Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Дана устойчивая линейная 81ЯО-система, определяемая набором матриц (А,В,С,Х)), с управляемыми (А,В); даны также вещественный векпюр щ скалярные величины у > 0 и е > О, а также положительно определенная матрица т",1; шогда существует положительно определенная матприца Р и вектпор о тпакие, что АтР+РА = й~й 1 Р — о = узо тпогда и тполько тогда, когда значение е достатпочно мало и скалярная функция Н(з) = у+2о~(з1 — А) ~В (19.10.8) удовлетворяепт условию Я(Н(1от)) > О, для всех оз (19.10.9) Отсюда вытекаег следующий результат относительно устойчивости. Теорема 19.2 (Круговой критерий). Рассмотрим систпему Лурье, представленную на рис. 19.21.
Если 1) линейная систпема х = Ах+ В~; у = Сх+ В( устойчива, пааносшью управляема, полностью наблюдаема и имеетп диаграмму Найквиста, котпорая находится строго правее отп -~~, й > 0 и 2) незинейносшыр(1,у) принадлежитп сектору (О,й) в твом смысле, чшо 0 < ур(Ь,у) < йу~ Чуб 2, Чг > 0 (19.10.10) то контур обратпной связи на рис. 19.21 глобально асимпшошически устойчив. Рис. 19.21. Задача Лурье для 8130-системы где Я( ) оэначаетп вещестпвенную частпь функции. (19.10.6) (19.10.7) 594 Глава 19. Введение в нелинейное управление «9.10.13) «9.10.16) «9.10.18) или, потому что й > О, Я(й[С(з1 — А) ~В+П]+1) >0; в=тот «9.10.21) Доказательство Рассмотрим функцию Ляпунова У(х) =х1 Рх «9.10.11) Вычисление производной У вдоль решений системы, приведенной на рис.
19.21, даетп У(х) =х Рх+хтРх «9.10.12) т(АтР + РА)х+ 2х РВ~ Легко видеть, что справедливо следующее равенство: йлхтСт + «+ йВ)~з — л(йу+ л) = 0 Вычитпая «9.10.13) из «9.10.12), получим У(х) =хт(АтР+ РА)х+ яхт(РВ йСт) «9 10 14) 1 2 — «+ ю)~'+бйу+~) Так как у удовлетворяетп условию «9.10.10), мы имеем, что 0« ' й, для всех ууЕО рй,у) «9.10.15) у Уравнение «9.10.15) означает, что уз(1,у) и йу-ут(1,у) всегда имеют один и тпот же знак, т.
е. р(У,у)[йу — ~р(с,у)] > 0 для всех у Е К Напомним, чтпо (см. рис. 19.21) 1=-р(~,у) «9.10.17) и, подставляя его в уравнение «9.10.16), получим Яйу+~) < 0 Подстановка «9.10.18) вl«9.10.14) дает У(х) < хт(АТР+ РА)х+ яхт(РВ йСт) «+ й13)(2 «9 10 19) 1 2 Далее, условие 1) формулировки теоремы предполагает, чтпо Я([С(з1 — А) ~В+О]+-) > О; з = уот 1 «9.10.20) 19.10.
Устойчивость нелинейных систем 595 Тогда определим 7 = (1+ ЫЭ) и о = 211сСт. Заметим, что (19.10.21) в этом случае даетп Я( у+ 2о~ (з1 — А) 1В) > 0; з = 2ю (19.10.22) тп. е. условие 1) эквивалентно (19.10.9) леммы Калмана †Якубови. Обращаем также внимание на то, что часть 1) условий теоремы, вычисленная при ы = ос дает у= (1+йП) > О.
Следовательно, иэ леммы Калмана — Якубовича мы имеем, что для данной положитпельно определенной матприцы 1е сущестпвует положительно определенная матприца Р и вектор д такие, чтпо А Р+РА=-дд~ — еье (19.10.23) Р В М С 2 ( 1 + К ) и т 1 2 (19.10.24) длл любого е > О. Подстпавляя (19.10.23) и (19.10.24) в (19.10.19), получим и'(х) < — ех ь1х — х 99 х у~хт(1+ йО) т 9 (1+ 1сщ~2 = — ех ьгх — (х д — (1+ЙВ) () < — ех 14х т (19.10.25) Реэультпат тпогда следует иэ непрерывного варианта теоремы 19.2.
ППС1 Предыдущий результат может быть расширен на случай, когда нелинейность находится в секторе (кт,к2) в том смысле, что к1у < у'р(т у) < "2у (19.10.26) Например, мы имеем следующий вывод для случая 0 < й1 < к2. Вывод 19.1. Рассмотрим систему Лурье, показанную на рис. 19.21, с 0(з) = С(з1 — А) 1В + П. При условии, что линейная систпема (х = Ах+В(, у = Сх+Р() имеетп п, неустпойчивых полюсов, полностью управляема, полностпью наблюдаема и имеет диаграмму Найквиста, Ь-~ь1 катар не по.дает в круг с центр.
2г'+ь *' и р д Усом '2а„„", но охватпываетп его и, раэ протпив часовой стпрелки,.контпур является глобально асимптпотпически устойчивым. Доказательство Рассмотрим преобразованньдй контур, показанный на рис. 19.22. В этам случае определим (19.10.27) ф(у) = р(у) — йду (19.10.28) Мы можем видеть, что ф(у) удовлетворяет уравнению (19.10.10) при й = (йг — йд). Таким образам, мы можем применить теорему 19.2 при условии, что передаточная функция 0(з) устойчива и имеет диаграмму Найквиста, которая находится правее т„=— дй-~.
Обращаясь дсг-Йы ' подобным образом к уравнениям (19.10.20) и (19.10.21), мы имеем ~((йг — йд)СЦдо) + 1) > 0 (19.10.29) Используя (19.10.27) в (19.10.29) и записав С(уса) = а+ у)3, получим (1+ йгсгН1+ йдсг) + йдйгдЗ (1+ й,,„)г+ лгйг >О (19.10.30) Знаменатель (19.10.30) всегда больдае нуля. Следовательно, (19.10.30) дает (а+ — )(сг+ — )+~3 >О г (19.10.31) йд йг Это подразумевает, что диаграмма Найхвиста для С(з) должна лежать вне круга, данного в формулировке вывода. Наконец, п охватов против часовой стрелки гарантируют, что д.'(з) устойчива. Результат следует из теоремы 19.2. ППП Проиллюстрируем полученный результат следующим примером.
Пример 19.7. Рассмотрим нелинейную систему Накажем, что эта система глобально асимптотичесхи устойчива. 595 Глава д9. Введение в нелинейное управление йд = 10хд — 10хг хгд=16.925хд — 16хг+0.118 д(хг) — 0.1и (19.10.32) (19.10.33) (19.10.34) 19.10. Устойчивость нелинейных систем 597 С(е) Ф Рис. 19.22. Преобразованный контур Решение Систпема может быть представлена в виде структпуры Лурье с пара- метрами (19.10.35) р(у) = 16 '(у) Можно видеть, что 0<ур(у) <у' (19.10.38) Легко проверить, чтпо диаграмма Найквиста длл (19.10.35), (19.10.36) лежит справа отп точки — 1.
Результат следуетп ив теоремы 19.2. ППП Здесь мы рассмотрим метод использования нелинейного оператора, приведенный в разд. 19.2. Будем использовать у, чтобы обозначить банахово пространствот и Г" для обозначения нелинейного оператора в у, 'Говорят, что нормированное векторное пространство является банаховым пространством, если все последовательности Коши сходятся к предельным точкам в атом пространстве. 16.925 -16 ' -0.1 С=(0 11 19.10.3. Определение устойчивости от входа к выходу с помощью методов функционального пространства (19.10.36) (19.10.37) 598 Глава 19.
Введение в нелинейное управление т. е. отображение из области определения Ю(Г') с 1~в область т. Область определения и область значений Г' определяются следующим образом: 2т(У) = (х Е Х: У(х) Е К) (19.10.39) Я(У") = (У(х): х Е З(Г") ) (19.10.40) Обозначим также через Г" 1(У) прообраз множества У, полученного с помощью оператора Г": (У) = (хе 2т(з): т (х) е У) (19.10.41) Используя зти определения, можно утверждать сле,нующее. Определение 19.3. Оператпор называется устойчивым отп входа к въсходу, если его областпью определения являетпся г.
Определение 19.4. Оператор называется неустойчивым от входа к выходу, если его областью определения являетпся строгое подмножестпво т. Определение 19.5. Оператор назтивается неминимально-фазовым от входа к выходу, если замыкание его областпи значений является стпрогим подмножествам 1т. Замечание 19.2.
Чтпобы пояснитпь смысв вышеупомянутпой концепции неминимавьно-фазового нелинейного оператора, обратимся к случаю линейных стационарных систпем. В этом случае,. если оператор Г' имеетп неминимально-фазовый нуль, то область значений такого оператпора — набор операторов в 1~, котпорые имеют нуль на той же самой частоте, тп. е. строгое подмножестпво 1'.
Нам нужно также определить усиление оператора. Мы'будем использовать усиление Липшица, которое определяется следующим образом: ЦЦт. =впр: х,у ЕЗ(У),х-„Е у (19.10.42) !х-у~ ГДЕ ~ о / — НОРМа В тт. Определение 19.6. Говорятп, чтпо оператор Г' устойчив по Липшицу, щд= уь Далее определим инверсию оператора. Определение 19.7. Операптор Г', устойчивый по Липшицу, является инеертируемым по Лившицу, если сутцествуетп устойчивый по Липшицу оператпор Г 1, тпакой, чтпо Г" 1(Г" (о)) = 1 (оператор идентичности). ППП 19.10. Устойчивость нелинейных систем 599 ППП Вышеупомянутый результат может использоваться для анализа некоторых вопросов устойчивости в нелинейных системах с обратной связью.
Для иллюстрации используем его, чтобы расширить теорему робастной устойчивости из гл. 5 на нелинейный случай. В частности мы имеем Теорема 19.4. Рассмотрим установку, описанную в равд. 19.2. В частности, рассмотрим эквивалентный контур сигнала, приведенный на рис. 19.2, где О, — нелинейный оператпор, описывающий влияние аддитивных нелинейных ошибок моделирования. Достатпочное условие длл робастной (по Липшицу) устпойчивостпи состоит в там, чтобы оператор д был устпойчивым по Липшицу и !!д!!ь < 1 (19.10.44) где д — нелинейный оператор прямой цепи (см.
рис. 19.3): д(о) = Сс(Яо(С(о))) (19.10.45) Доказательство Сначала заметим, что на рис. 19.3 символом г обозначены все входные сигналы, рассматприваемые как эталонный сигнал, е = т — д(е) (19.10.46) Следовательно, (1+д)(е) =г (19.10.47) Теперь, используя предположение (19.10.44) и теорему 19.3, мы видим, что величина 1+д — инвертпируема по Лифшицу. (Следовательно, из замечания 19.3 Я.(1+д) = х и Хт(1+д) = Х.) Доказательство следует из определения 19.7.
ППП Замечание 19.3. Заметпим, чтпо необходимым условием для того, чтобы В(~) совпадала с т, являетпся тпо, чтпо оператор ~ должен быть инвертпируем по Липшицу; тпаким образом неминиыально-фазовый оператпор не являетпся инвертпируемым по Липшицу. Следующий математический результат приведем без доказательства. (Доказательство см. у Мартина (1976).) Теорема 19.3. Пусть тт — банахово пространство и пусть оператор 7 устойчив по Липшицу.
Предположим, чтпо ~~Дь < 1; тогда (1+ 7)— инвертпируем по Липшицу и ( 1 + т ) 1 Ц < ( 1 ! ~ Д ~ ) (19.10.43) 600 Глава 19. Введение в нелинейное управление Заметим, что это идентично условию, данному ранее в выражении (5.6.6). 19.11. Обобщенная линеаризация обратной связи для инверсно-неустойчивых обаектов Напомним из равд. 19.6, что схема линеаризации обратной связи, в сущности, дает значение р(р)у(Ф) для рабочей точки сигнала и(1) — см.
уравнение (19.6.13) — где р(р) — дифференциальный оператор степени, равной относительной степени нелинейной системы. Недостаток схемы, однако, состоял в том, что она компенсировала динамику, связанную с нулями и, следовательно, требовала, чтобы система имела устойчивую инверсию. Здесь мы покажем, как схема может быть обобщена, чтобы охватить классы инверсно-неустойчивых систем. В частности, заметим, что основная схема линеаризации обратной связи дает р(р)у(4) = и(с) (19.11.1) Однако трудность инверсно-неустойчивого случая состоит в том, что соответствующий вход не будет ограничен.
Временно сосредоточивая внимание на входе, по-видимому, желательно, чтобы условию (19.11.1) соответствовало некоторое подобное требование на входе. Таким образом, мы могли бы потребовать, чтобы вход удовлетворял линейной динамической модели вида М(р)и(М) = пе (19.11.2) где 4(0) = 1, а вв — установившийся входной сигнал, которому соответствует значение у(с), равное установившемуся значению ре параметра и(с). Конечно, (19.11.1) и (19.11.2) в общем случае не будут одновременно совместимы. Это говорит о том, что мы могли бы определить вход, как некоторую комбинацию (19.11.1) и (19.11.2). Например, мы могли ~ Норма передаточной функции Р(е) е пространстве Но> определяется как 6Р'6,е = р ек!р0 )! В качестве непосредственного применения полученного результата, мы можем повторно доказать теорему 5.3.
В частности, в случае линейных операторов в пространстве Ьг усиление по Лифшицу сводится к норме в пространстве Нос.1 Таким образом, в линейном случае условие (19.10.44) становится следующим: впр)Се(у)п)$о(уы)С(васо)~ (1 (19.10.48) мей 19.11. Обобщенная яинееризеция обратной связи 601 определить вход как ту величину и(1), которая удовлетворяет линейной комбинации (19.11.1) и (19.11.2) вида (1 — Л)(р(р)у(1) — м(1)) + (Л)®р)и(1) — и,) = О (19.11.3) где О < Л < 1. Замечание 19.4. Уравнение (19.11.3) может создашь ложное впечатпление, что это соответствует линейной стпратегии обратной связи. Однако р(р) у(1) фактпически кодирует будущую реакцию системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
