственность Я(з), фильтр РО(з) должен иметь от- носительную степень, равную 2 и тогда (15.4.14) — снова подходящий выбор. 15.4.4. Слабо демпфироаанные модели т(,) а( )С( ) а( )а( ) 1+ Я(з)С(з) 1+ ®з)(С(з) — Се(з)) (15.4.29) Чтобы избежать загромождения анализа включением других ограничений объекта, типа неминимэльно-фазовых нулей, мы примем для В этом разделе мы рассмотрим модели объекта типа (15.4.3) с очень маленькой величиной коэффициента демпфирования г„. Мы должны предупредить читателя, что управление слабо демпфированными системами — чрезвычайно трудная задача.
Цель этого раздела состоит в том, чтобы обсудить главные пути ее решения и выявить трудности, связанные с ними. Проблема слабо демпфировэнных систем заключается в чувствительности на резонансных пиках, которая становится все больше при уменьшении демпфирования. Эта особенность приводит к серьезным изменениям характеристик даже для маленьких ошибок в параметрах модели, когда замкнутый контур обладает резонансными свойствами в разомкнутом состоянии. Чтобы лучше оценить характер проблемы, применим регулятор общего вида, основанный на модели (15.3.1), к реаль*ой модели объекта С(з). Как обычно, достигнутая дополнительная чувствительность 436 Глава 15. Параметризация 8!80-регуляторов ясности, что модель — точно инвертируема; таким образом, мы можем выбрать С',(а) = [С,(а)1 ' 'и'(а) = Ря(аНСо(а)] (15.4.30) (15.4.31) и также Это дает Х а2+ Щ,~ а +<„г2 Предположим также, что фильтр Гг2(а) тот же самый, что и в предыдущем разделе: 2 а~+ 2фг2юг2а+го~ Рассмотрим номинальную модель, у которой нет никакой ошибки в коэффициенте демпфирования (г, = г,).
Предположим также, что усиление на нулевой частоте и в истинной системе, и в номинальной Р)Ы )С( ) Р)Ыа)С(а) рЫа)(С(а) - С.(а)) + С.(а) К~(а)С(а) + (1 - ~~(а))С.(а) (15.4.32) Напомним, что для обычной цели управления — отслеживания уставки — требуется, чтобы Т(тго) равнялась единице на существенных частотах. Выражение (15.4.32) подсказывает, что это может быть достигнуто двумя альтернативными способами. Один, очевидный, путь — сначала использовать очень хорошую модель на тех частотах где С, = С вЂ” Се мало, затем сформировать фильтр Рц(а), усиление которого близко к единице на этих частотах. Заметим, что ТЦа) также близка к единице на тех частотах, где значение ~С,(аког)(1 — РдЦот))~ мало. Если демпфирование номинальной модели близко к демпфированию реальной системы, то полоса пропускания Рг2(а) должна быть очень большой, чтобы достичь этого.
Большая полоса пропускания Рг2(а) имела бы серьезные последствия с точки зрения робастности контура. Альтернативная стратегия состоит в том, чтобы использовать сильно демпфированную модель, даже если реальная система не хорошо демпфирована. Следует иметь в виду, что при этом подходе необходимо гарантировать робастную устойчивость. Эти аргументы требуют, чтобы на существенных частотах отслеживания Рс1 и С, были такими, чтобы значение ~С„(2го)(1 — Р<2Цог)~ было мало.
Чтобы посмотреть последствия для слабо демпфированных систем, мы вернемся к модели (15.4.3) и предположим, что истинная система имеет вид 15.4. Синтез пид-регулятора с помощью аффинной параметризации 437 модели равно 1, т. е. К = о2пг и Ко = ог~~. Если мы будем измерять частоту в единицах ото, то получим о гоп х= —. 3 шо -"~ Ысг о=в ото (15.4.40) Чтобы проиллюстрировать характер и амплитуду ошибки моделирования из-за несоответствия между отп и от„т. е. когда х ф 1, вычислим и изобразим ~С,(унт) ~ как функцию нормализованной частоты для х = 0.9 и х = 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
