Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Наблюдатели 539 Насос 1 Рис. 18.1. Схематическое изображение двух соединенных резервуаров — = — (Ж) — Утг(1)) <Ь1(г) 1 й А (18.3.17) Аналогично Ьг(1) описывается уравнением (18.3.18) Скорость жидкости между двумя резервуарами может бытпь примерно описана скоростью свободного падения для разности высот воды между двумя резервуарами: уис=оат(а 6-~ь ои (18.3.19) Далее, если мы измеряем высоты жидкости в резервуарах в процентпах (где 0% — пустпой, а 100% — полный резервуар), то можем преобразовать скорости потпока в эквивалентные величины в процентах в секунду (где у1($) — эквивалентный поток в резервуар 1, а тг(1)— эквивалентный потпок вытекания из резервуара 2).
Тогда модель для системы будет иметь вид — + ~ ( () )(18,3.20) Зная эту информацию, нужно сформировать виртуальный датчик (или наблюдатель), чтпобы восстпанавливать значение высоты жидкости в резервуаре 1 в зависимости от измерений высотпы жидкости в резервуаре 2 и скоростей у1($) и Л($). Прежде чем мы продолжим проектирование наблюдателя, сначала сформируем модель системы. Высота жидкости в резервуаре 1 может быть описана уравнением $40 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состояний где К = — = 0.26 ~/2д А (18.3.21) линеаризовать модель относитпельно наминальной разности высот (или рабочей точки).
Пустпь Ь1(1) — Ьг(8) = тлЬ(Ф) = Н+ Ьз(Ф) (18.3.22) Мы можем установивтиейся Тогда к,/цд -' ь я = к~тдь =к,/и-,ь\л = к Гн ь" (') + КГН 1+ (18.3.23) потпому что Я+с 1+— 2 (18.3.24) и тпогда кГн 1+ — ~ =кГн+ — ь,(1) Ьз(8) 1 К 2Н / 2,/Н Х =К /Н+ (Ь,(1) -Ьг(1) -Н) 21/Н К К = ктГН+ (Ь1(ь) ьг(1)) 2тГН 21ГН К1ГН К = — + (Ь И)-Ь (8)) 2 2ъ/Н (18.3.25) Это приводит к следующей линейной модели Ж Ьг(~) Ь вЂ” Ь Ьг(1) 0 — 1 Яг) + д~~ где (18.3.28) Ь=— К 2тГН (18.3.27) Предположим, что высота Ьг(Ф) можетп бьппь измерена, а Ьт($)— нет; тпогда мы зададим С = (О 1] и Р = 10 О]. Окончательнаа система являетпся и управляемой, и наблюдаемой (чтпо легко проверить).
Далее нам нужно спроектпировать наблюдатель 18.4. Объединение обратной связи по переменным состояния с наблюдателем $41 чтобы оценивать значение Ьз($). Очевидно, что характеристический полинам наблюдателя имеет вид зз+ (2й+,Уз)з+.Угй+,71й (18.3.29) так чтпо мы можем выбрать полюсы наблюдателя; этот выбор дает нам значения для,71 и,Уз. Если мы предположи.м, что рабочая тпочка Н = 10%, то й = 0.0411. Если мы хотим иметь полюсы при з = — 0.9291 и з = — 0.0531, то можно вычислить, что .71 = 0.3 и,У~ = 0.9.
Если же нам нужно иметь два полюса при з = — 2, тпо .Уз = 3.9178 и .Ут = 93.41. Окончатпельно уравнение наблюдателя будет иметпь вид ,ц Ьр~ й -й Ь(1) + 0 -1 ку'и + (18.3.30) ОПП Заметим, что этот наблюдатель позволяет нам оценивать высоту Ьт(т), используя измерения Ьз(1) и значения скоростей ЯФ) и Уз(Ф). Таким образом, он является виртуальным датчиком для Ь1(1). Читатель может в интерактивном режиме поэкспериментировать с этим наблюдателем на ттеЬ-странице книги.
18.4. Объединение обратной связи по переменным состояния с наблюдателем Разумный вывод, являющийся результатом последних двух разделов, заключается в том, что неплохо при наличии неизмеряемых переменных состояния перейти к их восстановлению с помощью наблюдателя, а затем завершить стратегию управления с помощью обратной связи, используя эти восстановленные значения вместо истинных значений переменных.
Такая стратегия, действительно, очень привлекательна, потому что она отделяет задачу проектирования наблюдателя от проектирования самого регулятора. Априорно однако неясно, как взаимодействуют полюсы наблюдателя и обратная связь по состоянию. Неясно также, как они затрагивают замкнутый контур. Следующая теорема показывает, что полюсы замкнутого контура являются комбинацией полюсов наблюдателя и полюсов обратной связи по состоянию. Теорема 18.1 (Теорема разделения).
Рассмотрим модель пространства состояний (18.3.1)-(18.3.2) и предположим, что она полностью управляема и полностьто наблюдаема. Рассмотрим также свя- $42 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состояний занный с ней наблюдатель вида (18.3.3) и обратную связь по состоянию вида (18.2.3) и($) = г(8) — Кх(8) (18.4.1) К й [а, й, ... Ю„ ,] (18.4.2) Тогда 1. Полюсы замккутпого контпура представляют собой комбинацию полюсов наблюдателя и полюсов, которые получались бы при использовании той же самой обратпной связи при истинных значениях переменных состояния, а конкретно, полинам замкнутого контпура А,т(з) имеет вид Аст(з) =т1е$(з1 — А +В К)деФ(з1 — А +ЛС ) (18.4.3) 2. Ошибка восстановленного состояния х(1) не может управляться вкешним сигналом б(8). Доказательство 1) Из леммы 18.4 следует, что х($), х($) и х(с) удовлетворяют уравнениям хз(8) = (Ао — ЛСо)х(г) (18.4.4) х Я = А х($) + Во[у(г) — Кх(г)] (18.4.5) = Аох(1) + Во[у(г) — К(х(г) — х($))] (18.4.6) Уравнения (18.4.4) и (18.4.6) могут быть записаны совместно следующим образом: () о о о х() + о -(8) (1847) Результат следует из того, что собственные значения блочной тпреугольной матрицы совпадаютп с комбинацией собственных значений диагональных блоков.
2) Структура уравнения (18.4.7) сразу же дает, что ошибкой восстпановленного состояния х(г) нельзя управлять с помощью внешнего сигнала т(с), что легко проверить, используя матрицу управляемости. Это замечание говорит о том, что ошибка восстановленного состояния не может быть улучшена, используя для этого величину т(с). ППП 18.5. Интерпретации передаточной Функции 543 Эта теорема отмечает положительные моменты использования обратной связи по восстановленному состоянию. Однако следует предостеречь читателя о том, что расположение полюсов замкнутого контура является только одним среди многих других факторов, которые должны учитываться при проектировании системы управления.
Действительно, как мы увидим позже, обратная связь по восстановленному состоянию — не панацея, потому что и здесь будут те же самые проблемы чувствительности к возмущениям, ошибкам модели и т. д., как и для всех случаев обратной связи. Оказывается, что все схемы, по существу, идентичны. Эти связи — предмет следующего раздела.
18.5. Интерпретации передаточной функции В материале, представленном выше, мы разработали, казалось бы, новый подход к синтезу линейных 8180-систем управления. Это могло заставить читателя задуматься, какова связь между этим подходом и идеями передаточной функции, рассмотренными ранее в гл. 7. Далее мы покажем, что эти два метода — фактически различные пути выражения одного и того же.
18.5.1. Передаточная функция наблюдателя Сначала дадим интерпретацию передаточной функции наблюдателя. Вспомним из (18.3.3), что наблюдатель пространства состояний имеет форму Е(т) =А х(т)+В и(г)+Л(у(1) — С х($)) (18.5.1) где Л вЂ” усиление наблюдателя, а х(т) — восстановленное состояние. Интерпретация передаточной функции этого наблюдателя дается следующей леммой: Лемма 18.5. Преобразование Лапласа восстановленного состояния (18.5.1) обладаетп следующими свойстпвами: а) Оно может быть выражено в виде передаточной функции Х(з) = (з1- Ао+ ЛСо) ~(ВоУ(з) + ЛУ(з)) = Тт(з)У(з) +Тг(з)У(з) (18.5.2) где Тт(з) и Тг(з) — следующие две устойчивые передаточные функции: Тт(з) = (з1 — Ао+ЛСо) ~Во (18 5 3) Тг(з) = (з1 — А + ЛСо) ~о (18.5.4) 544 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состовний Заметим, что Тт(з) и Тг(з) имеют общий знаменатель Е(з) =т1еЦз1 — А +ЛС ) (18.5.5) где Го(з) — вектор полинома, где коэффициентом линейно зависят от начальных условий ошибки х(ь).
в) Восстановленное состояние не смещено в тпом смысле, что Тт(з) + Та(з)Со(з) = (з1 — Ао) Во (18.5.7) где 0 (з) — номинальная модель объекта. Доказательство а) Уравнение (18.5.2) получается непосредственным применением преобразования Лапласа к уравнению (18.5.1) и использованием определений Т1(з) и Тг(з). Предполагаются нулевые начальные условия. б) Уравнение (18.5.6) получим из Х(з) = Х(з) — Х(з) (18.5.8) используя тот факт, что Х(з) = (з1 — Ао) ~В 1Г(з), а также используя уравнение (18.4.7), чтобы найти выражение для Х(з). в) Используя тот факт, что С,(з) = С (з1 — А ) тВо и уравнения (18.5.3) и (18.5.4), мы видим, что Тт(з) +Та(з)С'о(з) = (з1 — Ао+ ЛСо) (Во+ ЛСо(з1 — Ао) Во) (18.5.9) = (з1 — Ао+ЛСо) '(з1 — Ао+ЛСо)(з1 — Ао) Во (18.5.10) откуда следует результиат.
ПП0 Часть б) этой леммы известна как свойство асимптпотпической несмещенности оценки. Она показывает, что передаточная функция от о' до Х совпадает с передаточной функцией от У до Х. Таким образом, единственное различие (после того, как затухнут переходные процессы) между истинным состоянием и восстановленным состоянием состоит в эффектах, которые мы еще не включили (например, шум, возмущения и ошибки модели). б) Восстаановленное состояние по отношению ко входу и начальным условиям имеетп вид Х(з) = (з1 — А ) ВоУ(з) —— Уо(з) Е(з) (18.5.6) 18.5.
Интерпретации передаточной функции 545 Далее даддм интерпретацию в виде передаточной функции для взаимо- связи наблюдателя с обратной связью по состоянию, как было сделано в разд. 18.4. Основной результат дается следующей леммой. Лемма 18.6. а) Закон обратной связи по восстановленному состоянию может бытпь выражен в виде передаточной функции следуютцим образом: — У( ) =- — У( )+Ж ) Цв) Р(з) Е(з) Е(в) (18.5.11) где К вЂ” усиление обратной связи и Л вЂ” усиление наблюдателя. б) Характеристический полинам замкнутого контура равен Ам(в) = т(е$(в1 — А + В К) т(е~(з1 — Ао+ ЛСо) (18.5.15) = Р(в)Е(з) = А,(з)Цв) + В,(в)Р(в) (18.5.16) 1 (в) Во(з)Е(в) (18.5.17) где В (в) и А„(з) — числитель и знаменатель номинального контура соответственно.
Р(в) и Ь(в) — полиномы, опредааенные в (18.5.12) и (18.5.13) соответственно. Р(в) — полинам, определенный в (18.2.16). 18.5.2. Передаточная функция обратной связи по оценкам переменных состояния где .Е(в) — полинам, определенный в (18.5.5) и Цз) т(еФ(в1 — Ао + 3 Со + В„К) Р(з) КАт(7'(з1 — Ао)Л Е(в) Е(з) — =К[з1-А +ЛСо+ВоК] Л Р(з) Ь(з) в) Передаточная функция от В(в) до У(в) равна В(в) А,(в)Ь(з) + В (з)Р(в) В,(з) с1ес(в1 — А„+ В„К) Вр(з) Г(з) (18.5.12) (18.5.13) (18.5.14) $46 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состояний Доказательство а) Подставляя (18.5.2) в (18.4.1), получим ц ) = — К(т (в)1Г( )+т ( )1'( ))+В(в) е=ь (1+КТ1(з))У(в) = — Ктг(в)У(в)+В(в) (18.5.18) Далее заметпим, что 1+К(в1 — А +ЛС„) ~В =дев(1+(в1 — А„+ЛС„) ~В„К) (18.5.19) =дев([з1-Ае+ЛСе] ~(в1 — А„+ЛС„+В„К)) (18.5.20) (18.5.21) КАф(з1 Ао+ЛСо)Л =КАд1(в1 — Ао)Л где выражение (18.5.21) было получено, используя лемму 18.3.
Наконец, тпребуемый результпат получается после двукратного применения леммы 18.3, которое дает КАф(в1- Ао)Л = КАд1(з1- Ае+ ЛСо+ ВпК)Л (18 5 22) б) Используя (18.4.3), полинам замкнутого контура получим в виде Аы(в) = бей(з1 — А +В К)с1ей(в1 — А +ЛС ) (18.5.23) = Р(в)Е(з) =А,(з)Цв)+В,(в)Р(в) (18.5.24) в) Из уравнения (18.5.11) и номинальной модели С„(в) = В,(в)/Ав(в) следует У(з) ВДв)Е(в) В(з) А,(з)Цв)+В,(з)Р(в) Отпсюда искомый результат получается, если использовать (18.5.16) для упрощения выражения (18.5.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
