Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Наконец, второе применение дуальности даетп вид, приведенный в ((17.7.14), (17.7.15)). ППП Определение 17.7. Наблюдаемое подпростаранство объекта предстпав- ляет собой любую возможную линейную комбинацию состояний х„. Устпойчивость этого надпространства определяется расположением собственных значений А„. 17.8. Каноническое разложение 521 17.8. Каноническое разложение Дальнейшее знакомство со структурой линейных динамических систем будет связано с предположением, что эти системы являются лишь частично наблюдаемыми или управляемыми. Эти системы могут быть разложены на полностью наблюдаемые и полностью управляемые системы.
Результаты двух лемм 17.1 и 17.4 могут быть объединены следующим образом. Теорема 17.5 (Теорема канонического разложения). Рассмотрим систему, описанную в форме пространстпва состояний. Тогда всегда существует преобразование подобия Т такое, что преобразованная модель для х=Т ~х имеет вид О Атз О Агг Агз Аг4 О Азз О О Азе А44 С=[С, О С, О~ (17.8.1) где 1) Подсистема [А,о,ВыСт] и полностью управляема, и полностью наблюдаема и имеет ту зсе передатпочную функцию, что и исходная систпема (см.
лемму 17.6). ~й —:,Тй' '~ полностью управляема. Г- й:Т'1 ~ -"~ (17.8.2) (17.8.3) полностью наблюдаема. Доказательство Является результатом лемм 17.1 и 17.4. ППП Каноническое разложение, описанное в теореме 17.5, приводит к лемме. Замечание 17.8. Заметим, что 1(17.7.4), (17.7.5)) является другим способом записи разностного уравнения и-го порядка. Непрерывный вариант ~(17.7.4), (17.7.5)) является другим способом записи диффе- ренциального уравнения и-го порядка.
$22 Глава 17. Линейные модели пространства состояний Лемма 17.6. Рассмотрим матрицу передаточных функций Н(з), определяемую выражением (17.8.4) У(з) = Н(з)У(з) Тогда Н = С(з1 — А) ~В+ О = Ст(з1 — А„) тВт + О где Ст, А„и Вт тпакие же, как и в уравнениях (17.8.1). (17.8.5) Замечание 17.9. Лемма 17.6 показывает, что неуправляемые и ненаблюдаемые части линейной системы не появляются в передаточной функции. Наоборот, учитывая передаточную функцию, возможно описать пространство состпояний, котпорое явллетпся и полностью управляемым и полностью наблюдаемым. Тогда мы говорим, что зто описание состояния — минимальная реализация передаточной функции. Как упоминалось ранее, неминимальные модели часто используются при проектпировании систем управления, чтобы включишь возмущения.
Замечание 17.10. Если М вЂ” любая квадратная матрица и мы обозначим через Л1М) множество собстпвенных значений М, тогда Л(А) = Л(Асо) 0 Л(Азз) 0 Л(Азз) 0 Л(А44) (17.8.6) где Л(А) собственные значения системы, Л(А, ) собственные значения управляемой и наблюдаемой подсистемы, Л(Агг) собственные значения управллемой, но ненаблюдаемой подсистаемы, Л(Азз) собстпвенные значения неуправляемой, но наблюдаемой подсистпамы, Л(Аы) собстпвенные значения неуправляемой и ненаблюдаемой подсисптемы. Хотя определение свойств системы отпносится к состояниям конкретных подсистем, общепринято использовать шу же самую терминологию для собстпвенных значений и собственных движений, связанных с эшими подсистемами. Например, если управляемая, но ненаблюдаемая непрерывная подсистема имеет два различных собственных значения Ла и Лы то обычно говорятп, что двиэсения е" т и е"'т, а также собственные значения Л и Ла управляемы, но ненаблюдаемы.
Замечание 17.11. Мы видим, что управллемость для данной системы зависит от структуры входных портпов: точек, где в системе приложены воздействующие входные сигналы. Таким образом, состояния данной подсистемы могутп бытпь неуправляемыми для одного данного Доказательство Вытекает непосредственно из определений матриц и использования формулы инверсии для треугольных блочных матриц. ППП 17.9. Компенсация нулей и полюсов и свойства системы 523 17.9. Компенсация нулей и полюсов и свойства системы Свойства системы, описанные в предыдущих разделах, также глубоко связаны с проблемами компенсации нулей и полюсов.
Эта проблема была рассмотрена в гл. 15 (в частности, см. замечание 15.4), когда мы сделали различие между аналитической (или точной) компенсацией и компенсацией при реализации. Чтобы облегчить последующее рассмотрение, мы введем следующий тест, который будет полезен для изучения проблем управляемости и наблюдаемости.
Лемма 17.7 (РВН-тест, тест предполагаемого местонахожде- ния). Рассмотрим модель пространстпва состояний (А,В, С). 1) Систпема не является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда существуют ненулевой вектаор х е С" и скалярная величина Л Е С, такие, что (17.9.1) Ах=Лх Сх=О 2) Система не является полностью управляемой тогда и тполько тогда, когда существуют ненулевой вектор х Е Сп и скалярная величина Л Е С, такие, что тА = Лх~ х В=О (17.9.2) входа, но полностью управляемыми для другого. Эшо различие и.меет фундаментальное значение при проектировании систем управления, потому что не все входы обвекта могут (рассмотрим, например, возмущения) перевестпи обвект в заданное состпояние. Точно так же свойство наблюдаемости зависит отп тиого, какие выходы рассматриваются. Некоторые состояния могут быть ненаблюдаемы из одного выхода, но они могутп быть полностью наблюдаемы из некоторого другого выхода.
Это также имеет существенное влилние на систпемы управления с обратной связью по выходу, потому что некоторые состпояния могут не проявиться на выходе обвектпа, чтобы их можно было измерить и подашь через обратную связь. Однатсо они могут проявляться во внутренних критических переменных и таким образом бытпь важными длл задачи управления. 524 Глава 17. Линейные модели пространства состовний Доказательство 1) Тогда: Данные условия подрав умеваютп С СА (17.9.3) х = О СА" ' Это означает, чтпо система не полностью наблюдаема. Только тпогдат Предположим, что система не полностпью наблюдаема. Тогда она может быть разложена, как показано в 1'(17.7,12), (17.7.13)).
Далее выберем Л, равное собственному значению Алв и определим =й (17.9.4) где х„о Ф О вЂ” собственный вектор А„„соответствуюитий Л. Ясно, что мы тпогда имеем (17.9.5) Гс. о1[ ~=о (17.9.б) 2) Доказательство аналогично 1), но используются свойства управляемости. 0ПП а) полюс системы в точке д не наблюдаем со стороны у и б) полюс системы в точке ст не управляем со стороны и. Чтобы установить это, мы заметим, что объединенная модель имеет описание в пространстве состояний [Вс, А[' [о]' (17.9.7) Далее используем полученные результаты для изучения свойств каскадных систем.
Рассмотрим структуру, состоящую из последовательно соединенных подсистем, изображенную на рис. 17.3. Предположим, что и(1),иг($),ут(1),у($) Е 2, обе подсистемы минимальные (см. ргзд. 17.8) и что подсистема 1 имеет нуль в точке о н полюс в точке д, подсистема 2 имеет полюс в точке а н нуль в точке р. Тогда объединенная модель обладает следующими свойствами: 17.9. компенсация нулей и полюсов и свойства системы 525 Подсистема 2 Подсистема 1 тд2($)=уд(д) Рис. 17.3.
Компенсация нулей н полндсов Для доказательства а), допустим, что Л = 13 и выберем параметр х ф О, определяемый следующим образом: [т т]т 0 = (Ад — р1) хд х2 = ф1 — А2) 'В2Сдхд Тогда ясно, что (17.9.11) = С2 ф1 — А2) В2Сдхд = 0 потому что д9 является нулем подсистемы 2. Аналогично из ((17.9.8), (17.9.10)) [В С, А] [ щ] [ ] (17.9.12) Таким образом, используя лемму 17.7, мы делаем вывод, что составная система не является полностью наблюдаемой. Часть б) доказывается аналогично, если выбрать параметр х следующим образом: х~= [хд х2] О =х2 (ст1 — А2) х, =х2В2Сд(а1 — Ад) ' (17.9.13) Тогда =х2В2Сд(ст1 — Ад)Вд =0 = ст[Хд Х2] Таким образом, используя лемму 17.7, можно утверждать, что составная система не является полностью управляемой.
ППП хд — — Адхд+Вдтд уд=Сдхд [Хд Х2] ~[В С А] Х2=А2Х2+В2И2 у=С2Х2 (17.9.8) (17.9.9) (17.9.10) (17.9.14) (17.9.15) 526 Глава 17. Линейные модели пространства состояний 17.10. Резюме непрерывные системы х($) = Ах($) + Ви(Ф) у($) = Сх(Ф) + Отт(Ф) (17.10.1) (17.10.2) дискретные системы в форме оператора сдвига х[й + 1] = Адх[й] + Ветт[й] у[й] = Сех[й]+ Ретт[й] (17.10.3) (17.10.4) дискретные системы в дельта-форме бх[й] = Аях[й]+ Ваи[й] у[й] = Сах[й]+ Реи[й] (17.10.6) (17.10.6) ° Устойчивость и собственные характеристики системы могут быть изучены на основании собственных значений матрицы А (Ае, Аа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
