Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Рэга П: ТЬе шп!11»апаЫе сазе. 1ЕЕЕ 21»тмасйопз оп А»1оша1!с Соп1го1, 2ЦЗ):319-338. 15.11. Задачи для читателя Задача 15.1. Для объекта, имеющего номинальную модель Со(з) = 2 (15.11.1) (з+ 5)(з+ 10) опишите класс регуляторов Я(з), которые имеют нулевую установившуюся ошибку для постоянных возмущений. Задача 15.2. Для того же объекта, что и в задаче 15.1, найдите функцию Я(з), такую, что дополнительная чувствительность имеет доминирующие полюсы, расположенные в точках — 2 ~ 11.5. Задача 15.3.
Для данного объекта с номинальной моделью 0 (з) = (з+ 1) в охарактеризуйте класс регуляторов, которые обеспечивают нулевую установившуюся ошибку для синусоидального эталонного сигнала частоты 0.5 рад/с. Задача 15.4; Рассмотрим неустойчивый объект, имеющий номинальную модель Со(з) = (з — 1) 1. Опишите с использованием простейших Р(з) и Цз) класс всех стабилизирующих регуляторов. Подсказка: заметьте, что этот объект может быть стабилизирован использованием простого пропорционального регулятора. Задача 15.5.
Рассмотрим объект, имеющий модель, заданную выраже- нием сто(з) = (з + 1)(з + 3) (15.11.2) Предположим, что выход этого объекта должен поддерживаться постоянным в присутствии входного возмущения. Далее предположим, 466 Глава 15. Параметризация 8180-регуляторов что входное возмущение имеет постоянную составляющую и переменную составляющую со спектром, распределенным в полосе частот [О, 4] рад/с. 15.5.1. Синтезируйте Я(в) путем компенсации устойчивых полюсов С,(з).
Доминирующим компонентом в знаменателе Т,(з) должен быть сомножитель в2 + 6в + 16. 15.5.2. Проверьте ваше решение с помощь)о схемы моделирования в файле пптр41.пм11 пакета 31М11Ыг"тК. 15.5.3. Измените спроектированный регулятор так, чтобы улучшить компенсацию возмущения, не повлияв существенно на отслеживание ступенчатого эталонного сигнала. Задача 15.6. Рассмотрим структуру управления на основе внутренней модели, показанную на рис. 15.1, и ваш окончательный проект из задачи 15.5. Предположим, что истинная модель, объекта имеет вид (15.11.3) та+1 (в+ 1)(в+ 3)(та+ 1) Проанализируйте характеристики вашего проекта для т = 0.05 и т = 0.2. Если необходимо, заново спроектируйте ваш регулятор.
Задача 15.7. Рассмотрим дискретный регулятор, имеющий передаточ- ную функцию Се(з) (15.11.4) Найдите общую характеристику для передаточных функций всех дискретных объектов, которые стабилизируются этим регулятором. (Подсказка: используйте в обратной форме параметризацию всех стабилизирующих регуляторов для неустойчивых объектов — т.
е. поменяйте ролями объект и регулятор.) Задача 15.8. Рассмотрим непрерывный объект, имеющий модель -Оип тзо(в) = (15.11.5) з+1 Предположим, что желательно управлять этим объектом в цифровой форме, с квантователем и экстраполятором нулевого порядка и интервалом квантования лг = 0.1 с; тогда нам потребуется дискретная модель, которая (см. рис. 12.6) определяется формулой е-о 1 600гв(З) 4 -0.1 (15.11.6) Используя структуру управления на основе внутренней модели, спроектируйте Щз) таким образом, чтобы составляющие реакции замкнутого контура были по крайней мере быстрее, чем (0.6)ь. Заметьте, что 15.11.
Задачи для читателя 467 это требование должно также быть удовлетворено при компенсации входного возмущения. Задача 15.9. Рассмотрим объект, имеющий номинальную модель (15.11.7) (з + 1)(з + 2) 15.9.1. Предложите метод синтеза ПИД-регуляторов, следуя рассуждениям разд. 15А. Оцените вашу методологию с помощью моделирования для а Е [0.1,20). Включите в ваш анализ идеи, представленные в гл.8. 15.9.2, Сравните ваши результаты с полученными с помощью настроек Коэна — Куна и оцените результаты для того же самого диапазона значений а. Задача 15.10.
Предположим, что неустойчивый объект имеет передаточную функцию Са(з) = Ва(з)(А,(з), такую, что полипом А,(з)+Ва(з) имеет все корни с отрицательными вещественными частями. Параметризуйте все стабилизирующие регуляторы для этого объекта как функцию А (з) и В (з). Задача 15.11. Разработайте механизм протнвонакопления для структуры управления на основе внутренней модели в параллель к структуре, разработанной в гл.
11. Глава 16 Проектирование систем управления на основе оптимизации 16.1. Введение До сих пор мы видели, что ограничения проекта являются результатом множества различных источников: ° структурные свойства объекта типа неминимально-фазовых нулей или неустойчивых полюсов; ° возмущения — их частотный спектр, точка приложения и возможность измерить; ° структурные свойства системы и вытекающие отсюда законы компромисса и ° интегральные ограничения и вытекающие отсюда интегральные законы компромисса. Тонкость и сложность сети появляющихся компромиссов, которую проектировщик должен разрешить, определяет интерес к тому, что называется проектированием систем управления на основе заданных кришериев или теорией опгпимального управления: задача здесь состоит в том, чтобы выразить цель управления в математическом критерии и решить его для регулятора, который (в зависимости от формулировки) максимизирует или минимизирует этот критерий.
Возникают три вопроса: 1. Является ли оптимизация критерия математически осуществимой? 2. Насколько хорош полученный регулятор? 3. Может ли ограничение сети компромиссов быть обойдено оптимизацией? Вопрос 1 имеет утвердительный ответ для множества критериев. В частности, квадратичные формулировки позволяют удобно манипулировать ими. Аналогично, и аффинная параметризация из гл. 15 является 16.2. Оптимальный О-сннтез (аффннный) 469 средством достижения, потому что она дает функции чувствительности, аффинные в искомой переменной Я. Ответ на вопрос 2 имеет два аспекта: а) Насколько хорош регулятор в соответствии с критерием? Ответ: он оптимален по своей конструкции; однако б) Насколько хороша реализация контура управления относительно исходных эксплуатационных требований? Ответ: столь же хороша или столь же плоха, насколько используемый критерий обеспечивает цели проектирования и разрешение действующих компромиссов. Плохо сформулированный критерий просто приведет к регулятору, который опптимально осуществляет слабые цели.
Однако когда критерий проекта выбран хорошо, можно синтезировать регулятор, который было бы трудно осуществить методами, рассмотренными нами к настоящему времени; это особенно касается систем со многими переменными, рассмотренных в следующей части книги. На вопрос 3 можно просто ответить — нет: все линейные стационарные регуляторы, синтезировались ли они эмпирическим методом, методом назначения полюсов или с помощью оптимизации, подчинены одним и тем же фундаментальным законам компромиссов. 16.2. Оптимальный О-синтез (аффинный) 16.2.1. Общие идеи В гл.
15 было показано, как Я-синтез может использоваться для управления устойчивыми и неустойчивыми объектами. Главные трудности методов связаны с требованием обеспечить внутреннюю устойчивость и в то же самое время получить приемлемые характеристики контура.
Требование устойчивости приводит к некоторым структурам функций чувствительности. Довольно трудно одновременно удовлетворить и структурным требованиям, и заданным эксплуатационным характеристикам. Альтернативным подходом к вышеупомянутым методам может быть такой: сначала определить целевую характеристику для свойств контура, т. е. дополнительную чувствительность. Тогда функция Я(з) может быть найдена в пределах класса всех Я(з), которые гарантируют внутреннюю устойчивость таким образом, что расстполние от реальной дополнительной чувствительности до целевой характеристики будет минимизировано. Этот подход облегчен тем фактом (уже рассмотренным), что функции номинальной чувствительности — аффинные функции от фз).
Для определения расстояния используется специальная мера, представляющая собой специфическую процедуру оптимизации. Существует широкое разнообразие возможных вариантов. Мы проиллюстри- 470 Глава 16. Проектирование систем управления на основе оптимизации руем это, используя конкретный подход, основанный на квадратичной оптимизации. Она была выбрана из-за своей простоты и потому, что может быть использована без обращения к сложным математическим вопросам кроме тех, которые уже рассмотрены. 16.2.2.
Квадратичный оптимальный 0-синтез Предположим, что целевая функция Но(з) выбрана для дополнительной чувствительности Т,(в). Мы видели в гл. 15, что, если мы имеем некоторый стабилизирующий регулятор С(з) = Р(в))1,(з), тогда все стабилизирующие регуляторы могут быть выражены, как в (15.7.1), для устойчивой функции ф,(в). В этом случае функция номинальной дополнительной чувствительности на основе (15.7.23) будет иметь вид: Т„(з) = Н1 (з) + ф, (з) У(в) (16.2.1) где Нт(в) и к'(в) — устойчивые передаточные функции вида Во(з)Р(в) Во(з)Ао(в) (16.2.2) Е(в)Р(з) ' Е(з)Р(з) Пусть 8 обозначает множество всех вещественных рациональных устойчивых передаточных функций; тогда задача квадратичного оптимального синтеза может быть представлена следующим образом: где квадратичная норма (также называемая Нз-нормой) функциит Х(в) определяется следующим образом: Г1 Г ([Х[) = — Х(уы)Х( — уы)с(от (16.2А) Замечание 16.1.
Оптимизационный подход может тпакже использоваться и для синтеза дискретпных регулятпоров. В этом случае квадратичная норма функции Хе(в) определяется следующим образом: 1 Цх,Ц,= [ — '1 х,~н ~х,а-г и 1 Пах5) 2тт о ПС)П ' Мы предполагаем, что Х(в) — ветцественнвя функция х. 16.2. Оптимальный О-синтез (аффинный) 471 Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужен предварительный результат, который является расширением теоремы Пифагора.
Лемма 16.1. Пусть 8 С 8 есть множество всех вещестпвенных строго собственных устойчивых рациональных функций и пусть 8~~ — множество всех вещественных старого собстпвенных рациональных функций, аназитпических в области Я(з) < О. Кроме того, предположим, чтпо Х,(з) Е 8а и Х„(з) Е 8~~: Тогда [~[Х, + Х„[('. = [[Х,[[, '+ [[Х„~~,' (16.2.6) Доказательство Цх.-:-х.ЦЦ,'=ЦЦх.Ц,'+Цх.Ц,',-та[ — '~ х,цт цх.ц-, ца ] цжтц но 1 Г" 1 à — / ХЯьт)Хи( — тцо)дат= —,~6 Х,(з)Хи(-з)т(з (16.2.8) 2тг .ц' .Ж ' Я~(з) = агб ш)п [[тт" (з) — Яи(з)1х(з)[[, (16.2.9) я„(т)ез где Ит (з) = Н,(з) -Н1 (з), Нп(з) — искомая дополнительная чувствительность, а Нт(з) — такая же, как в (16.2.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
