Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 90
Текст из файла (страница 90)
ППО Возвращаясь к общему случаю, мы начнем с рассмотрения описания объединенного состояния, которое включает состояние модели объекта, как и в (18.2.1) — (18.2.2) и состояние модели возмущения: ха(г) = Азха(с) а(Ф) = Сзхз(Ф) (18.7.15) (18.7.16) Заметим, что соответствующими четверками матриц отдельных моделей будут (А„„фО) и (Аз,О,Сз,О) для объекта и возмущения соответственно.
Для объединенного состояния х(с) = [хг (с) хтз(с)1 мы Т имеем х(г) =Ах(г)+Ви(г) где А= О А (18.7.17) Выход модели объекта определяется формулой у(г) = Сх(г) где С = [С, О~ (18.7.18) (18.7.19) Заметим, что эта объединенная модель будет, вообще-то, наблюдаема, но не управляема (из-за собственных движений возмущения). '?аким образом, мы будем только пытаться стабилизировать собстпвенные движения обвекта, выбирая К таким образом, чтобы (А„— В К„) была матрицей устойчивости.
Наблюдатель и усиление обратной связи по состоянию могут тогда быть разделены следующим образом: Когда используется закон управления (18.7.1), тогда ясно, что Ке = Сн. В этом случае мы получим (18.7.20) Окончательно закон управления, как видно, соответствуег следующей передаточной функции: ...
Р(в) [ 1~в1 А.+ВоКо+7.Со 0 1 '~уо~ (18.7.21) Отсюда мы видим, что знаменатель закона управления в ферме полинома имеет вид з'(в) =т1ев(в1-А,+Л С,+ВоК )беЦв1 — Ан) (18.7.22) Используя (18.7.15) в (18.7.22), мы окончательно видим, что Га(в) действительно является сомножителем Ь(в), как и в полиномиальной форме принципа внутренней модели. Другим методом обеспечения принципа внутренней модели в простран- стве состояний является фильтрация выхода системы путем пропус- кания его через модель возмущения. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что система имеет вид Далее модифицируем систему, пропуская ее выходной сигнал через следующий фильтр: х'(1) = А~ах'(1) + С~~у(1) (18.7.27) где наблюдаемость (Сн,Ан) подразумевает управляемость (А~,Ст~).
Тогда восстановление х(т) с использованием стандартного наблюдателя без учета возмущения дает (18.7.28) 554 Глава 18. Синтез с помощью методов пространства состояний б) Обеспечение принципа внутренней модели с помощью дополнительной динамики х(1) = Аох(1) + Вон(1) + Во41(1) у(з) = Сох(т) хн(1) = Анхн(1) т11(о) = Саха(о) х(т) = АохЯ+ ВоФ) + Ло(У(1) — Сох(1)) (18.7.23) (18.7.24) (18.7.25) (18.7.26) 18.8. Компромиссы обратной связи по состоянию и наблюдателей 555 Общий закон управления получается с помощью обратной связи как по х(т), так и по х'(т), что дает и(1) = -К,х($) — Кзх'(1) (18.7.29) где матрица (К, Кз~ выбрана так, чтобы стабилизировать составную систему (18.7.23), (18.7.24), (18.7.27).
Действительно, результаты разд. 17.9 говорят, что каскацированная система полностью управляема, если исходная не имеет нулей, совпадающих с каким-либо собственным значением Аз. Окончательно закон управления, как видно, имеет следующую передаточную функцию: (18.7.30) Полипом знаменателя тогда равен т'(з) =деЦз1 — А +Л С,+В К )с1еФ(з1 — Аз) (18.7.31) и мы снова видим что Гз(з), определяемое выражением (10.2.4), является сомножителем Ь(з), как и требуется.
Действительно, можно видеть, что имеется интересная связь между результатами (18.7.21) и (18.7.30). Они — просто альтернативные пути достижения одного и того же результата. 18.8. Компромиссы обратной связи по состоянию и наблюдателей В разд. 18.2 было показано, что при условии управляемости и подходящем выборе усиления обратной связи К, полюсы замкнутого контура могли быть размещены любым желаемым образом.
Однако если собственные движения замкнутого контура выбраны намного быстрее, чем у объекта, то усиление К будет большим, что приведет к большим амплитудам сигнала на входе объекта и(1). Таким образом, мы снова столкнулись с известным компромиссом между скоростью и требуемой величиной входного сигнала. Подобная (двойная) задача возникает и при восстановлении состояния. Чтобы проиллюстрировать зто, рассмотрим модель пространства состояний, данную уравнениями (18.3.1)-(18.3.2) и предположим, что $56 Глава 18.
Синтез с помощью методов пространства состояний присутствует шум измерения о($); в этом случае модель будет следую- щая: х(1) = Аох(Ф) + Вои(1) у($) = Сох($) + о(Ф) (18.8.1) (18.8.2) Тогда восстановление состояния и оценка ошибки будут соответственно выглядеть следующим образом: хз(1) =А х($)+В и($)+ЛС (х(Ф) — х(т))+Ло(т) (18.8.3) хс($) = (А — ЛС )х(1) — Ло(1) (18.8.4) Применение преобразования Лапласа к (18.8.4) дает Х(з) = [з1 — Ао+ЛСо! тх(0) — [з1 — Ао+ЛСо] ~ЛР'(з) (18.8.5) Уравнение (18.8.5) определяет компромисс при проектировании наблюдателя. Мы видим, что, если Л выбрать так, чтобы собственные значения А — ЛС находились далеко в левой полуплоскости комплексной плоскости, то быстро устраним влияние начальной ошибки х(0). Однако это будет почти однозначно требовать большого значения Л.
Но тогда мы видим, что второе слагаемое в правой части уравнения (18.8.5) будет, как правило, увеличивать влияние шума измерения, потому что он обычно является высокочастотным сигналом. Задача усложняется, если в дополнение к шуму измерения имеются также немоделируемые возмущении, т. е. сигналы, которые появляются в адцитивной форме в уравнении состояния (18.8.1). Приведенный анализ говорит, что во многих реальных случаях задача проектирования наблюдателя требует, чтобы был выбран компромисс между скоростью реакции и невосприимчивостью к шуму. Таким образом, мы видим, что и обратная связь по переменным состояния и проектирование наблюдателя требуют, чтобы были решены компромиссы между противоречивыми требованиями.
Один из способов разрешения этих компромиссов состоит в том, чтобы изложить их как задачи оптимизации с подходящей функцией стоимости, которая балансирует конкурирующие требования. Особенно хороша функция стоимости, использующая квадратичные компоненты, потому что это упрощает решение задачи. Поэтому квадратичная оптимальная теория управления и квадратичная теория оптимальной фильтрации стали широко используемыми инструментами в проектировании систем с обратной связью.
Теоретическая основа проектирования квадратичного оптиманьного управления и фильтра будет приведена позже в гл. 22 части 'Л1. 18.10. Резюме 557 18.9. Ограничения на входе в контексте обратной связи по восстановленному состоянию В заключение мы дадим интерпретацию в пространстве состояний для схемы противонакопления, рассмотренной в гл. 11. Напомним читателю о двух условиях, учитываемых при реализации регулятора с противонакоплением, приведенных в равд. 11.3: 1) переменные состояния регулятора должны управляться фактически- ми входами объекта; 2) переменные состояния должны иметь устойчивую реализацию при управлении фактическим входом объекта.
Эти требования легко реализуются в контексте обратной связи по состоянию. Они приводят к схеме противонакопления, показанной на рис. 18.4. Рис. 18.4. Схема противоиакоплення На рис. 18.4 состояние к должно также включать и восстановленные возмущения. Фактически, чтобы получить структуру с одной степенью свободы для эталонного воздействия, нужно вычесть эталонный сигнал до подачи выхода объекта на наблюдатель. Таким образом, мы видим, что противонакопление имеет особенно простую интерпретацию в пространстве состояний.
18.10. Резюме ° Мы показали, что синтез регулятора с помощью размещения полюсов может быть представлен и в форме пространства состояний: Для данной модели в форме пространства состояний и желаемого расположения полюсов замкнутого контура можно вычислить набор постоянных коэффициентов усиления (по одному на каждую переменную состояния), такой, что обратная связь по состоянию через постоянные ИВ Глава 18.
Синтез с помощью методов простренстав состояний коэффициенты усиления дает заданное расположение полюсов замкну- того контура. ° С теоретической точки зрения этот результат дает дополнительную информацию для понимания взаимосвязи передаточной функции и моделей пространства состояний, которые эквивалентны в отношении размещения полюсов либо путем синтеза регулятора через передаточную функцию с помощью диофантовых уравнений, либо через обратную связь по состоянию с постоянным усилением. ° С практической точки зрения реализация такого регулятора потребовала бы измерения величины каждой переменной состояния. Однако из-за физических, химических и экономических ограничений вряд ли когда-либо имеется возможность провести фактические измерения всех переменных состояния системы.
° Это требует поиска альтернативы фактическим измерениям и вводит понятие так называемых наблюдатаелей, иногда называемых также гибкими датпчиками, виртуальными датчиками, фильтрами или расчетпными данными. ° Цель наблюдателя состоит в том, чтобы вывести величину ненамеренной переменной состояния через другие переменные состояния, связанные с ней и которые можно измерить. е Наблюдатели имеют много общего с системами управления: о они являются динамическими системами; о с ними можно работать как в частотной, так и во временной области; о они могут быть проанализированы, синтезированы и спроектированы; о они имеют свойства, такие, как устойчивость, переходные процессы и чувствительности; о эти свойства определяются полюсами и нулями их чувствительностей.
° Восстановление состояния, выполняемое наблюдателем, используется для нескольких целей: о контроль ограничений; о получение данных и анализ тенденций; о контроль условий и характеристик; о обнаружение ошибок; о управление с помощью обратной связи. ° Чтобы реализовать регулятор обратной связи по состоянию, как рассмотрено выше, можно использовать восстановленное состояние с помощью наблюдателя вместо недоступных измерений; взаимодей- 18.10.
Резюме 559 стане динамических свойств системы, регулятора и наблюдателя, определяет поведение созданного замкнутого контура. ° Взаимодействие количественно определяется третьим основным результатом, представленным в этой главе: номинальные полюсы всего замкнутого контура представляют собой объединение полюсов наблюдателя и полюсов замкнутого контура, определяемых коэффициентами усиления обратной связи, если все переменные состояния могут быть измерены. Этот результат также известен как пзеорсма разделения. ° Напомним, что синтез регулятора связан с тем, как его рассчитать таким образом, чтобы полученный замкнутый контур обладал нужными свойствами — констпрукзпивными свойствами.
° Главная тема главы — синтез регуляторов с наперед заданным размещением полюсов замкнутого контура; это — специфическое конструктивное свойство, которое позволяет получить некоторые проектные решения. ° Существуют, однако и другие полезные конструктивные свойства. ° Примеры конструктивных свойств, для которых существуют решения: о достижение конкретного состояния системы за минимальное время при ограниченной энергии; о минимизация взвешенного квадрата ошибки управления и потребления энергии; о достижение минимального отклонения в управлении, ° Один из подходов к синтезу состоит в том, чтобы поместить конструктивные свойства в так называемый спзоимоспзной функционал (целевую функцию или кригперий), который затем минимизируется количественно. о Этот подход иногда называется оптимальным управлением, так как оптимизируется критерий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
