Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 39
Текст из файла (страница 39)
3. 4. ° Если величина вещественной части доминирующих полюсов замкнутой системы больше, чем самый маленький нуль в ППП, то большое недорегулирование неизбежно. Это обычно означает, что при проек- тировании необходимо выполнение следующего условия: Полоса пропускания должна быть меньше, чем самый маленький неминимально-фазовый нуль~. ° Если величина вещественной части доминирующих полюсов замкнутой системы больше, чем величина самого маленького устойчивого нуля разомкнутой системы, то произойдет существенное перерегулирование.
Альтернативой должна быть компенсация этих нулей в замкнутой системе путем помещения их в знаменатель передаточной функции регулятора; однако в этом случае они будут появляться в ' Такое сравнение полосы пропускаиия и нуля (полюса) передаточной функции правомерно, так как нуль (полюс) имеет размерность чаСтоты. — Прим. перев. Вышеупомянутый анализ лежит в основе следующих компромиссов характеристик: 234 Глава 8. Фундаментальные ограничения 8!80-управления числителе входной чувствительности. Это могло бы быть приемлемо, так как входные возмущения могут быть значительно уменьшены при прохождении через объект. ° Если величина вещественной части доминирующих полюсов замкнутой системы меньше, чем величина самого большого неустойчивого полюса разомкнутой системы, то произойдет существенное перерегулирование, или ошибка быстро изменит знак.
Таким образом, можно сделать вывод: Желательно задать полосу пропускания замкнутой системы больше, чем вещественная часть любого неустойчивого полюса. ° Если величина вещественной части доминирующих полюсов замкнутой системы больше, чем величина самого маленького устойчивого полюса разомкнутой системы, то снова произойдет перерегулирование. Этого можно избежать, компенсируя такие полюсы в замкнутой системе, помещая их в числитель передаточной функции регулятора; однако в этом случае они будут присутствовать в знаменателе входной чувствительности и этот эффект обычно нежелателен, так как он означает, что влияние возмущений затухает медленно.
° Заметим, что, для реакции на уставку часто можно избежать вредного эффекта перерегулирования, обусловленного нулями устойчивого объекта или регулятора. Этого можно достигнуть, компенсируя их вне контура в случае проектирования с двумя степенями свободы (см. разд. 5.2), которое позволяет избежать компромисса с характеристиками реакции на возмущение. Некоторые из проблем, рассмотренных выше, иллюстрируются следующим примером. Пример 8.4.. Рассмотрим номинальную модель обзекта, заданную выражением С,(з) = (8.6.34) з( -ря) Полюсы замкнутой системы заданы значениями 1 — 1, — 1, — 1). Тогда обычно струкглура регулягпора определяется передаточной функцией С(.) = К,— '" (8.6.35) Рс Рассмотрим пять различных случаев.
Они описаны в табл. 8.1. Различные проекты были проверены с единичным сгпупенчатым эталонным воздействием и в каждом случае наблюдался выходной сигнал обвекта. Результаты показаны на рис. 8.4. Результаты наблюдений следу ютцие. 8.6. Структурные ограничения 235 Таблица 8.1 Описание рассмотренных случаев 1.г о.в о.в ол ог о -1 о 5 15 О 5 1О Время [с[ Время [с[ о о Время [с[ 5 ю о 5 Время [с[. 1О о 5 1О Время [с[ Рис. 8.4. Выходной сигнал у(5), объекта для пяти различных хонфигураций полюсов и нулей Случай 1.
(маленький устойчивый полюс). Наблюдается небольиоое перерегулироване, как предсказано уравнениями (8.6.26) и [8.6.27). Случай 2. (очень маленький устойчивый куль). Здесь мы видим очень больитое перерегулирование, как предсказано уравнением (8.6.26). Случай 3. (неустойчивый нуль, устойчивый полюс). Здесь, мы видим существенное недорегулирование. Это вызвано нулем в ППП. Мы также наблюдаем небольтаое перерегулирования, связанное с усгпойчивым полюсом, равным — [1.6.
Это предсказано уравнением (8.6.27). Случай 4. (неустойчивый нуль, маленький неустпойчивый полюс). Мы сначала наблюдаем существенное недорегулирование из-за нуля в ППП и как предсказано уравнением (8.6.28). Мы также наблюдаем 1Л 1.5 236 Глава в. Фундаментальные ограничения 3!80-управления сущестлвенное перерегулирование, котлорое связано с неустойчивым полюсом, как предсказано уравнением (8.6.27). Случай 5. (маленький неустойчивый нуль, большой неустпойчивый полюс).
Здесь недорегулирование обусловлено нулем в ППП, а перерегулирование — полюсом в ППП, как предсказано уравнениями (8.6.28) и (8.6.27) соответлственно. В этом случае перерегулирование зкачительно больше, чем в случае 4, потому что неустойчивый полюс находится правее в ППП. ПОП Другая иллюстрация этого набора идей представлена в следующем примере. Пример 8.5. Рассмотрим обаехтп и регулятор с одной степенью свободы. Обвектп имеет номинальную модель, хотлорая содержит вещественный неминимально-фазовый нуль при з.= го и вещественный неустпойчивый полюсе при з = т1а.
Предположим также, ипо регулятор имеет один полюс 'в начале координапт. Решение 8.5.1. Сначала вспомним, чтпо Гее У(з) =Я,(з) — = / и(г)е '~й (8.6.36) Вспомним тпакже, чтло любой неустпойчивый полюс разомкнутлой системы являетлся нулем Я„л(з). Тогда, применяя лемму 4.1, полу- | и(т)е "~аь' = Зие(го)— 0 го Г СО 1 и(т)е дт = Зио(ЧВ) = О о чо (8.6.37) (8.6.38) 8.5.2. Заметпим, что интлеграл (8.6.38), равный нулю, подразумеваетп, что и($) должен быть отрицательным в течение каких-то ненулевых интервалов времени. Это означает, что будет достпигнут нижний предел насыщения. Дополнительные наблюдения приведут к выводу, чтпо это случится для любого ограниченного эталонного сигнала.
8.5.1. Определитпь ограничения во временной области для выхода регулятора и(г), считая, что этлалонный сигнал является единичной ступенькой. 8.5.2. Если выход регулятора ограничен тпаким образом, чтобы быть в диапазоне (О,У „], где Уш — большое положительное число, то нужко показать, что неустойчивый полюс приведет к насыщению и($) для любого стлупенчатого эталонного воздействия. 8.6. Структурные ограничения 237 8.6.6. Влияние полюсов и нулей, находящихся на мнимой оси (8.6.40) (8.6.42) е(М) = 1 — у($) (8.6.43) Доказательство а) Из (8.6.26) мы имеем ы с ~ ~ | ~ е(т)е у ' от = —, о ~.7гоо Требуемый результатп следует, учитпывая, что сов отот = — (от~'~+ е у~'~) 1 2 1 вшьтот = — (е' " — е уы") 2у б) Следует непосредственно из (8.6.27). (8.6.44) (8.6.45) (8.6.46) пап Вышеупомянутые ограничения особенно существенны в случае мнимых нулей около начала координат (относительно полосы пропускания замкнутой системы).
Это иллюстрируется следующим примером. Пример 8.6. Рассмотрим и. а) вывода 8.1. Пустпь тпочное время регулированил (предполоэгсим, что оно существует) системы есть М, = шЦ~е(1) ~ = О; ~й > Т) т (8.6.47) Интересен частный случай леммы 8.3, когда объект имеет полюсы или нули на мнимой оси. При этих условиях получается следующее. Вывод 8.1. Рассмотрим замкнутую систему, как и в лемме 8.3. Тогда длл единичного стпупенчатого этпалонного входного воздействия, а) если обвект 0(з) имеет пару нулей хугоо, то е($) сов гоотаг = О (8.6г39) о Г 00 е($) вшгоо$аг =— о гоо б) если обвектп С(з) имеет пару полюсов ~агав, то е(т) сов гоо тат = О (8.6.41) о е(т) в1пгоотаг = О о где е(т) — ошибка управления, т. е. 238 Глава 8.
Фундаментальные ограничения 8!80-управления Тогда из (8.6.40) мы имеем 14 е(5) зшгоо1й =— о шо Счигпол, что 54 < —, получим шо | 14 Гте 1 е вх(зтпо15)ат> / е(5)етпагооат=— о о шо где е — максимальная величина [е(5)[ на интервале (О,ге). Из (8.6.49) 1 1 — [1 — СОВ4ОО44) Еглвя >— (8.6.50) шо ото (8.6.49) Пример 8.7. В качестве просп1ого числового примера рассмотрим замкнутую систему с передаточной функцией дополнительной чув- ствительности равной Т()= (8.6.52) Заметим, чгпо все полюсы замкнутой системы равны — 1, в то время как нули равны шу0.1. Смоделированная реакция е(5) для единичного ступенчатого входного воздействия показана на рис. 8.5.
1О -5 ' -1О -15 -го -55 о г 4 5 в 1О 15 Время [с) Рис. 8.6. Ошибка управления для замкнутой системы при единичном ступен- чатом зталонном воздействии и мнимых нулях Мы можем видетпь, что максимальная ошибка имеет более 2000% недорегулирования и 800% перерегулирования! ППП еды > 1 (8.6.51) 1 — сов гоо54 Таким образом, мы видим, что при гово -+ 0 е в„сгпремитпся к оо! ППП 8.о. Структурные ограничения 239 В этой главе происхождение всех ограничений проекта было связано с линейной природой системы управления, потому что мы использовали передаточные функции чувствительности и дополнительной чувствительности.
Таким образом, разумный вопрос — будут ли эти ограничения все еще иметь силу, когда используются другие способы управления (например, нелинейное, адаптивное, нейронное или нечеткое управление). Ответ на этот вопрос не очевиден, кроме некоторых случаев. Один из них — неминимально-фазовые нули, как показано ниже. Рассмотрим линейный объект с номинальной моделью, обозначенной через С,(з), чей выход должен поддерживаться на постоянной величине. Предположим, что С(го) = 0 для го Е К+.
Тогда для ступенчатых возмущений и ступенчатых эталонных воздействий система управления (независимо от ее типа) должна формировать сигнал на входе объекта в виде и(4) = и„+ Ьи(1) (8.6.53) где иоо — установившаяся величина входного сигнала и Ьи($) — необходимое переходное воздействие, которое должно подводить выход объекта к желаемой уставке, т.
е. Ьи(оо) = О. Таким образом, преобразование Лапласа входа объекта сходится для всех а = Я(з) > О. С другой стороны, минимальное требование к системе управления — ее устойчивость, так что преобразование Лапласа выхода объекта также сходится для всех а = Я(з) > О. Следовательно, У(го) = С(го)С(го) = 0 = / у(4)е "й (8.6.54) уо Уравнение (8.6.54) говорит; что выход объекта, у(4), должен изменить знак так, чтобы интеграл в (О, оо) равнялся бы нулю. Другими словами, (8.6.54) подразумевает, что у(4) должен развиться в направлении, противоположном направлению изменения желаемой величины, в течение по крайней мере одного интервала времени, отличного от нуля. Это ведет к термину обратной реакции для поведения неминимально-фазовых систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
