Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 79
Текст из файла (страница 79)
16.3.3, может быть расширена, чтобы включить интегрирующие свойства. Считая, что ч обеспечивает это свойство, окончательный регулятор будет обладать такими характеристиками, если ф имеет вид О(з) = О'(з) (16.3.25) г де функция ф — строго собственная (см. лемму 15.2). Существует ряд способов преодолеть это ограничение. Сравнительно простой путь — воспользоваться замечанием 16.5, изменив функцию стоимости на 7~ . г тйо (16.3.26) р Е~~уу2(1«з)~ ~82(гот) оо(уто)~ ) (.ю~г Лемма 16.5. Предположим, что 1) 0 — строго собственная функция, не имеющая нулей на мнимой оси и 2) Е(0,(тто)С,( — гю)у имеет спектральное разложение, приведенное в (16.3.3).
Тогда сг(з)сг(-з)Я„(з)Яо( — з) + С,(з)0,( — з) имеет спектральную плотность, котпорую обозначим через Н и сг(з)ст(-з)оо(з)оо( з)Чо(з) аг6 ппп У = — х устойчивая часть щз)ез ~з зН(-з) (16.3.27) Доказательство Во-первых, существование Н следует из леммы 16.4. Во-вторых, используя (16.3.25), мы имеем У= Г Н( )Ф( ) Ф(")А("И'а(") '. ст'( )АО П'Р.О )Г ( а'( )АО 4' Ы )' ~ !Н(7' )!' Из предположения, чтпо С обладаетп интегрирующими свойстпвами, следует, что Я имеет нуль в начале координат и потпому, что а(з)сг(-з)Я (з)Я ( — з)Я,(з)Я,(-з) ( а(з)ст( — з)Я,(з)Я,( — з) — зг \, Н(з) Н( — з) 16.3.
Проектирование робастной системы управления 483 имеет по крайней мере относительную стпепень, равную двум, второе слагаемое в предтидущем интеграле ограничено. Это слагаемое не зависит отп Чт, поэтому мм можем минимизироватпь функцию стоимости, минимизируя первое слагаемое в правой части выражения, а именно, Н вЂ” спектральная плотностпь, тпак что 1т = Н не имеетп нулей на мнимой оси и может не рассматриваться. Это также означает, что Ит не имеет полюсов на мнимой оси.
В соответпствии с леммой 16.2 оптимальное значение 1Е" Е Я'таоо равно 1 ст(з)О( з)8о(з)Во( зло(з) — — х устойчивая частпь ~ ) (16.3.29) Н(з) зН(-з) Ит — строго собственная функция, откуда следует, что 1ет тпакже строго собственная и, следовательно, 4(з) = зцт(з) — собственная функция, что и требовалось доказать. 16.3.$. Простой пример Рассмотрим систему первого порядка, имеющую постоянную дисперсию для ошибки модели в частотной области: т з+1 1 т,э+ 1 тотз+ 1 тот з стг(ат) =' е ) 0 Чат Заметим, что выбор постоянного значения ст является аппроксимацией случая, когда идентификация выполнена посредством модели с ограниченной импульсной характеристикой при входном сигнале в виде белого шума и таким же возмущением.
! т о(з)«(-з)Во(з)Во(-з)~о(з) зН( — з) (16.3.30) (16.3.31) (16.3.32) (16.3.33) 484 Глава 16. Проектирование систем управления на основе оптимизации а) Случай без ограничения, связанного с интегрирующими свойствами В этом случае, используя ат и аг, являющиеся подходящими функциями от т„тот и в, мы можем, записать е( — тгзг) ~(~) ~(-~)— 1 т (1+в)в +ет, т з (1 — тгзг)(1 — тг зг) (1 +,/агз)(1 +,/агз)(1 — т/атв)(1 — т/аггз) (1+ т,в) (1+ твв) (1 — т,в) (1 — твв) Тогда существуют Аг, Аг, Аз и А4, также подходящие функции от т„ты и е, такие, что ст(з)ст( — )о',(з)о ( — ) (1.
— ТоВ)(1 — Тс1З) С( — Т~З )(1+ТоВ) Н(-в) Яо(в)— (1 — т/агв)(1 —,/агз) (1 — тыв)(1+ тиз) 2 =Ао+ + + + (16335) Ат Аг Аз 1 — 1/атз 1 —,,/агз (1+тс1З) 1+твз Оптимальное значение Я тогда будет иметь вид: (1+ тоз)(1+ Тсгз) ~А, + Аз А4 1 (16.3.36) (1+ /атв)(1+,/аггз) 1 (1+ тмв) 1+ тс1зг Чтобы проверить этот пример количественно, возьмем т, = 1, ти = 0.5 и е = 0.4.
Тогда из (16.3.34)-(16.3.36) получим оптимальную функцию Ч в виде 0 316зз+1 072зг+1 285В+0 529 0 158вз + 0 812вг + 1 491З + 1 00 Интересно исследовать, как эта оптимальная функция Я влияет на уменьшение функции потерь (16.3.14). Если Щз) = О, тогда у ~~( )д( )~2 а если оптимальное значение Я дано выражением (16.3.37), то общая ошибка равна 7 = 4.9, которая включает ошибку смещения математического ожидания, равную (С,Цю)ф(уст)|~пот = 4.2 16.3.
Проектирование робастной системы управления 485 а ошибка от дисперсии равна б) Случай при наличии ограничения, связанного с интегрирующими свойствами Следуя разд. 16.3.4, запишем гт(з)ст( в)оо(в)оо( 3) (1 тоз)(1 теть) е( т ~з)(1+ тоз) Н( — з) ' (1 —,„/о|в)(1 — /агав) (1 — тыз)(1+теть)г Я,(з)— в + Вг + Вь В4 + 1 —,,/отв 1 — /агав (1+ тмь)г 1+ тнз Тогда из (16.3.25) и леммы 16.5 оптимальное значение 4) дается формулой -() ( + ° Н1+ мв) Вь В4 ( ) (1+,/отз)(1+ /огв) ~(1+тнь)г 1+таз~ Для того же набора параметров процесса, что и раньше, мы получим формулу оптимальной функции Я в виде з(0.184вг + 0.411в + 0.227) 0 158вз + 0 812вг + 1 491в+ 1 00 (16.3.39) и функция Я для реализации регулятора просто равна (0.265з + 1) (з + 1) 0.316зг + 0.991з + 1 (16.3.40) в) Результаты моделирования замкнутых систем Для тех же самых параметров процесса, что и выше, мы далее исследуем, как робастный регулятор, данный выражением (16.3.40), может Заметим, что полюс разомкнутого контура при — 1 был скомпенсирован.
Если это нежелательно (из-за соображений, связанных с входным возмущением), то следует применить предложение, сделанное в замечании 16.12. Для этого примера, если Я = О, то функция потерь, приведенная в (16.3.26), дает У = 1.4. Используя оптимальную функцию Я, определяемую выражением (16.3.39), полная ошибка уменьшается до У = 0.94, где составляющая ошибки от смещения матпематпическозо ожидания равна 0.22 и составляющая ошибки от дисперсия — 0.72. 486 Глава 1о. Проектирование систем управления на основе оптимизации й и о„ ',я, -о.о зйа о.а -оз о о т оо оа о.а 1 со ьо деяствительнвя ось Рис.
16.1. Частотная характеристика объекта: случай 1 (сплошная линия); случай 2 (штрнховая линия); случай 3 (точечная линия)) справиться с неопределенностью объекта, моделируя реакции замкну- того контура с различными процессами и сравнивая результаты для случаев, когда используется Я, вида (16.3.31). Выберем следующие три различных объекта. Случай 1 1 сот(з) = — = 0,(з) з+1 (16.3.41) Случай 2 1 3е-е.за аз(з) 0 1 0.5з+1 (16.3.42) Случай 3 суз (з)— 0.5 0.5з+ 1 (16.3.43) Частотные характеристики этих трех объектов показаны на рис. 16.1; они — в пределах статистических доверительных границ, центрированных относительно С,(уот) и имеющих стандартное отклонение т/0.4.
Заметим, что различие между этими тремя объектами намного больше, чем можно было бы ожидать в любой практической ситуации. Мы преднамеренно выбрали такой пример, чтобы выдвинуть на первый план рассматриваемые проблемы. Рисунки 16.2, 16.3 и 16.4 показывают реакции замкнутого контура для случая этих трех объектов при единичном изменении уставкн, управляемых с помощью С и С„. Результаты будут обсуждены ниже. 16.3. Проектирование робастной системы управления 487 ° Случай 1.
61(я) = 6 (в), так что реакция замкнутого контура, основанная на Я„для этого случая — желаемая реакция по определению. Однако имеется различие в реакциях желаемой замкнутой системы управления и робастной системы, которая рассчитана с учетом неопределенности в модели. Использование Ч вызывает ухудшение в номинальной характеристике замкнутого контура, но это ухудшение разумно небольшое, как может быть замечено из близости реакций замкнутого контура; в частности сигнал управления, как можно заметить, является менее агрессивным.
Это — цена, которую мы платим за включение границ робастности, направленное на уменьшение чувствительности к ошибкам моделирования. ° Случай 2. Имеется большая ошибка моделирования между 02(я) и С,(я), как показано на рис. 16.1. Это соответствует так называемой опасной ситуации в робастном управлении. Как видно из рис. 16.3, без компенсации оптимальной функцией Я замкнутая система близка к границе устойчивости. Однако функция ф стабилизирует замкнутую систему и обеспечивает приемлемую переходную характеристику в присутствии этой большой неопределенности модели. ° Случай 3.
Хотя имеется большая ошибка моделирования между Сз(я) и 0,(я) в области низких частот, эта ошибка модели менее вероятно может привести к неустойчивости замкнутой системы (хотя более вероятно приведет к более медленной реакции замкнутой системы). Рисунок 16.4 иллюстрирует, что скорость реакции замкнутой системы при использовании оптимальной т 2 действительно медленнее, чем скорость реакции при Яо, однако разница невелика. Интересно заметить, что в этом случае управляющий сигнал для скорректированной робастной замкнутой системы более гладкий, чем для системы с Я,. 1.4 о о. и И 12 й о я 0.6 и 02 1.2 ,66 о.в 1 О.В о эи оя О.в о о 0 2 4 6 6 1О 0 2 4 6 6 10 Время (с] Время [с) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
