Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 95
Текст из файла (страница 95)
19.13. На рис. 19.13 Нь, и Н, — приближенные инверсии для Сь(С„(о)) и С„(о) соответственно. В частности, если оператор, который будет иивертирован, такой же, как в ((19.6.1), (19.6.2)), то приближенная инверсия определяется выражениями ((19.6.10), (19.6.12)). Наконец, г' на рнс. 19.13 — фильтр, добавленный для того, чтобы избежать алгебраического (нединамического) контура. Рис. 19.13. Стратегия управления для входных возмущений 582 Глава 19. Введение в нелинейное управление 2] Выходные возмущения Рис. 19.14. Стратегия управления для выходных возмущений На рис. 19.14 Нв и ̈́— приближенные инверсии для Са и С, соответственно, сформированные в соответствии с той же самой методологией, что и используемой для случая входного возмущения. Читатель может проверить, что в линейном случае можно перемещать различные инверсии вдоль контуров на рис.
19.13 и 19,14, чтобы получить идентичные результаты. Однако комментарии, сделанные в отношении рис. 19.11, указывают, что это не будет справедливо в нелинейном случае. Проиллюсгрируем это, продолжая пример 19.4. Пример 19.5. Рассмотрим рН-задачу примера 19.4, где С„определяется выражениями (19.6.28) и (19.6.30) (при у = р,), в тпо время как Св определлетсл выражением (19.6.29) (при у' = р,„). Снова рассмотрим полинам (19.6.31), который мы перепишем следующим образомт р(Р) =гагр +БР+1 Используя (19.7.1), выражение (19.6.32) предстпавим в виде У 1п(10) и(1)— багет(с,(1) -с ) 1х (о(1) — у (1)) — (у (1) — у(1)) Чг — Л)1 д(с;(Ф) -с,(1) ) Е,(1) -сн где и — управляющий вход, постпупающий на элемент инверсии, а 9', у и с — восстановленные переменные состояния, формируемые наблюдателем разомкнутого контура, как на рис.
19.7 и 19.8. Длл величин Здесь мы можем работать с у'(т) и и($), чтобы оценить д,(1), которое объединяется с эталонным сигналом ГЯ и пропускается через (приближенную) инверсию для С (о), чтобы компенсировать возмущение и привести к тому, что у(г) приблизится к г(в). Это приводит к стратегии, которая изображена на рис. 19.14. 19.7. Проблемы возмущений при нелинейном управлении 583 Случай 1 Конфигурация 1) (рис. 19.13) — проект для входного возмущения, где: а) входное возмущение — ступенька величины 0.005 в момент 1=20; 6) выходное возмущение — ступенька величины — 1.886 в момент Ф= 20. Заметим, чтпо оба возмущения даютп одно и то же отклонение рН от установившегося состояния. Результаты показантн на рис. 19.15.
Заметьте, что реакция на входное возмущение удовлетпворительная, в тпо,время как реакция на выходное возмущение плоха. Это понятно, ведь конфигурация была предназначена для входного.возмущения. Реакция на входное возмущение гз Реакция на выходное возмущение гл тл що т о. т ао о,о 1г го го зо 'те го го зо Время (с[ Время (с[ Рис. 19.15. Реакция 'на входное (слева) и выходное (справа) возмущения в контуре управления, спроектированном для компенсации входного возмущения (дт = 0.005, д„ = — 1.886) [Случай 1] ,[т и Ь общего вида в (19.7.1) выразсение (19.7.2) даетп Нь . Выбрав ~т = се+,б, уг = ст)3, где ст — постоянная времени датчика в (19.6.29), а В является свободным параметпром, (19.7.2) формирует Н .
Наконец, Но легко выбрать в виде На(з) =; т «ст сгз+ 1 (19.7.3) те+ 1 Ври моделировании мы выберем [л = 0.2, Ь = 0.01 для На, В = 0.5 для Н, и т = 0.2 для На. Наконец, фильтпр Р на рис. 19.13 выберем так: Р(з) = 1 (19.7.4) 0.5з+1 Чтобы проиллюстприровать нелинейные характперистики задачи, мы рассмотприм несхольхо случаев с устпавкой т = 7.5. 584 Глава 19. Введение в нелинейное управление Случай 2 Конфигурация 2) (рис. 19.14) — проекта для выходного возмущения, где: Результаты показаны на рис. 19.16. Заметпим, чтпо в этом случае реакция на выходные возмущения удовлетворительна, в то время как реакция на входные возмущения плоха. Этно понятппо, ведь конфигурация спроектпирована для выходного возмущения.
Далее рассматривались еще два случая (3 и 4). Эти случаи— повторение случаев 1 и 2, за исклточением тпого, чтпо возмущения были увеличены до 0.05 (для входного возмущения) и до -2.8276 (для выходного возмущения). Результатпы показаны на рис. 19.17 и 19.18. Заметим, что тпе же самые общие комментарии справедливы, как и в случаях 1 и 2. Также, сравнивая рис. 19.15 и 19.16 с рис. 19.17 и 19.18, мы видим явное свидетпельстпво нелинейного поведения: сам характпер реакций изменяется с еваяичинойв возмущений.
Этотп пример выдвигаетп на первый пла~ вывод, что в нелинейных системах некоторые линейные понятия больше не справедливы, потому чтпо не имеетп силы принцип суперпозиции. Таким образом, здесь должна бытпь проявлена особая осторожность. Мы видели, чтпо должны вниматпельно рассматриваться входные и выходные возмущения Реакция на входное возмущение вл Реакция на выходное возмущение 6.5 7.5 7 о. 6.5 7 о, 6.5 5.5 15 20 25 зо 15 20 25 Время [с] Время [с] Рис.
19.16. Реакция на входное (слева) и выходное (справа) возмущения в контуре управления, спроектированном для компенсации выходного возмущения (дт = 0.005, д, = — 1.886) [Случай 2] эо а) входное возмущение — стпупенька величины 0.005 в момента 1= 20; б) выходное возмущение — ступенька величины — 1.886 в мамент 5=20. 19.8. Более общие объекты с гладкими иелииейиостями 585 Реакция на входное возмущение 6.5 Реакция на выходное возмущение 6.5 6 7.5 6 7.5 щ 6.5 6 щ 6.5 6 4.5 4.5 15 20 25 30 . 15 20 25 Время [с] Время [с] Рис. 19.17. Реакция на входное (слева) и выходное (справа) возмущения в контуре управления, спроектированном для компенсации входного возмущения (де = 0.06, до = -2.8276) [Случай 3] 30 Реакция на входное возмущение Реакция на выходное возмущение Щау Ж 7 !5 20 25 20 25 Время ]с] Время [с] Рис.
19.18. Реакция на входное (слева) и выходное (справа) возмущения в контуре управления, спроектированном для компенсации выходного возмущения (дт = 0.06, И, = — 2.8276) [Случай 4] 30 15 30 и что амплитуда сигналов также играет роль. Это — ли!иь часть проблем, связанных с управлением нелинейными системами. ОС[С[ 19.8. Более общие объекты с гладкими нелинейностями Чтобы выдвинуть на первый план ключевые вопросы, ранее обсуждение касалось объектов, которые являются и устойчивыми и инверсно устойчивыми. Далее мы кратко исследуем более общую ситуацию.
По 586,Глаеа 19. Введение е нелинейное управление 19.8.1. Нелинейный наблюдатель Рассмотрим объект вида, данного в (19.6.1) и (19.6.2). Пусть имеется восстановленное состояние х(а) во время $. Будем использовать методы линеаризации, чтобы посмотреть, как можно было бы распространить это значение. Линеаризованные формы (19.6.1) и (19.6.2) относительно х(1) соответственно имеют вид рх(Ф) - Г (х) +— дГ" дх дй у(1) - Ь(х) +— дх дд дх(х($) — х($)) + д(х) и(Ф) + — [х(1) — х(1)) и(~) (х(1) — х(1)] Для удобства обозначения примем А= — ~ + — и(1) д~! дд дх ~в дх В =д(х) — — ~ х(1) дд~ дх ~в дй С=— дх- дй 3Э = Ь(х) —— дх Е=Дх) —— дУ дх аналогии с линейным случаем (например, в равд.
18.4) можно было бы задумать решение общей задачи в виде комбинации (нелинейного) наблюдателя и, (нелинейной) обратной связи по оценке переменных состояния. Мы выяснили, что зто было очень выгодной стратегией в линейном случае. Например, мы нашли в разд. 18.4, что полюсы замкнутого контура — просто объединение динамики наблюдателя и обратной связи по переменным состояния, рассматриваемых отдельно. К сожалению, зто не годится в нелинейном случае, где, между прочим, обычно будет иметься взаимодействие между наблюдателем и обратной связью по состоянию.
Это делает нелинейную задачу намного более труднрй; на самом деле — это все еще предмет продолжающегося исследования. Мы предупреждаем читателя, что методы, описанные ниже, будут иметь ограниченное применение из-за линейных приближений, используемых для отклонений. 19.8. Более общие объекты с гладкими иелииейиостлми 587 где А, В, С, П, Š— изменяющиеся во времени и зависящие от х н и. Тогда лннеаризованная модель имеет вид рх= Ах+ Ви+Е у=сх+П (19.8.1) Это дает следующий линеаризованный наблюдатель: рх = Ах + Ви+ Е+ Л(у — Сх — 1л) Прежде чем продолжить, заметим, что имеются два общих пути проектирования усиления наблюдателя Л.
Один путь состоит в том, чтобы взять фиксированные номинальные величины для А,В,С,П,Е (скажем, Ао,Во, Со,Во,Ео) и испольэовать их, чтобы спроектировать единственную фиксированную величину Ло, воспользовавшись линейной теорией наблюдателя. В более серьезных нелинейных задачах можно спроектировать различные Л в каждый момент времени,.основанные на текущих величинах А,В, С,Р,Е; которые зависят от текущего восстановленного значения х(с). Например, если используется квадратичная оптимизация (см.
гл. 22) для проектирования Л, то это приводит к так называемому расширенному фильгпру Каллтаиа (РФК). Подставляя значения А, В, С, 1Э, Е, получим следующее компактное представление для наблюдателя: рх = /(х) + д(х)и+ Э[у — а(х)) 19.8.2. Проектирование нелинейной обратной связи Здесь имеются бесчисленные возможности. Например, если система имеет устойчивую инверсию, то можно было бы использовать линеаризацию обратной связи, как в (19.6.12), с параметром х, замененным на х, как в разд.
19.8.1. Другой возможный алгоритм управления, связанный с лннеаризованной обратной связью по состоянию, будет описан далее. Мы вернемся к линеаризованной модели (19.8.1) и добавим интегральные свойства, определяя дополнительное состояние Этот результат интуитивно понятен, потому что нелинейный наблюдатель, полученный таким образом, представляет разомкнутую нелинейную модель с (линейным) усилением обратной связи, увеличиваю-, щим различие между фактическими наблюдениями у и полученными с помощью нелинейной модели Й(х). Отсылаем читателя к ттеЬ-сайту книги, где этот нелинейный наблюдатель применяется к задаче оценки уровня воды в соединенных резервуарах.
$88 Глава 19. ' Введение в нелинейное управление где т — эталонное входное воздействие. Составная линеаризованная мо- дель тогда будет иметь вид Р С О + О и+ -В Спроектируем в этом случае обратную связь по восстановленному состоянию в виде Более подробно мы будем говорить об этой (линейной) стратегии в разд. 22.4 гл. 22. Как и в случае наблюдателя, имеется несколько путей, которыми мы могли бы спроектировать усиление обратной связи [К1 Кз]. Три из этих возможностей следующие: 1. Базировать проект на фиксированном наборе номинальных величин для А,В,С,Х),Е. 2. Выбрать набор характерных величин переменных состояния и выполнить проектирование для каждого соответствующего набора параметров А,В, С, 1Э, Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
