Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Будем использовать термин «гибридный анализ», чтобы описать такие понятия, которые позволяют рассмотреть использование цифрового управления для непрерывного процесса в объединенной структуре. 14.3. Модели для гибридных систем управления Гибридный контур управления, содержащий и непрерывные и дискрет- ные элементы, показан на рис. 14.1. 402 Глава 14. Гибридное управление Рис. 14.1. Контур управления с квантованными данными (структурная схема) Чтобы выполнять гибридный анализ этого контура, нам будет нужно смешивать непрерывные и дискретные сигналы и части системы. Используя обозначения разд. 12.13, мы обозначим дискретную эквивалентную передаточную функцию комбинации (экстраполятор нулевого порядка+непрерывный объект+фильтр) через [РбеСло] .
Из (12.13.3) мы имеем [Ра.ало], = Я (квантованная импульсная характеристика Р(а)Се(а)ало(а)) (14.3.1) В этом разделе мы будем смешивать Е-преобразование и преобразование Лапласа. Будем использовать нижний индекс д, чтобы отличать первое из них. Поставим также в соответствие последовательности (уу[к]) фиктивную кусочно-постоянную функцию уу($), которая равна уу(1) =',~ ууЩ(р(1-Ы)-д(1-Р+ЦЛ)) (14.3.2) а=о где р(1-т) — единичная ступенчатая функция, начинающаяся в момент т. Связь между уу($), уу[а] и уу(1) для конкретного случая иллюстрируется рис.
14.2. Заметим также, что из-за экстраполятора нулевого порядка и($) уже кусочно-постоянная функция: и(8) = б($) = ~ и[В] (р(1 — ЙЬ) — р(1- (й+ 1)Ь)) (14 3 3) а=О 14.3. Модели для гибридных систем управления 403 Рис. 14.2. Связь между уу(й), ру[Ц я 1)у(й) для ду(Ф) = в1п(2яй), Ь = 0.1 (14.3,5) Причина введения уу(~) в том, что она имеет преобразование Лапласа (подобно функции й($)). Например, преобразование Лапласа т1(1) может быть связано с 2-преобразованием (и[В)) следующим образом: ~ ~6(1» е-а~6(ф(1 (14.3.4) е-а~~п[1с[(4(1 1с ~) д(~ (~+1) ~)) <1О ы о ь — о Меняя местами суммирование и интегрирование, получим 00 е "~' — е ("+')~' У(в) = У(в) = ~~) и[Ц й=о =~.аи-'" [' ' "] = У, (е ') а„о( ) где Уе(в) — Е-преобразование [и[Щ.
Ясно, что Ь'(в) = Се(з)У(з) (14.3.6) Мы также знаем, что переменная 1'уо(в) связана с Уо(в) и квантованным эталонным входом Ве(в) через стандартную дискретную передаточную функцию, т. е. Уе(в) = Сд(в)[В (в) — 1'уо(г)) (14.3.7) Умножая обе части на Сьо(з) и подставляя в = е'а, получим [сУло(з)У,(е' )) = — Се(ее~)Сьо(в)У~о(е'~) (14.3.8) +С(е' )Сьо(з)В (е' ) 404 Глава 14. Гибридное управление Рис. 14.3. Форма передаточной функции контура управления с квантованными данными и, используя (14.3.5) для У(з), окончательно получим У(з) = — Сг(е'~Я(з)+ Ст(е'~)Сье(з)В (е'~) (14.3.9) Аналогично, мы можем видеть, что Уу(з) = [Р'СоСле[г (е' )У(з) (14.3.10) Следовательно, для целей анализа мы можем изменить контур из рис.
14.1 так, как показано на рис. 14.3, где все дискретные функции (с нижним индексом й) зависят от е'~, а все другие функции — от з. На рис. 14.3 показана гибридная система, содержащая и дискретные и непрерывные сигналы. Эта структура может использоваться для различных гибридных вычислений. Например, Замечание 14.2.
Заметим, что даже когда зтполонный вход — чистая синусоида, непрерывный выход не будет, вообще говоря, синусоидальным. Это связано с тгм, чтпо Вг(ет ) — периодическая функция, и, Замечание 14.1. Хотя непрерывная передатпочная функция С (з) на рис. 14.3, казалось бы, находится в разомкнутом хонтпуре, фактически обратная связь обеспечивается дискретным контуром.
Таким образом, обратная связь будетп гарантировать, что неустойчивые составляющие Со(з) будут стабилизированы. 14.4. Анализ межтактового поведения 405 как следует из (14.3.11), Убого) будет иметь компоненты с частпотами (го = от, + ~д~", Ф =..., -1, О, 1,... ) . ППП 14.4. Анализ иежтактового поведения Отправной точкой для анализа межтактового поведения являются результаты, полученные в разд.
14.3 для непрерывного выхода гибридного контура. Здесь мы работаем с фильтрованным выходом уу(Ф). Из этих результатов получаем У ( ) ' Во(е"') (14.4.1) 1+С (е ~) [РС Сае) (е ~) Напомним также, что квантованная выходная реакция имеет вид Ууе(е' ) = Т, (е' )Л (е'~') (14.4.2) Итак, кусочно-постоянное приближение квантованного выхода имеет внд 1 у(з) = Сао(з)Ууе(е ) (14.4.4) Из уравнений (14.4.1) и (14.4.4) отношение непрерывной реакции на выходе к кусочно-постоянной форме квантованной реакции на выходе имеет вид Уу(з) г ( )С,(з) (14.4.5) Уу(з) ~РСоСао)з (е а) Временно будем игнорировать влияние фильтра сглаживания. (Это разумно, потому что обычно фильтр проектируется таким образом, чтобы быть достаточно прозрачным к динамике.) где Т, (з) †дополнительн чувствительность в области оператора сдвига: 406 Глава 14.
Гибридное управление Тогда из (14.4.5) видно, что отношение непрерывной реакции на выходе к кусочно-постоянной форме квантованной реакции на выходе зависит от отношения (14.4.6) Как показано в разд. 13.3, дискретная передаточная функция [00050]о обычно будет иметь нули квантования. Влияние этих нулей будет особенно существенным на частотах, близких к половине частоты квантования. Следовательно, можно ожидать, что отношение 9(з), данное в (14.4.6), станет большим вблизи половины частоты квантования.
Проиллюстрируем эту особенность, рассматривая систему сервомотора в примере 13.5. Пример 14.1. Сравнить непрерывную и дискретную реакции для примеров 13.5 и 13.6. Решение Модуль отпношения ЭЦот) для примера 13.5 показан на рис. 14.4. Из рисунка видно, что это отношение равно единице на низких частотах, но на частоте от = в отношение приблизитпельно равно 23: 1 меоюду компонентами этой частотны в непрерывной реакции и кусочнопостпоянной форме квантованного выхода. г5 го 15 о о го зо 50 50 50 Частота ]рад/с] Рис. 14.4.
Частотная характеристика 9(тот), Ь = 0.1 Далее мы используем ввииеупомянутпый анализ для сравнения непрерывной частотпной характеристики проекта, использующего минимальную модель и частотной характперистихи системы с апериодической реакцией для тпого отсе самого обоехта. 14.5. Периодическое управление; повторное рассмотрение 407 а) Проект с использованием минимальной модели.. Напомним, что при тпаком проектировании устраняютсл нули квантования, что приводит к Т («) = «1, которая являетпся передаточной функцией с постоянным усилением на всех частотпах. Следовательно, квантованный синусоидальный входной сигнал вызоветп квантованный синусоидальный сигнал на выходе той же самой амплитпуды.
Однако рис. 14.4 предсказываетп, что соотпветпствующий непрерывный выход будет иметпь в 23 раза большую амплитуду при частпоте синусоиды и = — рад/с. Причину этого пика легко понять. В частпностпи, метод минимальной модели компенсирует нуль квантования в дискретпной системе. Однако этот нуль квантования примерно соответпстпвуетп частпоте ш = — рад/с. Следовательно, как следует из (14.4.6), на частоте ы = в рвд/с будет сущестпвенный размах колебаний.
б) Оптимальный по времени апериодический проект.. В противоположность этпому оптимальный по времени апериодический проект из примера 13.6 не компенсируетп нули квантования и приводит к следующей дискретной функции дополнительной чувстивительности: Вог(«) 0 5083«+0.4917 В (1)«2 «2 Модуль частотной характеристики этой дополнительной чувствительностпи показан на рис. 14.5. Мы видим, что в этом случае дискретное усиление сущестпвенно уменьшаетпся на частоте ю = — рад/с, и, хотя особенности рис. 14.4 и имеютп место по отношению к 6(ро), незначительная дискретная реакцил на частпотпе ~а ргд/с приводит к подавлению межтпактовых пульсаций. Мы видим, что при таком проектировании не делается никаких попыток компенсировать нуль квантования, и, следоватпельно, нет никаких неприятпных различий между квантованной реакцией и полной непрерывной реакцией.
ППП 14.5. Периодическое управление; повторное рассмотрение Вспомним периодический регулятор, описанный в разд. 13.7.1. Там мы выяснили, что цифровую систему управления можно разработать для отслеживания (в моменты квантования) любого произвольного периодического эталонного сигнала. Однако мы заметили, что это вызывает бесконечное усиление контура на высоких частотах (относительно периода 408 Глава ]4. Гибридное управление иг о.в 0.6 0.4 0.2 о о го 50 40 50 6О Частота [рвд/с] 10 Рис.
14.5. Частотная характеристика дополнительной чувствительности для оптимального по времени апериодического проекта 14.6. Формула суммирования Пуассона В заключение мы приведем результат, который часто полезен в контексте гибридного управления. В частности, пусть мы хотим явно оценить Е-преобразование последовательности 1Г'[кса)), полученной квантованием непрерывного сигнала Г"[$) при заданном периоде Ь. Используем Р(а) и Ро(г), чтобы обозначить преобразование Лапласа Г'18) и Е-преобразование Щ[сЬ)) соответственно: Р[а) = /,Г"[5)е 44Ю зо Г,Ю = ЯаИ5) (14.6.1) (14.6.2) квантования), и это было нежелательно из-за необходимости сохранить робастность. Поэтому было предложено изменить идею так, чтобы точно отслеживались только компоненты до некоторой максимальной частоты.
Другая причина, чтобы не использовать идеализированную форму периодического управления, связана с проблемами межтактовой реакции. Мы видели в разд. 13.7.1, что возникнет существенная межтактовая реакция, если попробовать получить ощутимую дискретную реакцию при приближении частоты к ~г/Ь. Однако это как раз то, что идеализированная форма периодического регулятора стремится делать. Таким образом, если периодический регулятор должен применяться в непрерывной системе, то снова хорошей идеей является ограничение полосы пропускания, в которой происходит точное отслеживание.
14.6. формула суммирования Пуассона 409 Тогда в соответствии с различными условиями регулярности, мы получим — ,') Г а+уй — = — 11ш ~> I Ще ('+у~ в )~М (14.6.4) = — 1пп / У(~)Рн ~ — / е "~й (14.6.5) ,л~ и — +со О н ~,„)) где Р„( — ) — специальная функция, определяемая формулой в1п (~ — у) — ) а=-о (14.6.6) Функция Ро(Я) очень часто используется в доказательствах, касающихся сходимости преобразований Фурье. Она известна как ядро Дироле. Чтобы показать, как эта функция выглядит, на рис. 14.6 приведен ее график для случая и = 8. в о 0.$ 1 св 2 2.в в з.в 4 вр (~!а) Рис. 14.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
