Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 80
Текст из файла (страница 80)
16.2. Реакция замкнутой системы для случая 1: когда используется Я, (тонкие линии) н когда используется оптимальная функция ц (толстые линии) 488 .Глава 16. Проектирование систем управления нв основе оптимизации й о 3 о СО о -1 О 2 4 б 8 1О О 2 4 Время [с] Время Рнс. 16.3. Реакция замкнутой системы для случая 2: когда (тоикие линии) и когда используется оптимальная функция Я б 8 10 [с] используется 1ге (толстые линии) 2В о.в й ' $0.4 » 3 Ог О.г о о О 2 4 б 8 10 О 2 4 Время [с] Время Рнс. 16.4.
Реакция замкнутой системы для случая 3: когда (тонкие линии) и когда используется оптимальная функция сг 8 8 Ю [с] используется Яе (толстые линии) Замечание 16.13. Мы не хотим соэдатпь впечатление, что нужно всегда выполнятпь формальный, основанный на критерии робастности проекта. Мы тпщательно подбирали этот пример, чтобы выдеинутпь на первый план имеющиеся проблемвс.
Однако практпически, осторожное номинальное проектирование, выполненное с оглядкой на проблемы робастности, веролтно, дастп адекваптное решение, особенно потому, что точные границы для ошибок модели будет птрудно получитпь, ППП 16.3.6. Неустойчивый объект Далее мы кратко покажем, как робастный метод проектирования может быть расширен на случай неустойчивого объекта в разомкнутом состоянии. Как и раньше, мы обозначим номинальную модель через 0,(э) =, номинальный регулятор через С,(8) = ~(-с, номинальную ВЫ Р1 41 чувствительность через Я„ чувствительность, когда остается объект й »15 о 1 ОЯО ОВ г о. о 1,5 » 1 ои О.б Й ' О1 16.3.
Проектирование робастной системы управления 489 Со(8) (но регулятор меняется на С(8)), через Ят и реальную чувстви- тельность, когда объект меняется на С(8) (а регулятор меняется на С), через Яэ. Параметризуем модифицированный регулятор: (16.3.44) где Я(8) — устойчивая собственная передаточная функция.
Тогда, так же как и в гл. 15, получим, что Ао(8)Ц8) А,(8) Ь(8) + В,(8) Р(8) Е ( ) (1 о(8)е (8) Ь(8) Ят(8) Ят(8) +~1(~)Сь( ) ( )Ао( )С ( ) В,(8) А,(8)В,(8)Я(8) Ао(8) 7 (8) + Во(8) Р(8) А,(8)Р(8) Ао(8)эЯ(8) Ао(8)Ц8) + Во(8)Р(8) Ао(8)Ь(8) + Во(8)Р(8) 1 (16.3.47) где Са(8) и С,(8) означают МОМ и АОМ (см. разд. 3.9) соответственно. Как и Раньше, мы использовали взвешеннУю меРУ величины Яэ(8)— Яо(8), где весовая функция теперь выбирается следующим образом: И э(8) = (1+ Тт(8)Со(8)) (16.3.48) В этом случае Ао(8) В,(8) Я(8) И~г(8)Фг(8) — Ео(8)1 4 ( ~~( )+ Ь(8) (Р(8) + Ао(8)Я(~)) 1 (8)эх (8) (16 3 49) (Ао(8) Ь(8) + Во(8) Р(8) ) Характерный момент, который будет понятен тем, кто изучил вопросы идентификации, заключается в том, что идентификация для неустой- Р(8) Ао(8) Е(8) Е(8) Ц8) В,(8) Е(8) Е(8) В,(8)Р(8) Ао(8) Ца) + Во(8) Р(8) (16.3.45) Яо(8)во(8)аа) Ца) (16.3.46) 490 Глава 16.
Проектирование систем управления на основе оптимизации чивых объектов обычно использует дробные модели. Таким образом, номинальная модель обычно представляется в виде ф, где АГо(з) = — ' В,(з) Е(з) А,(в) Р,(з) = для некоторого устойчивого полинома Е(з). Аналогично реальный объект обычно может быть представлен в виде -®, где Мз) = АГо(з) + В,(з) Е(з) (16.3.52) Р(в) Ро(в) +— А,(з) Е(з) (16.3.53) (16.3.51) ПГ(з) ЛГо(в) Во(з) + В,(в) Р(з) Р (в) А (з) + А,(з) Ао(з)Вт(з) Во(з)Ат(з) Ао(з)з Ао(в)г Подставляя (16.3.54) в (16.3.49), получим Во(в) (16.3.54) (16.3.55) А,(з) Ао(в)В,(з)фз) Ао(з)Цз)+ В,(з)Р(в) (Ао(в)Ва(з) — Во(в)А,(з)) (16.3.56) 1А,(з)Цв) + Во(з)Р(з)) Тогда мы можем продолжать по существу так же, как и в случае, когда разомкнутый контур устойчив.
Замечание 16.14. Комментарии, сделанные в замечании 16.12, при- менимы также и здесь. 16.4. Фундаментальные ограничения управления с минимальными затратами Рассмотрим стандартный Я1ЯО-контур управления с обратной связью, показанный, например, на рис. 5.1. Нас будет интересовать минимизация При этих условиях аддитивная ошибка моделирования 0,(з) будет иметь вид: 16.4. Фундаментальные ограничения управления с минимальными затратами 491 квадратичной стоимости (связанной с реакцией на выходе), имеющей внд: у (р)2 уг /00 (16.4.1) 2Л Заметим, что здесь мы не будем обращать внимание на «размер» управляющих воздействий.
Отсюда этот класс задач обычно называется «дешевое управление» или «управление с минимальными затратамим Очевидно, непрактично допускать произвольно большие сигналы управления. Однако не ограничивая управляющее воздействие, мы получаем эталон, относительно которого другие, более реалистические, варианты могут быть оценены. Таким образом, эти результаты дают фундаментальный предел достижимой характеристики. Мы рассмотрим два типа возмущений, а именно 1) импульсный шум измерения (И (4) = б($)) и 2) ступенчатое выходное возмущение (Н,(т) = и(т)). Тогда мы имеем следующий результат, который выражает связь между минимальной достижимой величиной для функции стоимости (16.4.1) и свойствами разомкнутой системы. Теорема 16.1.
Рассмотрим Я1ЯО-контур управления, изображенный на рис. 5.1 и функт«ию стпоимости «дешевого» управления (16.4.1). Тогда 1. Для импульсного шума измерения минимальное значение стоимости (16.4.1) равно (16.4.2) где ры...,р»г обозначают полюсы разомкнутпого контура, находящиеся в ППП; 2. Для ступенчатого выходного возмущения минимальное значение стпоимостпи (16.4.1) равно м у (16.4.3) с« т»=1 где сы...,см обозначают нули разомкнутпого контура, находящиеся в ППП.
Доказательство 1. Передаточная функция от шума измерения до выхода равна ( — Т(з)). Следовательно, для импульсного шума преобразование Лапласа выходного сигнала равно У(з) = -Т(з) (16.4.4) 492 Глава 16. Проектирование систем управления на основе оптимизации Следовательно, на основании теоремы Парсеваля (тиеорема 4.1) функция стпоимости (16.4.1) будет 1 Гос з= — / !Т.О Н'д (16.4.5) 4к,/, Далее используем Я-парометризацию всех стабилизирующих ре- гулятпоров, чтобы записать Т (з) так, как в (15.7.23), т. е.
Во(з)Р(з) + бтги(з)Во(з)Ао(з) А*(з) где А*(з) = Ав(з)Ь,(з) + В,(з)Р(з). Следоватавьно, функция стоимости имеетп вид: 1 Гс" д = — / 1И'(уи) - Ов(уот)У(уы)~едко (16.4.7) 4к,/ (16.4.6) где Во(з)Р(з) 1Г( ) Во(з)Ао(з) (16.4.8) А*(з) ' А*(з) Используя равенства (16.2.15) и (16.2.16) из леммы 16.2, мы видим, что оптимальный регулятпор удовлетворяетп условию 1 Гоо — — ~(Ъ;(рот) 'И'(уот))„~~йо (16.4.9) Замечая, что Ве(з)Р(з) = А'(з) в нулях полинома Ао(з) и используя интегральную формулу Коши (теорема С.8 приложения С), мы имеем ,т'=, ''р; (16.4.10) т=1 где р; — полюсы разомкнутого обвекта, находящиеся в ППП.
2. Доказательство аналогично части 1. ППП Полученный результат означает, что минимально возможная энергия выхода, получаемая при импульсном шуме измерения, определяется суммой полюсов, находящихся в ППП и что минимально возможная энергия выхода, получаемая при единичном ступенчатом выходном возмущении, определяется суммой обратных величин нулей, находящихся в ППП. Результат эвристически разумен. Например, чтобы скомпенсировать выходное возмущение, мы должны инвертировать объект. Трудность выполнения этой операции обусловлена наличием нулей объекта, расположенных в ППП. Точно так же, когда мы имеем дело с импульсным шумом измерения, требуется обеспечить минимальные колебания управляющего воздействия, чтобы держать объект в устойчивом состоянии.
А это является функцией полюсов, находящихся в ППП. 16.5. Ограничения в частотной области; повторное рассмотрение 493 16.5. Ограничения в частотной области; повторное рассмотрение Мы видели ранее в гл. 9 (лемма 9.2 и лемма 9.4) что функции чувствительности и дополнительной чувствительности удовлетворяют следующим интегральным уравнениям в частотной области: 1) 1Г й„ вЂ” / 1п)Я Цю))гйо+ — = ,'> р; (16.5.1) тг о 2 где йь означает вт,, зны(з) и н,1(з) — передаточная функция разомкнутого контура. 2) 1 Г~1 1 1 — / — 1п ~Те (угу дго + — = ~~г — (16.5.2) о 2й„с; где йе = 1ппв +озНы(з). Можно заметить интересную взаимосвязь между правыми частями уравнений (16.5.1), (16.4.2), (16.5.2) и (16.4.3). Это не случайно, как показано в следующей теореме: 'Теорема 16.2.
Рассмотрим стандартный 81оО-контур, представленный на рис. 5.1, в котпором передагпочная функция в разомкнутом сосгпоянии Н,т(з) является старого собственной и Нег(0) 1 = 0 (т. е. она обладает интпегрирующими свойствами). Тогда: 1) Для импульсного шума измерения справедливо следующее неравенство: — / у(г)г) — + — / 1п~Я,(у'го)~гйо=~~> р; (16.5.3) Л вЂ” -А где рт,...,рлг означают полюсы обеекта, расположенные в ППП. 2) Для единичного ступенчатого выходного возмущения справедливо неравенство 1 1го 1 1 Гго, дат 1 — у(1) > — + — / Ь ~То(уго) ~ — г — — ~~т — (16.5.4) 2 о 2йи к/о ' гог с; где ст,...,см означают нули обеекгпа, расположенные в ППП. Доказательство Фактически, результат следует немедленно из сравнения (16.5.1), (16.4.2), (16.5.2) и (16.4.3).
Однако прямое доказательство также возможно, как показано ниже: 494 Глава 16. Проектирование систем управления нв основе оптимизации (16.5.7) У()= — ', о,(з) где о,(з) — функция чувствигпельносгпи. (16.5.10) 0П0 1) Мы знаем, что передаточная функция от шума измерения до выхода обвекта равна -Т (з), где То(з) — функция дополнительной чувствительности. Для импульсного шума преобразование Лапласа вмходного сигнала равно 1'(з) = -Т (з) (16.5.5) Следовательно, теорема Парсевалл (теорема 4.1) дает — / у(1)~г(1 = — / ~То(уш)~~йо (16 5 6) 2./.
— -./. Прибавлял и вычигпая 1 |в Я(Т Цш))йо, получим 1 оо 1 Гсо у(1)"~= — ~' Т.(-) 2 о 2тг ./- + — / [ — 2Я(Томаш)) + ~То(7'ш) ~ ~ йо -./в где мм использовали тот факт, что 1пт(Т„Цш)) — нечегпнвл функция. Далее мы используем условие 1п(1+ х) < х. Следовательно, — / у($)~а1 > — / Т~(1ш)йо (16.5.8) (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
