Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 92
Текст из файла (страница 92)
2.5, мы будем использовать символ 9 (без скобок) для обозначения элемента функционального пространства, т. е. у Е Ьз имеет форму 19(Ф): Ж вЂ” у К1. Мы также используем обозначение у = Г'(и), чтобы представить отображение (преобразование) и в у через У. Чтобы учесть различные компоненты контура, регулятор представляется линейным оператором С, а номинальный объект — линейным оператором С„; ошибка моделирования будет характеризоваться добавочным нелипебмььм оператором С,. Мы рассмотрим эталонный вход и входное возмущение, потому что с обоими можно обращаться последовательным способом. Номинальный и реальный контуры с одной степенью свободы показаны на рис. 19.1.
Начиная с контуров, показанных на рис. 19.1, мы будем получать выражения для следующих сигналов ошибки: ° ошибка выхода объекта 9, = у — р„, ° ошибка выхода регулятора и, = и — и,. 19.2.1. Влияние ошибок моделирования Чтобы упростить обозначения, мы сгруппируем внешние сигналы в один входной сигнал, определив его следующим образом: 4'=С(г)+4 (19.2.1) Заметим, что это возможно, потому что для линейной части контура на рис. 19.1 а) справедлив принцип суперпозиции. 19.2. Линейное управление нелинейным объектом 565 а) Реальный контур б) Номинальный контур Рис. 19.1. Реальный н номинальный контуры управления (19.2.4) (19.2.6) Я (о) = 1 1+ а.
(с(.» С(о) () 1+а.(с(.» Следовательно, переупорядочивая линейные используя (19.2.9), мы имеем у = Я (а,( — С(у)+е1в )) (19.2.9) (19.2.10) слагаемые в (19.2.8) и (19.2.11) Из рис. 19.1 а) мы видим, что у = (ао+ а,)(и) (19.2.2) и = — С(у) +4' (19.2.3) Подставляя (19.2.3) в (19.2.2), получим у=(а.+а,)(-с(у)+и ) = — а,(С(у»+а,(И )+а,( — С(у)+е1,") Аналогично для номинального контура на рис. 19.1 б) мы имеем у, = — а,(С(у,)) + а,(т1,") (19.2.6) и, = — С(у,) + е1," (19.2.7) Вычитая (19.2.6) из (19.2.5), получим у, = — а,(с(у,»+ а,( — с(у) + А') (19.2.8) Как обычно, мы определим линейные номинальные чувствительности через $66 Глава.19.
Введение в нелинейное управление Рис. 19.2. Контур обратной связи для ошибки Тогда, заменив у на у, + уе, мы имеем У,=~офа( — С(уо+Уа)+А )) и используя линейный результат в (19.2.6), имеем у, = Я.(а,(-С(у,)+ Я.(~ ))) (19.2.12) (19.2.13) Аналогично, вычитая (19.2.7) из (19.2.3), получим и, = — С(у,) (19.2.14) Рис. 19.3. Контур эквивалентных сигналов, описывающий ошибки модели- рования Уравнения (19.2.13) и (19.2.14) могут быть показаны схематически, как это сделано на рис.
19.2. Перепредставление г и 4 через уравнение (19.2.1) и использование ((19.2.9), (19.2.10)) дает окончательное представление, приведенное на рис. 19.3. Рисунок 19.3 — компактный способ изображения влияния несмоделированных нелинейностей объекта на робастность и характеристики контура обратной связи. Устойчивость, робастность и робастность характеристик можно исследовать, используя это представление. Например, в равд.
19.10.3 мы покажем, что устойчивость сохраняется в случае достаточно мааых нелинейных компонентов модели. Конечно, нелинейные системы вообще очень трудно анализировать. Однако прн некоторых упрощающих предположениях можно использовать рис. 19.3. 19.2. Линейное управление нелинейным объектом 567 Например, для С, обычна ситуация, когда его выход будет мал при малом входном сигнале.
В этом случае уравнения (19.2.13) и (19.2.14) предполагают, что ошибки в контуре обратной связи из-за нелинейных ошибок моделирования зависят от того, будут ли ° ~Я,(2от) ~ мэл в диапазоне частот, где входное возмущение существенно и ° ~Я„,(уот) ~ мал в диапазоне частот, где эталонный сигнал существенен. Эти требования могут быть в противоречии. Например, если требуется, чтобы фо(уто)~ был мал в диапазоне частот, котоРый значительно пРевышает полосу пропускания объекта, тогда ~Я„о(2от) ~ будет почти всегда большим за пределами полосы пропускания объекта. Эта ситуация, вероятно, означает, что линейное управление не подходит для этого случая. Замечание 19.1.
Конечно, рис. 19.3 также годится и в случае линейных ошибок моделирования. Таким образом, например, этот рисунок мог бы использоватпься, чтобы повторно доказать теорему 5.3. Рисунок мог бы тпакже использоваться для уяснения робастпных характеристик, как в линейном, тпак и в нелинейном саучаях. Пример 19.1. Рассмотрим нелинейный обэект, имеющий модель пространства состпояний вида дх1(1) =хг(И)+ (хгИ)) з (19.2.15) — = — 2хд(1) — Зхг(1) + и(1) + 0.1(хд(1)) и($) (19.2.16) ахг (г) г д1 у(г) = хт(т) (19.2.17) Предположим, чтпо для этого обеектпа спроектирован линейный регулятор и тпакже предположим, что проект был основан на линеаризованной модели для малых сигналов. Эта линеаризованная модель была получена для рабочей улочки, определяемой постоянным входным сигналом и(1) = ио = 2 и (линейный) проект обеспечивает номинальные чувстпвитпельности То(з) 9 оо(з) 1 То(з) = г (19 2 18) з(з+ 4) зг+4з+ 9 зг+ 4з+ 9 Проанализируем характеристики проекта, когда он используется с истпинным (нелинейным) обеектом.
Решение Мы сначала должны получить лингаризованную модель для малых сигналов. Это сделано, используя схемное решение зоЯр11.тпрр пакета 568 Глава 19. Введение в нелинейное управление $1МУЫИК. Для ступенчатого входного сигнала, равного 2, рабочая точка будет иметь значения Ь хн7 = уй = 1нп х~(Ф) = 1.13 и хго = 1нп хгЯ = 0 (19.2.19) Ф-+со г-+ее Тогда значения ис1, хднф и хго в сочетании с командами 1вптоИ и зз2ау пакета МАТ1 АВ дадут линеаризованную модель еле(з), которая имеет вид 30 155 1.13 (19.2.20) зг+ 3.0з+ 1.55 Чтобы получить желаемую чувствительность Т„(з), передаточная функция регулятора должна иметаь вид зг+ 3 Оз+1 55 С(з) = [С,(з)) г — = 7.96 (19.2.21) $,(з) з(з+ 4) Затем используем $1МУИФК, чтобы реализовать структуру, показанную на рис. 19.3, где чувствительность $„(з) равна зг+30з+155 $ио(з) =(Се(з) ) То(з) = 7.96 г (19.2.22) Модель запускается с этпалонным сигналом г(1), который имеет среднюю величину, равную 2 и добавленные прямоугольные колебания амплитуды 0.3.
Колебания добавлены в качестве входного возмуецения. Рисунок 19.4 показывает ошибку выхода объекта у,(1). Предлагаем читателю оценить характеристики линейного проекта при других эксплуатационных режимах и при другом выборе Те(з). Эта задача упрощается использованием схемного решения в файле атпепйтд! пакета $1МИЙ1ИК.
ппа 0.5 ал о ~о го зо во ъо ео уо во оо ~оо Время (е] Рис. 19.4. Влияние линейного моделирования нелинейного объекта на харак- теристику проекта линейной системы управления 19.3. Переключаемые линейные регуляторы 569 Из вышеупомянутого анализа мы видим, что линейные проекты могут хорошо функционировать с нелинейными объектами при условии, что нелинейность достаточно маленькая. Однако если требования к характеристикам увеличиваются, неизбежно приходится выполнить существенно нелинейное проектирование.
Первый шаг в этом направлении описан в следующем разделе, где мы все еще используем линейный регулятор, но для различных рабочих точек (или различных областей пространства состояний) выбираются различные линейные регуляторы. 19.3. Переключаемые линейные регуляторы Полезная стратегия для нелинейных систем состоит в том, чтобы разбить пространство состояний на маленькие области, внутри которых ограниченная линейная модель дает разумное приближение для реакции. Тогда можно спроектировать ряд фиксированных линейных регуляторов, по одному на каждую область. Остаегся решить две проблемы: 1) как узнать, в какой области мы находимся и 2) как переключаться между регуляторами.
Первая из проблем часто разрешается, если существует некоторая измеряемая переменная, которая является ключевым индикатором динамики системы. Такие переменные могут использоваться, чтобы аланировагаь нужные регуляторы. Например, в быстродействующем управлении самолетом, число Маха и высота часто используются как планирующие переменные. Вторая проблема требует, чтобы каждый регулятор был в устойчивом режиме независимо от того, подключен ли ои к объекту.
Это может быть достигнуто с помощью стратегии противонакопления, описанной в гл. 11 или рэзд. 18.9. Альтернативная структура для схемы противонакопления показана иа рис. 19.5. Здесь регулятор (С;(з)) используется, чтобы заставить тьй выход регулятора отслеживать истинный вход объекта. Чтобы показать, как это можно использовать, скажем, что мы имеем Й, регуляторов и что переключение между регуляторами обеспечивается устройством, которое мы назовем супервизором. Таким образом, в зависимости от состояния системы в любой данный момент времени, супервизор может выбрать один из й, регуляторов, чтобы сделать его акптивитям регуллшорам. Другие й, — 1 регуляторов будут в резервном режиме. Мы хотим организовать плавный переход от регулятора к регулятору, который выбирает супервизор.
«Плавный» переход означает требование, чтобы не произошел никакой толчок в сигнале управления при 570 Глава 19. Введение в нелинейное управление Рис. 19.6. Плавное переключение регуляторов переключении с одного регулятора на другой. Для линейных регуляторов, имеющих подобную структуру, это может быть достигнуто, позволяя всем регуляторам иметь общий набор переменных состояния и просто переключать выходные коэффициенты усиления, связанные с этими переменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
