Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Тогда существуетп преобразование подобия, котаорое переводитп модель пространства состояний в следующую каноническую форму регулятора: 17.6. Управляемость и стабилизируемость 515 дящее модель (17.6.41) в модель (17.6.38). Соотпветстпвующее преобразование подобия х = Г,[А,В]Мх" (17.6.42) где Стп-1 ° ° ° Ст2 ст1 (17.6.43) Преобразование подобия дает А = М 1 с [А В]АГс[А В]М В" = М Гс [А, В]В (17.6.44) Ао = М 'А'М (17.6.45) где А' = Гст[А,В]АГ,[А,В], В' = Г 1[А,В]В представлена в форме управляемости, следуя лемме 17.2. Из определения М следуетп, что М 1 — тпакже верхняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами.
Таким образом, Во= М 1В' Вл=М 1В'= (17.6.46) (17.6.47) ха=О которое, есптественно, является нестпабилизируемым. Возмущения более общего вида обычно описываются моделями вида ~(хз) = Адхз (17.6.48) где ~ — соответствующий оператпор (дифференциальный, оператор сдвига, дельта-оператор), а Ав — матприца, котпорая обычно имеет корни на границе устойчивости. Доказательство следует из раздельного подсчета матприц МАл и А'М и проверки, что они идентичны. Поскольку М вЂ” певырожденная матрица, лемма доказана.
С1ПС1 Замечание 17.6. В заключение отметим, что, как мы видели в гл. 10, это действительно довольно общий случай, когда включаются неуправляемые модели в проекта системы управления. Это удобно для описания различных часто встпречающихся возмущений. Например, постоянное возмущение можетп быть задано следующей моделью пространства состояний: $16 Глава 17. Линейные модели пространства состояний Эти модели могутп комбинироваться с другими моделямщ чтобы включить возмущения в общее описание систпемы. Например, система с входным возмущением может быть смоделирована матрицами А' и В' вида А' = 0 А ' В' = 0 (17.6.49) 17.7. Наблюдаемость и опредеияемость Рассмотрим снова модель пространства состояний ((17.6.2), (17.6.3)).
В общем случае, размерность наблюдаемого выхода у может быть меньше, чем размерность состояния х. Однако можно догадаться, что, если наблюдать выход через некоторые конечные интервалы времени, то можно получить некоторую информацию относительно всего состояния.
Связанные с этим свойства называются наблюдаемостью (или реконструируемостью). Связанная с ней проблема называется определяемостью. Мы начнем с наблюдаемости. Наблюдаемость связана с вопросом, что можно сказать относительно состояния процесса по измерениям выхода объекта. Формальное определение следующее: Определение 17.6. Говорят, что состояние х, ~ 0 «ненаблюдаемо» если для заданных х(0) = х„и и[й] = 0 для й > 0 следует, что у[й] = 0 для й > О.
Говорят, что система полностью паблюдаема, если не существует никакого ненулевого начального состояния, которое является ненаблюдаемым. х[й+ 1] =0 (17.7.1) у[й] =о (17.7.2) Ясно, что зта система реконструируема для всех Т > 1, потому чтпо мтв знаем наверняка, что х[Т] = 0 для Т > 1. Однако она х[0] =х, Замечание 17.7. Понятием, связанным с наблюдаемостпью, является реконстаруируемостпь. Это понятие иногда используется в дискреп1- ных системах. Реконструируемость связана с вопросом, что можно сказать отаноситпельно х(Т) на основе предыдущих значений выхода, т. е.
у[й] для 0 < й < Т. Для линейных стационарных непрерывных систем различие между наблюдаемостью и рекопструируемостью несущественно. Однако следующий пример иалюстрирует, что для дискретного времени зти две концепции различны. Рассмотрим сис- тему 17.7. йаблюдаемость и определяемость 517 полностью ненаблюдаема, потому что у[й] = 0 Чй независимо от значения х,. пап Ввиду тонкого различия между наблюдаемостью и реконструируемостью, мы будем использовать термин «наблюдаемость» для более сильного из этих двух понятий.
Наблюдаемость системы определяется следующей теоремой. Теорема 17.3. Рассмотприм модель простпранства состояний ((17.6.2) и (17 6 3)). 1) Множество всех непаблюдаемых состояний равно множеству нулевых элементов матрицы наблюдаемостпи Г [А,С], где С СА 1 о[А,С] = (17.7.3) 2) Систпема полностью наблюдаема тогда и только тпогда, когда Г [А,С] имеет столбцевой ранг, равный и. Доказательство Результат справедлив и для непрерывного, и для дискретного времени; здесь мы сосредотпочим внимание на доказательстве для дискретного времени (областпь дельта-оператора). Для нулевого входа решение урав- нения (17.6.2) (17,7.4) х[й+ 1] = (1+ ЬА)х[й] Следовательно, для Ф ) и — 1 С С(1+ ЬА) С(1+ ЬА)г х[0] (17.7.5) у[И] С(1+ ЬА)~ 1 0 0 ...
0 1 Ь1 0 ... 0 1 2Ы Ьг1 ... 0 (17.7.6) х[0] у[0] у[1] у[2] С СА САг 518 Глава 17. Линейные модели пространства состояний ний: А=[ ]; В=[]; С=(1 — 1( (17.7.7) Нужно проверить ге на наблюдаемость. Решение Го[А, С] = СА (17.7.8) Следовательно, ранг матрицы Ге[А,С] = 2 и система полностью на блюда ема. ППП Пример 17.8. Нужно повтпорить решение для модели А = [ ]; В = [ ]; С = (1 — 1$ (17.7.9( Решение Го[А,С] = (17.7.10) Следоватагльно, ранг матрицы Ге[А,С] = 1 ( 2 и систпема не являетпся полностью наблюдаемой.
ППП Мы видим поразительное подобие результатов теоремы 17.2 и теоремы 17.3. Можно формализовать зто следующим образом: Теорема 17.4 (Двойственность). Рассмотрим модель пространства состояний, описанную четырьмя матрицами (А,В,С,А1). Эта система полностью управляема тпогда и только тогда, когда дуальная (двойстпвенная) систпема (АА,СА,ВА,А1А) полностью наблюдаема. Доказательство Результат непосредстпвенно вытекает из теорем 17.2 и 17.3. ППП Данная теорема часто используется, чтобы перейти от результатов относительно управляемости к результатам относительно наблюдаемости и наоборот. Например, двойственной к лемме 17.1 будет следующая: Первая матприца в (17.7.6) невырождепиая, и, следоватпгльно, У((7 равно нулю 'тогда и только тогда, когда х[0) находится в нулевом пространстве [С~ А С ...
(А 7) С )~. По теореме Кэли — Гамильтона это то же самое, чтпо и нулевое пространство Г,[А, С]. ППП Что касается управляемости, полученный результат также справедлив и для непрерывных операторов, и для дискретных (в области оператора сдвига). Пример 17.7. Рассмотрим следующую модель пространства состпоя- 17.7. Набяюдаемость и определяемость 519 Доказательство Рассмотрим пару (А',Вт) = (Ат, Ст) и применим лемму 17.1. Результат следуетп из свойстпва двойстпвенностпи. ОПП Полученный результат столь же важен, что и свойство управляемости и связанная с ним декомпозиция. Чтобы оценить это, мы применим лемму, двойственную к лемме 17.1, чтобы изобразить (преобразованные) уравнения состояния и выхода в расчлененной форме следующим образом: хпо[тс] Аг1 Апо тпо[тс] Впо у[й] = [С, 0] ~ [ ]1 + 1Эи[тс] 1 я,[7с] 11 (17.7.12) (17.7.13) Графическое изображение этих уравнений показано на рис.
17.2. Уравнения (17.7.12) и (17.7.13) вместе с рис. 17.2 показывают, что могут возникнуть проблемы, когда для управления объектом используются только выходы или когда проектируется регулятор по модели, которая не является полностью наблюдаемой. Происходит это оттого, что выход не дает всей информации относительно хпо[й]. Например, если тпо[7с] неограниченно растет, то объект не может быть стабилизирован обратной связью по выходу системы. Рис. 17.2. Разложение на наблюдаемую и ненаблюдаемую части Лемма 17.4.
Если Ранг (Го[А, С]) = 7с < п, сУи1ествУетп пРеобРазование подобил Т, такое, что с я = Т 1я, А = Т 1АТ, С = СТ, С и А имеют вид А= ~ — ' С=ГСо О] (17.7.11) 1Ао1 Апо1 где Ао имеет размерностпь |с, а вара (Со, А,) полностью наблюдаема. 520 Глава 17. Линейные модели пространства состояний Определение 17.8. Ненаблюдаемое надпространство объекта состав- лено из всех состпояний, получаемых с помощью любой возможной ли- нейпой комбинации состояний х„. Успюйчивость этого надпростран- ства определяется расположением собственньвх значений А„.
Определение 17.9. Говорят, что объект «определяемый», если его ненаблюдаемое подпростпранство устпойчиво. В равд. 17.6 мы отметили, что неуправляемые (на самом деле нестабилизируемые) модели часто используются при проектировании систем управления. Это не так для неопределяемых моделей. Но существу, все модели, используемые в дальнейшем, можно считать определяемыми без потери общности. Имеется также дуализм канонических форм, приведенных в леммах 17.2 и 17.3.
Например, лемма, двойственная лемме 17.3, выглядит так: Лемма 17.5. Рассмотрим полностью наблюдаемую Б1ЯО-систему, заданную уравнениями (17.6.2) и (17.6.3). Тогда существует преобра- зование подобия, которое преобразует модель к канонической форме наблюдаем ости Ьп — стп 1 1 5о бх'[й] = хв[й] + и[й] (17.7.14) 1 — «то О О у[й] = [1 О ... О] х'[й] + Ри[й] (17.7,15) Доказательство Заметим, что есть связь: (С,А) — наблюдаема еь (А~,Ст) — управляема. Поэтому рассмотрим дуальную систему бх[й] = А х[й] + С~и [й] (17.7.16) у[й] = В х [й] + Ри[й] (17.7.17) и преобразуем ее к виду регулятора, что и в лемме 17.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
