Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 86
Текст из файла (страница 86)
° Модели пространства состояний облегчают изучение некоторых свойств системы, которые являются первостепенными в решении задач проектирования систем управления. Эти свойства связаны со следующими вопросами: о Можно ли соответствующим выбором входа тт перевести текущее состояние системы в желаемое состояние (конкретную точку)? (Управляемость.) о Если некоторые состояния неуправляемы, то дадут ли они затухающие компоненты процесса? (Стабилизируемость.) о Если известен вход тт(Ф), для Ф > ~о, то можем ли мы определить состояние при $ = Фо, измеряя выход системы у($) при 8 > 1о? (Наблюдаемость.) ° Переменные состояния — система внутренних переменных, на которых может быть построена полная модель поведения системы. Переменные состояния можно представить в виде вектора состояния.
° Для линейной системы выбор переменных состояния не однозначен, однако о минимальная размерность вектора состояния инвариантна для системы, о существует невырожденная матрица, которая определяет преобразование подобия между любыми двумя векторами состояния и о любой выход спроектированной системы может быть выражен в виде линейной комбинации переменных состояния и входов.
° Для линейных стационарных систем модель пространства состояний описывается следующими уравнениями: 1?.11. Литература для последующего чтеиия 527 о Если некоторые из состояний ненаблюдаемы, то дадут ли они затухающие компоненты процесса? (Определяемость.) ° Управляемость говорит нам о реализуемости попытки управлять объектом. ° Наблюдаемость говорит нам, возможно ли узнать о том, что происходит внутри данной системы, наблюдая ее выходы. ° Вышеупомянутые свойства инвариантны для системы.
Однако изменения в числе входов, в точках их приложения, в числе измеряемых параметров и в выборе переменных, которые будут измерены, могут привести к различным результатам. ° Передаточную функцию можно всегда получить из модели пространства состояний. ° Модель пространства состояний может быть построена из модели в виде передаточной функции. Однако только полностью управляемая и наблюдаемая часть системы будет описана в этой модели пространства состояний.
Таким образом, модель в виде передатлочнот2 функции может быпть только часгпичным описанием системы. ° Свойства отдельных систем не обязательно переходят без изменений к объединенным системам. В частности, для двух систем, полностью наблюдаемых и управляемых, их последовательное соединение: о не является полностью наблюдаемым, если полюс первой системы совпадает с нулем второй системы (компенсация полюса нулем); о не является определяемым, если компенсация полюса нулем связана с неустойчивым полюсом; о не является полностью управляемым, если нуль первой системы совпадает с полюсом второй системы (компенсация нуля полюсом) и о не является стабилизируемым, если компенсация нуля полюсом связана с неминимально-фазовым нулем.
° Эта глава дает основание для критерия проектирования, который гласит, что никогда нельзя пытаться компенсировать неустойчивые полюсы и нули. 17.11. Литература для посиедующего чтения Линейные модели пространства состояний 1. С!теп, С-Т. (1984). Гает.адис!топ Со йтпеат Яузгегл Тавоту. Но!С, ВлпеЬагС апд %шзСоп. 2. Ка!1аШ, Т. (1980). Ыпеаг Яуыепм. Ргепйсе-На11, Епя1етчоод С!ИЬ, Х.Л. 3. 08аса, К.
(1967). Я!все Яраса Апа1узтз о? Сап!го! Яузсептз. Ргепс!се-На!1, Епа!етчоод С1Нв, Н.Л. 528 Глава 17. Линейные модели пространства состояний 4. ВояепЪгос!г, Н. (1970), Я!а!е Ярасе апА Мий!иаг!аЫе ТЬеогу. байеу, !т!етт Уог1с. 5. ВсЬп!сг, В. апй Ме1яа, 3. (1967). Я!а!с РЬпсг!оп апд рйпеаг Сон!го! Яуз1етз. МсОгатт-НИ1, !т!етз Уог!г. 6. %!Ьегй, В. (1971). Тйеогу ат! РгоЫетз о7 Я!аге Ярасе апА й!пеаг Яуз!етз. МсСгатт-НИ1, !т!етт Уог!г. Полюсы и нули 1. Вгос!гесс, В.. (1965).
Ро1ев, гегоз, ап4 !ест!Ьас1с: Игасе врасе !псегргесас!оп. ГЕЕЕ 7гапзасбопз оп Аи!отпанс Сои!го!, 10:129-135, Арй!. 2. КМ!аСЬ, Т. (1980). ТАпеаг Яузгетз. Ргепс!се-НаИ, Еп8!етзоод СИКв, Н.3. Наблюдатели 1. Ктта!гегпвв1с, Н. апй 8!тап, В.. (1972). 7!пеаг Орнта! Сон!го! Яузгепм. 'тт'Иеу1пгегзс!епсе, Нетг Уог1с. (Имеется русский перевод: Кваркернаак Х., Синан Р. Линейные оптимальные системы управления. — Мл Мир, 1977.] 2. ЬпепЬегйег, В.
(1964). ОЬзегт!п8 сЬе вФасе о! а Ипеаг вуясегп. 1ЕЕЕ 7!ттпз. Мйгагу Е!есгг., 8:74-80. 3. 1лепЬегйег, В. (1971). Ап !псгот!пег!оп Фо оЪяегтегв. 1ЕЕЕ 7!апзас!!опз оп Аи1отанс Сои!го!, 16(6):596-602. 17.12. Задачи для читателя Задача 17.1. Рассмотрим следующие дифференциальные уравнения, описывающие отношения входа и выхода: Азу(!) Ф(!) +4 +5У(!) =2и(!) (17.12.1) ,!зу(!) з 2У(!) "(!) г!2у(!) г!У(!) йл(!) с!!в с!! — 4 — + Зу(!) = — + 2и(!) с(! (17.12.3) с(з (!) т!У(!) т!зи(!) Ии(!) — + 4 — + 5У(!) = — — + — + 2и(!) (17.12.4) ьт!г,(! ,!1г,!! Для каждого случая постройте модель пространства состояний. (17.12,2) Управляемость, наблюдаемость и канонические формы 1.
ОИЬегг, Е.О. (1963). СопсгойаЫИсу ап6 оЬвегтаЫИсу ш ишь!ивх!аЫе сового! вувзетпз. Я1АМ зоигпа! о/ Соп!го! апг! Орг!т!забои, 1:128-151. 2. Кв11аФЬ, Т. (1980). Етеаг Яуз!ета Ргепг!се-Най, Еп8!еттоот! СИ!Гз, !т!.3. 3. Ка!шап, В.Е., Но, У.С., апй Нагепт!га, К.Я. (1962). СопзгойаЫИсу о! Ипеаг т!упаш!са! вувсешя. Соп1Пб. Рог. Еуианотм, 1(2):189-213. 4. 1 пепЬегйег, В. (1967). Сапоп!са1 !огшя !ог Ипевх пш!1!тат!аЫе вувсешя. 1ЕЕЕ Тгапзасг!опз оп Аиготанс Сон!го!, 12(6):290-293. 17.12. Задачи для читателя 529 Задача 17.2. Постройте модель пространства состояний для системы, имеющей переходную характеристику у($) = 2 — Зе т+е 1 — 1е ' (17.12.5) Задача 17.3. Постройте модель пространства состояний для систем со следующими передаточными функциями: за(з — 0.8) Задача 17.4. Рассмотрим контур управления с одной степенью сво- боды, включающий регулятор С(з) и номинальную модель объекта Се(з).
Модели пространства состояний для объекта и регулятора— (Ае>Ве,Се,О) и (А„Ве,С„11 ) соответственно. 17.4.1. Докажите, что для бисобственного регулятора необходимым и достаточным условием будет то, что 1З, является ненулевой скалярной величиной. 17.4.2. Постройте модель пространства состояний для всего контура, рассматривая эталонный сигнал как вход, выходной сигнал объекта как выход объединенной системы.
Задача 17.5. Непрерывная система имеет модель пространства состо- яний А=~ ~; а=[] (17.12.6) (17.12. 7) 'О=О 17.5.1. Вычислите передаточную функцию системы. 17.5.2. Проверьте, что при е -+ 0 передаточная функция приближается к условию компенсации полюса и нуля. Интерпретируйте это в терминах управляемости. 17.5.3. Придумайте подобный пример относительно наблюдаемости.
9 зе+4з+9 -з+8 (з+ 2)(з+ 3) з — 0.5 д) е) (з + 0.5)(з — 0.4) ( — + 2) -з+4 з+4 0.4 530 Глава 17. Линейные модели пространства состояний (17.12.8) (17.12.9) С=[1 О]; 17.6.1. Определите, устойчива ли система. 17.6.2. Вычислите передаточную функцию. 17.6.3. Исследуйте свойства системы (управляемость, стабилизируемость, наблюдаемость и определяемость). Задача 17.7. Дискретная система имеет модель входа-выхода в виде агу[/с]+ 55у[к]+ бу[к] = да[к] + тт[к] (17.12.10) Постройте модель пространства состояний.
Задача 17.8. Рассмотрим описание пространства состояний (А, В, С,11), где В = О, Р = О. 17.8.1. Определите пару матриц А и С и начальные условия х(0) такие, что у($) = 5, ~й > О. 17.8.2. Повторите зто для у(т) = — 3+ 2в1п(0.51+ х/3). 17.8.3. Попытайтесь обобщить задачу. Задача 17.9. Рассмотрим систему в виде последовательного соедине- ния злементов, представленную на рис.
17.3. Предположим, что переда- точные функции равны Сг(в) = г (17.12.11) 2(в — 1) вг+4в+9 2в+ 3 (в — 1)(в + 5) ' Докажите, что на выходе подсистемы 1 имеется неограниченная составляющая е', которая не может быть определена на выходе объединенной системы (т. е. на выходе подсистемы 2). Задача 17.10. Рассмотрим ту же систему, изображенную на рис. 17.3. Предположим, что теперь подсистемы соединены в обратном порядке: 2(в — 1) 2в+ 3 вг+ 4в+ 9' (в — 1)(в+ 5) Докажите, что для ненулевых начальных условий выход подсистемы 2 содержит неограниченную составляющую, на которую не воздействует вход тт(т) всей системы в целом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
