Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Читатель может увидеть, что вышеупомянутая процедура формально аналогична случаю с линейной системой, описанному в гл. 15. Однако как говорилось ранее, должны быть удовлетворены требования устойчивости, внутренней устойчивости и требования к относительной степени. Они соответствуют нелинейному обобщению линейной устойчивости и требованию, чтобы функция Я была собственной.
Оставшаяся проблема — как реализовать Я(о) в соответствии с (19.6.12), потому что это зависит от состояния объекта, которое обычно является недоступным. Следуя той же самой философии, как и в линейном случае, мы можем восстановить состояние посредством нелинейного наблюдателя. Сейчас мы предположим, что объект является устойчивым в разомкнутом состоянии, так что мы можем использовать наблюдатель разомкнутого контура. (Более общий случай исследован в равд.
19.8.1.) Наблюдатель разомкнутого контура управляется только входом объекта и(1); его структура показана на рис. 19.7, где р 1 обозначает интегральный оператор. С этим наблюдателем мы можем использовать уравнение (19.6.12), чтобы сформировать блок Я, как показано на рис. 19.8. Наблюдатель представлен блоком, помеченным символом О. Далее проиллюстрируем эту концепцию двумя простыми примерами. 576 Глава 19. Введение в нелинейное управление Рис.
19.8. Реализация блока Я Пример 19.3. Рассмотрим нелинейный обаект, имеющий модель про- странства состояний в виде — = хг(г) + (хг(Ф)) дхг ($) з аг — = — 2хг(г) — Зхг(8) + и(в) + 0.1(х~(Ф)) и(8) ахг($) г ав у(в) = х1(г) (19.6.16) (19.6.17) (19.6.18) Нужно создать нелинейный регулятор, основанный на результатах равд. 19.6. Желаемая полоса пропускания — примерно 3 рад/с.
Решение Используя структуру, реализующую принцип внутренней модели, по- казанную на рис. 19.6, нам сначала нужно вычислить приближенную инверсию обаекта в соответствии с процедурой, описанной в равд. 19.6. Таким образом, из (19.6.16)-(19.6.18) мы имеем, что ру(г) = хг(Ф)+ (хг(г)) (19.6.19) р у(г) = (1+ 3(хг(Ф)) ) (19.6.20) = — (1+ ЗхР~(г))(2х1(в) + Зхг(1)) + (1+ 3(хг($)) )(1+ 0.1(х1(в)) )и(1) (19.6.21) Далее мы должны выбрать оператор Р(о), чтобы обеспечить желаемую полосу пропускания. Для этого выберем полинам от оператора р(р) в виде р(р) = (р +4р+9)/9 (19.6.22) 19.6. Гладкие динамические нелинейности 577 и тогда мтя можем получить а(х) и Ь(х) из уравкекия (19.6.10) в виде (1+ 3(хг(г)) г) (1+ 0.1(хд (г)) г) 9 Ь(х)— 7хь(ь) + хг(1) — 5(хг($)) — 6хь(1)(хг(ь)) 9 (19.6.24) Наконец, контур управления, представленный на рис.
19.6, может быть реализован с Я(о), как ка рис. 19.8. Обзехт устойчив, тпак чтпо требуемый наблюдатпель состояния может бытпь постпроен, используя (нелинейную) модель обьехта в пространстве состаоякий. Чтобы оценишь харахтперистиху этого проектпа, сравним его с линейным проектпам, основанным на линеаризованной модели обвехтпа (см. пример 19.1). В этом случае мы используем ту же самую рабочую точку, как в примере 19.1, определяемую значением ись = 2. Эшо приводит к линейной модели Оо(з)— 1.13 зг+ 3.0з+ 1.55 (19.6.25) Линейный регулятпор спроектирован шахим образом, чтпобы обеспечить тпребуемую полосу пропусхания. Далее выберем соответпствующую дополнительную чувстпвительностпь', скажем, го(з) = 9 (19.6.26) зг+4з+9 которая даст зг+3 Оз+1 55 С(з) = (бо(з)] — = 7.96 (19.6.27) 8о(з) ' з(з+ 4) Линейный и нелинейный контуры управления смоделированы с использованием Я1МГЛ11ь1К.
Эталонный сигнал выбран в виде суммы постоянной величины, равной 2 и прямоугольных колебаний амплитуды 1. Результпашы моделирования изображены на рис. 19.9. Этот рисунок показываетп, что характеристика отпслеживания у нелинейного проекта лучше. Оба контура управления находятпся в файле зорь(оор1.шб! пахета о1МИ|ФК. Читатпель может использовапьь этот файл, чтобы исследоватпь устойчивость обоих хонтпуров с различнььми этпалонкыми сигналами, качеставо компенсации возмущения, робастность к ошибкам модели в нелинейном случае, влияние насыщения на входе и ш.
д. ППП Пример 19.4 (Нейтрализация значения рН). Управление значением рН вЂ” чрезвычайно трудная задача в практических ситуациях, из-за 578 Глава 19. Введение в нелинейное управление ч$ ня яо й о о г « . в в (о тг Время [е[ Рис. 19.9. Характеристика отслеживания линейного (у() и нелинейного (у„() проекта системы управления для нелинейного объекта «с.(г) и(1) — .е (с с ($)) + (с( + д( ) с (Ф)) др (1) 1 (Ре(г) рлт(г)) »,(Е)=-1»[ 025(,о(( <-1О ' (19.6.28) (19.6.29) (19'.6.30) + 0.6с,(1) где с;,с„,с„: — избьппок водорода во входном потпоке, выходящем потоке и потоке кислоты, используемой длл управления, соотпветпстпвенно; д: — скоростпь входного потока; У: — обеем емкости; большого динамического диапазона, необходимого в регуляторе.
Чтобы справиться с этой проблемой, частпо необходимо делатпь структурные изменения в физической устпановке — например, обеспечивал дополнительные резервуары для смешивания и многочисленные клапаны для реактпивов. Интересующегося читателя приглашаац например, к широкой дискуссии по этой задаче на Юеб-странице книги. Здесь же мы рассмотприм довольно идеализированную форму задачи. Используем ее ках средство иллюстрации метподов, основанных на принципе внутренней модели, нежели как практическое решение проблемы управления значением рН.
Можно показать, исходя из элементарных соображений баланса масс, что соответпствующая модель пространстпва состояний длл нейтрализации значения рН типа «сильная кислота — сильное основание» дается выражениями 19.6. Гладкие динамические нелинейности 679 д: — возмущение входного потпоха; и: — схорость потока хислотпы, используел4ой для управления; р,рт: — истпинное и измеренное значение рН потока соответстпвенно. 9 г+( +В) +1 (19.6.31) мы имеем, что вычисленная приближенная инверсия получена для д=0, если д(С4 — С,(г)) с„(г) — си (19.6.32) У1п(10) ,$(с„(г) — с„) Реализация этой инверсии тпребует, чтпобы с и ре были заменены их восстановленными значениями с и р, которые получаются с помощью нелинейного наблюдатпеля.
Вышеупомянутпый проектп был осуществлен в схемном решении пакета $1МШ1НК (файл рЫоор.тпа1). Чтпобы оценить этпу стратпегию проектирования применитпельно к рассматриваемой задаче управления значением рН, моделирование было выполнено со следующими параметрами: 'и': 83.67 л д: 1 л/мин 10-3 с„; 10-4 а: 1с '~3: 0.5 с В злым случае не было никакого управления до 1 = 2 с, когда прикладывается стпупенчатпая уставка, чтпобы регулировать уровень рН 4ель системы управления состоит в тном, чтпобы регулироватпь значение РНРе(4) потиоха, в соответствии с величиной Уставхи, УпРавляя скоростью потока и(1) кислоты, используемой для управления. Заметпим, что сам процесс — нелинейная система первого порядка с датчиком, обладающим задержкой и представляющим вторую переменную состолния.
Далее мы видим, что уравнения (19.6.28)-(19.6.30) соответпствуютп уравнению (19.6.1), где х4(Ф) = с (т) и хг(1) = р Я. Аналогично, уравнение (19.6.2) соответствует уравнению у(Ф) = хг(г). Тогда отпносительная стпепень этой нелинейной системти равна 2, за исключением случая, когда с„= с„.
Практически, эту особую точку можно обойти соответствующим выбором с„. Используя тпеорию, представленную в равд. 19.6, с 580 Глава 19. Введение в нелинейное управление 12 19 9 и в в О 1 2 3 4 В В 7 В 9 1О Время [е[ Рис. 19.10. Управление уровнем рН с использованием стратегии проектирования нелинейной системы управления — показаны рН в потоке (толстея линия) и измеренный уровень рН (тонкая линия) потока на значении 7.
(Залеетим, что начальньй уровень рИ равен 11.) Результаты показаны на рис. 19.10. ППП 19.7. Проблемы возмущений при нелинейном управлении В гл. 8 мы видели, что возмущения нуждаются в особом внимании при проектировании систем управления. В частности, мы выяснили, что имеются тонкие проблемы, связанные с различием между входными и выходными возмущениями. В нелинейном случае — это те же самые проблемы, но здесь есть дополнительное осложнение, связанное с нелинейным поведением системы. Сущность этой трудности отображена на рис.
19.11. В линейном случае эти две стратегии дают один и тот же результат: с1 = сз. Однако в нелинейном случае обычно с1 ф с2. Например, если ['(а) = а2, то с1 = аз+ Ь2, в то время как сз = (а+ Ь)~. Вывод вз этого наблюдения таков, что если в линейном случае можно свободно перемещать возмущения с входа на выход с помощью линейного пре- Рис. 19.11.
Нелинейные операторы 19.7. Проблемы возмущений при нвлинвйном управлении 581 в'(0 ыь(") Рис. 19.12. Возмущения в нелинейных системах образования, то в общем случае это не справедливо для нелинейной системы. Для иллюстрации рассмотрим структуру на рис. 19.12. На рис. 19.12 С (о) и Сь(о) представляют нелинейную динамику, и(1), у(ь) и у'(1) представляют сигналы и 4(ь) и ь(,(1) — входное и выходное возмущения соответственно.
В этой структуре элемент Сь(о) может, например, представлять систему измерения. Мы рассмотрим случай входного и выходного возмущений отдельно. 1) Входные возмущения Здесь мы можем работать с у'(1) и и(1), чтобы восстановить 4(Ф), затем компенсировать его на входе объекта управлением с помощью обратной связи. Это ведет к стратегии, которая проиллюстрирована на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
