Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Решение вышеупомянутой задачи тогда описывается следующей леммой. Лемма 16.2. Если И(з) не имеет никаких нулей на мнимой осщ то аг8 тшп [[Ит(з) — (еи(з)(т(з)[[ = ()ти(з)) ~[Ра(з) ~Ит(з))в (16.2.10) я.(т)ез где т (з) — ттп(з))~а(з) (16.2.11) тпакая, что )ттп(з) является сомножителем с полюсами и нулями в открытой ЛПП и )та(з) — сомножитель с единичным усилением, по- где С вЂ” замкнутый контур, показанный на рис. С.4 в приложении С. Заметим, что произведение Х,(з)Х„( — з) является аналитическим в закрытой области, ограниченной контуром С. Тогда после применения теоремы С.7 мы видим, что интпеграл в (16.2.8) равен нулю, откуда следует требуемый результпат.
С)С)П Далее нам нужно расщепить общую функцию Х(з) на устойчивую часть Х,(з) и неустойчивую часть Х„(з). Мы можем сделать это с помощью дробно-рационального разложения. Устойчивые полюсы и их вычеты составляют устойчивую часть. Заметим, что функция стоимости, данная в (16.2.3), имеет общую форму 472 Глава 16. Проектирование систем управления на основе оптимизации стоянным на всех частпотпах и где [Х], обозначает устпойчивую часть Х. (з)тг (з) = [Уе (з)И (з)]а+ [Уе (з)и~(з)]и (Ы.2 И) Учитывал декомпозицию (16.2.13), мы получим [[~.-'и -с)„у [[,'=[[[т.-'и]„+[~ и~],-д„у [!,' Если теперь применить лемму 16.1, шо ][и -о„у у.[[,'= [[[~.-'и]„[[,'+[[у и],-о„[],' Отсюда оптимальное значение Яи(з) равно Я:( ) = (У ( ) Г'[(~'(з) Г'И'( )]. (16.2.
14) (16.2.15) (16.2.16) Замечание 16.2. Разложение (16.2.11) в литпературе также называ- ептся внуптренне-внешним разложением. Замечание 16.3. Решение будетп собственным только в тном случае, если У имеетп нулевую относительную степень или если У имеет ошносительную степень, равную единице, а тт' имеет относительную степень, по крайней мере, равную единице. Однако несобстпвенные решения можно легко превратпитпь в приблизительно собственные решения, добавляя соответпствующее число быстрых полюсов к Я~~(з). ППП Возвращаясь к рассматриваемой задаче, сформулированной в уравнении (16.2.3), мы видим, что лемма 16.2 дает непосредственное решение, если принять Ит(з) = Н,(з) — Н1 (з) (16.2.17) У(з) = И (з)У,(з) (16.2.18) Заметим, что в этом случае полюсы [ие ~(з)и~(з)] совпадают с полюсами Ит(з) (потому что это устойчивая передаточная функция).
Доказательство Подставляя (16.2.11) в (16.2.10), получим [[УУ Оиутл~а[]р = [[1а(~а "УУ' Яиутл)[[р = [[Уа И ЯиЪрд[[~ ~(16.2.12) где мы используем тот факт, что [У,[ является константной (потному что У имеетп постпоянное усиление на всех частотах). Далее, разложим ие ~(з) тт'(з) на устойчивую составляющую [ие "(з)тт'(з)], и неустойчивый составллющую [и' ~(з)ти'(з)]и, т. е. запишем 16.2. Оптнмальныа О-сннтез (аффннный) 473 Замечание 16.4. Вышеупомянутую процедуру можно изменить, включив весовую функцию й(унт).
В этпом контекстпе функция стоимостпи теперь будет иметь вид (16.2.19) Процедура синтеза иллюстрируется следующими двумя примерами. Пример 16.1 (Неустойчивый объект). Рассмотрим обзектп с номинальной моделью С,(з) = 2 (з — 1)(з+ 2) Предположим, что целевая функция для Т,(з) имеет вид 9 зг+4з+9 (16.2.20) (16.2.21) Сначала выберем полинам наблюдатпаая (о наблюдателе см. гл. 18) Е(з) = (в+4)(в+10) и полинам регуллтпора Р(з) = за+ 4з+ 9. Заметим, что для простоты Р(з) был выбран равным знаменатпелю Н„(з).
Затпем решим уравнение назначения полюсов Ае(з)й(з)+В,(з)Р(з) = Е(з)Р(з), чтпобы получить предварительный стпабилизирующий закон управления, выраженный в тперминах Р(з) и Ь(з). (Используйтпе программу рай.т,, находящуюся на прилагаемом СВ-ЛОМ.) Ококчательные полиномы следующие: Ь(з) = в~+ 17з+90 (16.2.22) Р(з) = 115з + 270; Теперь рассмотрим кахой-либо регулятпор из класса реализующих стабилизирующий закон управления, параметризованных уравнекием При этом не возникает ншсаких дополнительных трудностей, потпсму что довольно просто переопределитпь Ъ"(з) и Ит(з), чтпобы получить форму выражения (16.2.9).
Замечание 16.5. Также возможно ограничить область решения, чтобы удовлетпворить дополнительным техническим требованиям. Например, обеспечивая интегрирование с помощью параметризации Я(з), как в (15.3.15), и представляя весовую функцию в виде й(з) = з (также тпребуется Не(0) = 1). Это не изменяет аффинкый характпер Т,(з) для неизвестпной функции.
Следовательно, процедура синтеза, разработпанная выше, может примекятпься при условии, что мы сначала переопределим функции У(з) и И"(з). Замечание 16.6. Программа МАТЮКАВ для нахождения решения задачи квадратичного оптимааьного с)-синтеза включена в файл ор)т2.т на прилагаемом СВ-ЛОМ. 474 Глава 16. Проектирование систем управления на основе оптимизации (15.7.1). Квадратичная функция стоимостпи тогда будетп такой же, как и в (16.2.9), где ( ) ( ) Во(з)Р(з) 9з~ — 104з — 180 (16.2.
23) Е(з)Р(з) Е(з)Р(з) Пример 16.2 (Неминимально-фазовый объект). Рассмотрим обв- ект с номинальной моделью Оо(з) оо (16.2.28) (з+ 6)(з+ 3) Нужно ситпезироватпь, используя 'Нг-оптимизацию, контур управления с одной степенью свободы и целевой функцией Но(з) 2 16 (16.2.29) зг+5з+16 и обеспечить точную инверсию модели при ю = О. Решение Применим стпратегию, предложенную в замечании 16.5.
функция сто- имости тогда определяется следуютцим образом: где 11(з) =— 1 (16.2.30) Т(Я) = Ц(Но(з) — Ю(з) + [бо(0)) ) Оо(з) Щз) Ц, Соответственно Оптимальное значение Я„(з) тогда получаетпся из (16.2.16): 14 ( +1)( + (16.2.26) Мы видим, что передаточная функиия Щ(з) несобственная. Однако мы можем аппроксимировать ее субоптимальной (но собственной) передаточной функцией ф(з), добавлял один быстпрый полюс к Я„'(з): Ф(з) =Я:() 1 где т«1 (16.2.27) та+1 Предлагаем читатпелю исследовать полученный регулятор и связанные с ним характеристики замкнутого контлура — см. задачу 16.11. ППП 16.3.
Проектирование робастной системы управления 47$ Тогда функция стоимостпи будетп иметь вид .т(®=~~и -Щ,' (16.2.31) где Звг + 13в + 102 (вг+ 5з+16)(зг+9в+18) (16.2.32) т (з) — Оо(в) 1 Сначала заметим, что У,(з) = 3 итп(з) =— з+3 (16.2.33) Оптимальное значение Я(в) может тогда быть получено, используя (16.2.16) 16.3. Проектирование робастной системы управления с доверительными границами Далее кратко покажем, как методы оптимизации могут использоваться, чтобы изменить номинальный регулятор так, чтобы окончательная характеристика была более робастной по отношению к ошибкам модели.
Методы реализации этого находятся в диапазоне от предназначенных непосредственно для этого случая процедур до сложных методов оптимизации, которые сохраняют устойчивость в присутствии некоторых типов ошибок модели. Наша цель состоит в том, чтобы раскрыть «изюминку» этих методов. 16.3.1. Статистические доверительные границы В разд. 3.9 мы аргументировали, что никакая модель не может дать точное описание реального процесса. Это понятие — ключевая движущая сила современной идеи проектирования робастных систем управления.
Методы проектирования робастных систем управления включают — 0.1301зг + 0.8211 + 4.6260 вг+ 5з+ 16 отпкуда Я'(в) может быпть получена как Я (з) = вЯ (в)+1. Один быстрый полюс был добавлен, чтобы сделать этну функцию собственносн Снова предлагаем читателю исследовапть полученный регулятпор и связанные с ним характеристики замкнутпого контура — см. задачу 16.12. 476 Глава 16.
Проектирование систем управления на основе оптимизации (16.3.1) где СЦы) — истинная (но неизвестная) частотная характеристика, а С,(уот) — как обычно, представляет влдитивную ошибку моделирования. Будем считать, что С, имеет следующие вероятностные характеристики: Е(С,(уо)) = 0 б(О (у )О ( )) „(у ) „( ) б2(и,) (16.3.2) (16.3.3) В (16.3.3) ст(в) — устойчивая минимально-фазоввя спектральная плотность, а б — данная мера ошибки моделирования.
Для того чтобы использовать эту меру при проектировании системы управления, необходимо, чтобы она была рациональной функцией. 16.3.2. Проектирование робастных систеи управления Основываясь на номинальной модели С,(уи), мы предполагаем, что проектирование выполняется таким образом, чтобы получить приемлемую номинальную характеристику. Это проектирование будет, как правило, включать обычные проблемы, такие как неминимально-фазовое поведение, доступный диапазон входного воздействия и неустойчивые полюсы. Пусть это было получено с помощью номинального регулятора Я, -методы, Ст-методы и Яв-методы.
Здесь мы будем использовать последний подход, потому что он удачно вписывается в структуру, описанную выше. Нашей отправной точкой будет предположение о существовании статистических доверительных границ на ошибки моделирования. Получение этих доверительных границ — отдельная область исследования, но приближения могут быть взяты из оценок неопределенности, связанной со стандартными методами идентификации систем. Заинтересованного читателя отсылаем к литературе, приведенной в конце главы. Мы покажем, как эти статистические доверительные границы могут использоваться для проектирования робастных систем управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
