Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Технически зта возможность называется управляемостью или достижимостью. Тесно связанная с этим — проблема стабилизируемости. Начнем с управляемости. 508 Глава 17. Линейные модели пространства состояний Определение 17.2. Говорят, что состояние х ~ 0 достпижимо (из начала координата), если для х(О) = 0 существуетп конечный интпервал времени [О,Т] и вход (и(с),с Е [О,Т]) тпакой, что х(Т) = х.
Если все состпояния достижимы, то говорятп, что система полностью достижима. ППП х[к+1] =0 (17.6.1) Эта система, очевидно, полностью управлягмат состояние немед- пенно переходит в начало координат. Однако никакое состояние, отпличное от нулевого, не достижимо. ППП Ввиду тонкого различия между управляемостью и достижимостью при дискретном времени, мы будем использовать термин «управляемость» для обозначения более сильного из этих двух понятий. Доказательства приведенных ниже результатов для дискретного случая выполнить немного легче.
Поэтому мы докажем результаты для следующей дискретной модели (в области дельта-оператора): Бх[й] = Азха]+ Вгик у[к] = СгХ[К] + 1»ги[к] (17.6.2) (17.6.3) где х Е Р',и Е й™ н у Е Г«'. Для упрощения обозначений мы опустим нижний индекс Б у матриц Аг, Вг, Сг и Рг в оставшейся части этого раздела. Наш следующий шаг — получить простую алгебраическую проверку управляемости, которую можно легко применить к данной модели пространства состояний. При получении этого результата мы будем использовать результат из линейной алгебры, известный как теорема Кали — Гамильтона.
Для удобства читателя, мы кратко рассмотрим этот результат. Теорема 17.1 (Теорема Кэли — Гамильтона). Каждая матприца удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению, тп. е, если де$(з1 — А) =зп+ап 1зп ~+ +ао А" + ап 1А" ~ + + ае1 = 0 (17.6.4) (17.6.5) Для непрерывных, стационарных, линейных систем нет никакого различия между полной управляемостью и полной достижимостью.
Однако следующий пример показывает, что имеетпся тонкое различие в дискретном случае. Рассмотрим следующую модель простпранстпва состпояний с использованием оператора сдвига: 17.6. Управляемость и стабилизируемость 509 Доказательство Пусть Аду(з1 — А) =Вози+Во-1з" '+" +Во где Аф означает присоединенную матрицу. Тогда [с1еФ(з1 — А)]1 = (Аф[з1 — А]) (з1 — А), так что мы имеем (з" +ап 1з" ~+ ° ° +ао)1= [Впз" +Вп-1з" 1+'''+Во) (з1 — А) (17.6.7) Во=О Вп-1 — 1 — Вп 1А+Вп з =а„11 — Вп-зА+ Вп-3 = а„г1 -В1А+Во =а11 — ВоА = ао1 (17.6.12) (17.6.13) Последовательно исключая матрицы В, получим (17.6.5).
ППП Вооруженные этим результатом, мы теперь можем легко установить следующее условие управляемости. Теорема 17.2. Рассмотрим модель простпранстпва состояний (17.6.2)- (17.6.3). 1) Мноокестпво всех управляемых состояний совпадает с простпрансивом значений матрицы управляемости Г [А,В], где Г,[А,В] = [В АВ АзВ ... Ап 1В) (17.6.14) 2) Модель полностью управляема тогда и только тпогда, когда Г,[А, В] имеетп максимальный стпрочный ранг. х[Ж~ = (1+ АЬ)~х[0]+ Ь ~ (1+ АЬ)' 1Ви[1У вЂ” 1] (17.6.15) т=1 и, следоватпельно, х[1У] = (1+ АЬ)ух[0]+ Ь [В АВ АзВ ... Ау 'В) Б с (17.6.16) Приравнивая коэффициенты, получим Доказательство Ретаением уравнения (17.6.2) является (17.6.8) (17.6.9) (17.6.10) (17.6.11) 510 Глава 17. Линейные модели пространства состояний где 1 1 1 О Ь1 2Ы О О Аг1 и[Лà — 1] и[И- 2] (17.6.17) О О О ...
А"-'1 и[О] А= 2 О, В= (17.6.18) Нужно проверить, является ли она полностью управляемой. Решение Матрица управляемостпи имеет вид Ге[А В] = [В, АВ] = (17.6.19) Ясно, что ранг Г [А,В] = 2; тпаким образом, система полностлью управляема. апа Пример 17.6. Нужно повтпоритпь тпе же исследования для модели А= 2 О' В= (17.6.20) Решение Ге[А, В] = [В, АВ] = (17.6.21) Ранг Ге[А,В] = 1 < 2; таким образом, система не является полностпью управляемой. Пс1с1 Замечание 17.3.
Хотя мы получили данный результата для дельта- модели, он будет справедлив и для модели с оператором сдвига, и для непрерывной модели. Замечание 17.4. Мы видим, чтпо управляемостпь — контрастная проблема: модель или полностью управляема, или нето. Ясно, что знание кое-чего о неуправляемости как таковой является ценной информацией. Однако знание об управляемости не дает нам ничего о степени управляемости, т. е. относительно тпрудности, которая могла Так как матприца Е невырожденная, результпатп следуетп из применения тпеоремы Коли — Гамильтона (тпеорема 17.1). ПГ1П Пример 17.6. Рассмотрим модель пространства состояний 17.6. Управляемость и стабилизируемость 511 бы быть встречена при достижение некоторой цели. Эта проблема лелсит в основе фундаментальных компромиссов проектирования си- стем управления, которые рассматривались в гл.
8 и 9. Замечание 17.5. Мы замечаем, что управляемость — свойство си- стемы, котаорое не зависитп от конкретного выбора переменных состо- яния. Это можно легко заметить из следующего: ° Рассмотрим преобразование, определяемое невырожденной матрицей Т, например, х(1) = Т 1х(1), что дает ° Из уравнений (17.6.22)-(17.6.25) видно, что Гс[А В] = Т Гс[А В] (17.6.26) и зто говорит о том, что Г,[ А,В ] и Г,[А,В] имеют одинаковый ранг. Если система не полностью управляема, ее можно разложить на управляемую и полностью неуправляемую подсистемы, как сказано ниже. Лемма 17.1. Рассмотрим систему, имеющую ранг (Г [А,В]) = 7с < и; тогда существует преобразование подобия Т, такое, что х = Т тх, А=Т ~АТ; В = Т-1В (17.6.27) и А,В имеют вид — Ас Атг (17.6.28) где А, имеет размерность 7с и система (А„Вс) полностью управляе- ма.
Доказательство Пусть Т1 — какой-нибудь базис в пространстпве значений Г . Выберем произвольную матрицу Тг, за исключением того, что Т = [Тт Тг] должна бьппь невырожденной. Определим т-' = [в'] (17.6.29) А = Т ~АТ А'=Т ~АТ В=Т ~В А'В = Т ~А'В (17.6.22) (17.6.23) (17.6.24) (17.6.25) 512 Глава 17. Линейные модели пространства состояний Тогда Т 1Т=1 дает 51Т,=1 В,Т,=О Я,тт=о Я,Т,=1 (17.6.3О) После использования выражений (17.6.27) преобразованная система будет иметь вид: (17.6,31) (17.6.32) Пулевые входы в (17.6.31) получаются потому, что значения В принадлежат пространству значений Г и ЯгТ1 = О. Аналогично, нулевые элементпы в (17.6.32) — следствие того, что столбцы АТ1 принадлежат простаранству значений Г, в соотпвстствии с теоремой Кэли — Гамильтона и чтпо ЯгТ1 = О.
Это доказывает (17.6.28). Кроме того, мы видим что =Т 1Гс[А В] (17.6.35) 0ПП Полученный результат имеет для управления важное значение. Чтобы оценить зто, выразим уравнения (преобразованные) состояния и выхода в расчлененной форме: б хо[я] Ас Атг [~] + 1)и[7с] (17.6.36) (17.6.37) У[ы! 1Сс Сне] Графическое представление этих уравнений показано на рис. 17.1. Уравнения (17.6.36), (17.6.37) и рис. 17.1 показывают, что нужно быть осторожным при управлении системой (или при проектировании регулятора с моделью, которая не полностью управляема), потому что выход имеет составляющую С„,хне[а], который не зависит от управляющего воздействия и[к].
Например, если х„с[й] неограниченно растет (одно или несколько собственных значений Апс — вне области устойчивости), то объект не может быть стабилизирован обратной связью, используя вход в=[']в=[' ] А= о1 А[Т Т ]= 81АТ1 Я1АТг АсВс " Ас" 'Вс~] ]Гс[Ас,Вс! Ас Вс Следовательно, гипс(Г,[А„В,!) = гап1с(Г,[А,В]) = к с *с[М хпс[й] хсИ хпс[й] А,"-'Вс О (17.6.33) (17.6.34) 17.6. Управляемость и стабиливируемость 513 Рис. 17.1.
Разложение на управляемую н неуправляемую части и[я]. Однако имеются ситуации, в которых преднамеренное использование моделей с подмножеством не подцающнхся управлению выходов является разумным — см. замечание 17.6. Определение 17.3. Управляемое подпространство модели простпранства состпояний представляет собой любую возможную линейную комбинацию состояний х,. Устойчивость этого подпространстпва определяется расположением собственных значений А,. Определение 17.4. Подпространство модели простпранстпва состояний, не поддающееся управлению, состоит из всех состояний, получаемых с помощью любой возможной линейной комбинации состояний х„,. Устпойчивостпь этого подпространстава определяется расположением собственных значений А„,.
Определение 17.5. Говорят, чтпо модель простпранства состаояний естабилизируемав, если его подпространство неуправляемых состояний устойчиво. Факт, который будет полезным в будущем, заключается в том, что если система, задаваемая уравнениями (17.6.2) и (17.6.3), является полностью управляемой, существуют преобразования подобия, которые переводят ее в специальную форму, называемую канонической формой. Это устанавливается следующими двумя леммами. Лемма 17.2. Рассмотрим полностью достижимую модель пространства состояний для 81ЯО-системы.
Тогда существует преобразование подобия, которое переводит модель простпранстпва состояний в следу- 514 Глава 17. Линейные модели пространства состояний ющую каноническую форму управляемостпи: О О ... О 1 О ... О О 1 ... О -сто — сед — стг в'= А'= (17.6.38) 0 0 ... 1 -ст„т где Л" + ттн 1Л„д + + стд Л + сто = т1е1(Л1 — А) — характперистический полинам А. — Стн-1 — тти-г " — Стт — Ств 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 Аи= Во= (17.6.41) где Л" + стн-1Ли 1+ ° ° ° + сттЛ+ оо = т1е1(Л1 — А) — характперистпический полинам А. Доказательство Используя (17.6.26) и свойство управляемости Б1БО-системы, заме- тим, чтпо сущестпвуетп единственное преобразование подобия, перево- Доказательство Сначала заметим, чтпо Г,[А',В'] = 1. Используя зтпот результпатп и уравнение (17.6.26), мы видим, что преобразование подобия обеспечивается матприцей Т = Г,[А,В].
Далее проверим, что этно преобразование даетп (17.6.38). Сравнивая первый столбец в обеих частях уравнения (17.6.26), мы видим, что тпакой выбор Т преобразует В в В', как указано в (17.6.38). Затем заметим, что Г,[А,В]А'= [АВ АгВ А" 1 — (сто1+сттА+ +стн 1Ан 1)В] (17.6.39) Применяя теорему Кэли — Гамильтона, мы имеем — (сто1+сттА+" + сти 1Ан 1) =А". Тогда Ге[Аз В]А' = АГс [Аз В] ь Ге[Аз В]А 1 с[Аз В] = А (17 6 40) чтпо завершает доказательстпво. ППП Лемма 17.3. Рассмотрим полностпью управляемую модель пространстпва состояний для Б1БО-системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
