Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Дискретные модели для квантованных непрерывных систем и(1) =тт[й] для йЬ <1< (й+1)Ь (12.13.1) Дискретные модели обычно связывают квантованный сигнал у[й] с квантованным входным сигналом и[й]. Цифровое управление обычно также вычисляет и[1с] на основе у[2] и г[2], где (г(йлт)) — эталонная последовательность и т < тс. Рис. 12.4. Цифровое управление непрерывным объектом Как было упомянуто в разд. 12.2, регулятор в большинстве современных систем управления реализован в цифровом компьютере, в то время как сам процесс развивается в непрерывном времени. Таким образом, наша цель в данном разделе состоит в том, чтобы получить дискретные модели, которые связывают квантованный выход непрерывной системы с квантованным входом.
Сначала мы вспомним, как цифровой регулятор связан с непрерывным объектом. Типичный вариант создания этой взаимосвязи показан на рис. 12.4. Аналого-цифровой преобразователь (на рисунке — АЦП) осуществляет процесс квантования (обычно с некоторым фиксированным интервалом Ь).
Перед квантованием могли бы быть также включены сглаживающие фильтры. Цифроаналоговый преобразователь (на рисунке — ЦАП) экстраполирует дискретное управляющее воздействие в функцию, пригодную для использования на входе объекта. На практике это обычно достигается поддержанием дискретного сигнала в течение всего периода квантования. Такой вариант называется экстраполятором (фиксатором) нулевого порядка. Он дает кусочно-постоянный входной сигнал (или сигнал в виде ступенек), показанный ранее на рис.
12.2. Если используется экстраполятор нулевого порядка для формирования и(с), то 352 Глава 12. Модели дискретных систем 12.13.1. Использование моделей непрерывных передаточных функций Мы видим, что формирование кусочно-постоянного сигнала и(т) из последовательности (и[й]) можно смоделировать структурой, показанной на рис. 12.5.
На рис. 12.5 импульсный кеантователь формирует последовательность Дирака и'(в), определяемую выражением и'(~) = ~ и[й]Б(1 — ' йЬ) (12.13.2) Эта последовательность при прохождении через экстраполятор нулевого порядка (ЭНП) формирует кусочно-постоянный сигнал и(Ф). Важно подчеркнуть, что система на рис 12.5 имеет смысл только тогда, когда рассматривается в целом; импульсный квантователь сам по себе не имеет никакого физического значения. Теперь мы видим, что цифровой регулятор управляет эквивалентной дискретной системой, как показано на рис.
12.6. На рис. 12.6 изображена дискретная система со входом и[й] и выходом у[й] = у(йЬ). Мы знаем (из разд. 12.11), что передаточная функция дискретной системы в форме Е-преобразования является 2- преобразованием выходного сигнала (последовательность (у[й])), когда на входе и[й] — дельта-импульс Кронекера при нулевых начальных условиях. Из рис. 12.6 мы также видим, что если и[й] = бк[й], то и'(й) = Б($).
Если мы обозначим через Н (а) передаточную функцию от Уе(г) к К (в), то получим следующий результат. и(Ь] энп Рис. 12.5. Экстраполятор нулевого порядка и(ЙЬ) Д Ь Рис. 12.6. Дискретный эквивалент модели с экстраполятором нулевого порядка 12.14. Использование непрерывной модели пространства состояний 353 Дискретная передаточная функция на рис. 12.6 вычисляется как Пример 12.10. Рассмотприм двигатель постоянного тока из приме- ра 3.4. Его непрерывная передаточная функция Со(з) = з(з+ ао) (12.13.5) Используя (12.13.3), мы видим, чтпо Ног(») = Я~ — (Й21) 2+ ге (» — 1) Ьо Ьо Ьо зь ~ » 1 во ао ~ао~ (» -1) ~[ аоЬо»21 Ьо» Ьо ао 1(» — 1)㻠— 1» — е аь~ (Ьоаот1 +Ьое "~ — Ьо)»-Ьоаотае "~ — Ьое "~+Ьо аоз(» — 1)(» — е ' '~) (12.13.6) 12.14. Использование непрерывной модели пространства состояний Далее мы покажем, как получить дискретную модель пространства состояний, когда выход экстраполятора нулевого порядка подается на непрерывный объект (описанный в форме пространства состояний).
Рассмотрим непрерывный объект, у которого вход и($) формируется экс- (Вторая строка вышеупомянутого выражения может быть также получена, учитывая, что дельта-импульс Кронекера эквивалентен ступеньке при й = О, сопровождаемой шагом задержки до Й = 1). Передаточная функция Н,(») иногда записывается в виде [СаоСо]д,' это следует понимать так же, как и в (12.13.3). Дискретная передаточная функция обычно называется импульсной передаточной функцией непрерывной системы. Эта терминология является результатом того, что дельта-импульс Дирака, приложенный к квантователю и экстраполятору нулевого порядка, преобразуется в импульс (единичной величины и длительности, равной тз[з]) на входе исходной непрерывной системы.
354 Глава 12. Модели дискретных систем где А едь е (12.14.6) (12.14.7) гЬ В А(м-т)В4 Ч о Аналогично, выход у(ЙЬ) = Сох(йсх) (12.14.8) где Сд — — С 12.14.1. Результат в форме оператора сдвига Обычно дискретная модель (12.14.5)-(12.14.8) может быть выражена сжато, используя оператор сдвига вперед д, следующим образом: дх[й] = Адх[й]+Веи[й] (12.14.9) у[й] = Сех[й] (12.14.10) где л до т (АЬ)" к. и а=о гЬ В,=У еА( — >Ва =А-' [еА~ — 1]В, о (12.14.11) (12.14.12) если А невырожденная матрица Ь С =С (12.14.13) (12.14.14) траполятором нулевого порядка из входной последовательности (и[й]). Это подразумевает что и($) =и[й] для ЙЬ <т < (й+1)Ь (12.14.1) Если объект описывается непрерывной моделью в пространстве состояний Нх(1) — = Ах(1) + Ви(1) Ж (12.14.2) у(1) = Сх(1) (12.14.3) то, используя решение (3.7.2), получим квантованную реакцию переменной состояния х((й+1)Ь) = е~~х(ЙЬ) + / е~и '~Ви(т+ ЙЬ)с1т (12.14.4) /О и, используя (12.14.1), можем записать х((й+1)Ь) = Адх(йй)+Вел(ЙЬ) (12.14.5) 12.14.
Использование непрерывной модели пространства состояний 355 12.14.2. Результат в форме дельта-оператора С другой стороны, если мы определим $ь = йЬ, то (12.14.4)-(12.14.8) могут быть выражены в форме дельта-оператора: бх(йв) = Аах($Ь) + Взи(ЦЬ) у(1а) = Свх(та) + Взи(та) (12.14.15) (12.14.16) где Св = Се —— С, Р4 = 1Эе — — П и АЬ А4= В4 = в'1В 1 Г~ А АЬ Азсь~ Й= — / е Йт=1+ — + + Ь,/о 2! 3! (12.14.17) (12.14.18) (12.14.19) 12.14.3.
Некоторые сравнения формы оператора сдвига и дельта-оператора Имеется несколько преимуществ формулировки (12.14.15) по сравнению с (12.14.9). Например, мы можем ясно видеть, что для формы дельта- оператора 1 1пп Аз=А 1пп Вз = В (12.14.20) ° Можно показать, что при быстрых условиях квантования выражение (12.14.15) в количественном отношении лучше обусловлено, чем (12.14.9). ° Более существенно то, что (12.14.9) моделирует абсолютное смещение вектора состояния на один интервал, в то время как исходная непрерывная модель основана на дифференциале, то есть бесконечно малых приращениях состояния.
Эта характеристика лучше у выражения (12.14.15), которое также описывает приращение состояния в один интервал времени. А-+О А-+О где (А,В) — исходные непрерывные величины. Это совпадает с интуитивными представлениями, что дискретная модель должна сходиться к исходной непрерывной модели, когда период квантования стремится к нулю. С другой стороны, можно подумать о выражении (12.14.15) как о конечном приближении разности к непрерывной производной. Эти интуитивные представления не справедливы для формулировки (12.14.11), поскольку 1нп Ае — — 1 1тш Ве — — 0 (12.14.21) Ь-+О Ь-ьо Другие преимущества дельта-формы включают следующее: 356 Глава 12.
Модели дискретных систем 12.15. Частотные характеристики импульсных систем Понятие частотной характеристики применимо и для импульсных систем. Рассмотрим непрерывную систему, имеющую экстраполятор нулевого порядка на входе. Тогда вход квантователя и зкстраполятора и выход системы представляют собой сигналы, квантованные каждые Ь секунд. Рассмотрим теперь синусоидальный входной сигнал, заданный следующим образом: ~ЙЬ~=Й ( ЙЬ)=Ю (2 Й вЂ” ~ = — ~~ "й — ~" ..) (12.15.1) ыв/ 23 ~ где от, = —. 2к Следуя той же процедуре, что и для непрерывных систем (разд. 4.9), мы видим, что реакция системы на выходе при входном сигнале (12.15.1) будет иметь вид у(ЙЬ) = ст(ю) в1п(яйся+ ф(от)) (12,15.2) где Не(~ ) = ~(ы)е'"' (12.15.3) (12.15.4) т' елью — 1 т Нб ~ ) =се(ю)ет Ь О.З х — 0.7 (12.15.5) и где Н (в) или НвЯ вЂ” дискретная передаточная функция системы в г- или 6-форме соответственно.
Частотная характеристика импульсной системы может также быть изображена, используя диаграммы Боде. Однако Не(е™о) †иррациональная функция частоты м, так что некоторые простые правила для диаграмм Боде непрерывных систем здесь не применимы. Сегодня эта трудность потеряла часть своего традиционного значения, потому что современные вычислительные пакеты позволяют непосредственно представить частотные характеристики дискретных систем графически. Характерная особенность частотной характеристики импульсной системы — ее периодичность (по частоте от).
Это свойство является результатом того, что функция е™~ является периодической по частоте от с периодом 2я/Ь. Периодичность, естественно, сохраняется как для амплитуды, так и для фазы частотной характеристики. Иллюстрируя эту идею, на рис. 12.7 показана частотная характеристика импульсной системы, имеющей передаточную функцию 1.г о.г о о й е -000 о Рис. 12.7. Периодичность частотной характеристики импульсной системы Другая интересная особенность заключается в том, что частотная характеристика импульсной системы сходится к характеристике непрерывного аналога при 4а ~ О, и, следовательно, много информации можно получить просто из характеристик непрерывной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
