Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Этот эффект также может быть оценен с помощью соответствующих функций чувствительности контура. Чтобы о.з. Ограничения, связанные с неточностью модели 223 быть более точным, рассмотрим выражение, уже полученное в гл. 5 для влияния возмущений на выход объекта: '( ) = Вго( )В;( )+ В.( )В.( ) (8.4.1) 8.5. Ограничения, связанные с неточностью иодеии Другой ключевой источник ограничений функционирования связан с неадекватностью модели, используемой в качестве основы для проектирования системы управления. Чтобы проанализировать эту задачу, нам нужно различать номинальное функционирование и истинное, или реальное, функционирование. Обычно проектирование базируется на номинальной модели, а затем добавляется требование, чтобы функционирование было нечувствительно к различию между истинной и номинальной моделью.
Это свойство, определенное в гл. 5, обычно называется робастностью (ошибкоустойчивостью). Мы видели в гл. 5, что эти различия могут быть выражены как различия между номинальной и соответствующей истинной чувствительностью. Основная функция для количественного определения этих различий, введенная в той главе, называлась чувствительностью ошибки Яа(з), которая определяется выражением Яд(з) = 1 (8.5.1) 1+То(з)Сд(з) где Сд(з) — мультипликативная ошибка моделирования. Моделирование обычно является хорошим на низких частотах и ухудшается при увеличении частоты, потому что тогда динамические Предположим, что входные и выходные возмущения имеют существенную мощность только в полосах частот Вм; и В соответственно. Тогда ясно, что желательно иметь маленькие значения ~Яо(уьг)~ и .
~Я;о(уиг)~ в этих же полосах частот Вм; и В соответственно. Поскольку С(з) фиксирована, это может быть достигнуто только при условии, что Я,(аког) — О и, следовательно, То(т'иг) - 1 в полосе частот, объединяющей Ввя и В „. Отсюда можно сделать следующий вывод. 224 Глава 8. Фундаментальные ограничения 8!30-управлення 8.6. Структурные ограничения 8.6.1. Общие соображения В предыдущих разделах были рассмотрены ограничения, определяемые датчиками, исполнительными механизмами, возмущениями и ошибками моделирования. Все эти аспекты должны рассматриваться при выполнении проектирования номинальной системы управления; однако функционирование номинальной линейной замкнутой системы управления также подчиненно и неизбежным ограничениям, которые вытекают непосредственно из специфической структуры номинальной модели. Цель данного раздела состоит в том, чтобы проанализировать эти структурные ограничения и их влияние на функционирование системы.
8.6.2. Запаздывания Несомненно, наиболее общим источником структурных ограничений в системах управления производственными процессами являются запаздывания в этих процессах. Такие запаздывания обычно связывают с транспортировкой материалов от одного пункта к другому. Ясно, что в то время, когда наблюдается действие выходного возмущения, должен пройти период, равный величине запаздывания, прежде чем это действие будет подавлено. Таким образом, функция чувствительности выхода может, в лучшем случае, иметь вид Я'(э) =1-е ' (8.6.1) где т — постоянная запаздывания.
Мы фактически видели в разд. 7.4, что можно получить вышеупомянутый идеализированный результат соответствующим проектированием системы управления, используя структуру типа упредителя Смита. Другая трудность — обеспечить робастность относительно ошибок моделирования. Если мы должны достичь идеализированного резуль- особенности, которыми пренебрегают в номинальной модели, становятся существенными.
Это подразумевает, что ~Сп(унт) ~ обычно становится все более и более существенным с повышением частоты. Из этого можно сделать следующий вывод. 8.6. Структурные ограничения 22$ тата (8.6.1), то соответствующая номинальная дополнительная чувстви- тельность будет Т;(з) =е ' (8.6.2) 1. Запаздывания ограничивают подавление возмущений требованием, чтобы задержка произошла раньше, чем возмущение будет подавлено.
Это отражено в идеальной чувствительности Яо(з) в (8.6.1). 2. Запаздывания также ограничивают достижимую полосу пропускания через влияние ошибок модели. Пример 8.3 (Управление толщиной полосы прокатного стана). Напомним пример управления гполщиной полосы прокатпного стана, упомянутый в гл. 1. Схема одного стенда такого прокатного стана приведена на рис. 8.3. Сила л Входная полоса Н,У Выходная полоса л,о нный зазор Рнс. 8.3. Управление толщиной полосы прокатного стана Однако она имеет усиление, равное единице на всех частотах. Чтобы рассмотреть последствия этого, вспомним чувствительность ошибки, данную в (8.5.1).
Здесь мы видим, что, если имеется любая ошибка модели (особенно в самом запаздывании), то Сс,(з) увеличивается примерно до единицы на сравнительно низких частотах. Действительно, легко видеть, используя идеи равд. 4.12, что относительная ошибка моделирования будет иметь величину, которая примерно равна 1 приблизительно в полосе пропускания —, где тт — относительная ошибка запаздывания. 1 Таким образом, практически полоса пропускания замкнутой системы ограничивается комбинированным влиянием запаздываний и ошибок моделирования величиной порядка — . Таким образом, мы видим, что запаздывания в процессе вызывают два эффекта.
226 Глава 8. Фундаментальные ограничения 3!30-управления Мы видели раньше, что запаздывания (где реакция не изменяется в течение данного периода) .представляют очень важный источник структурных ограничений в проектировании систем управления. Из этого мы могли бы догадаться, что неминимально-фазовое поведение (где реакция первоначально идет по неправильному направлению) могло бы создать даже более серьезную проблему проектирования системы управления. Это действительно имеет место, как мы покажем в следующем разделе.
8.6.3. Интерполяционные ограничения Перед чтением этого раздела читатель должен вспомнить выводы, сделанные в гл. 4 относительно воздействия нулей на основные передаточные функции. Чтобы связать эти общие свойства нулей (как описано в гл. 4) с замкнутыми системами, прежде всего необходимо понять характер и происхождение полюсов и нулей функций чувствительности. Напомним, что соответствующие номинальные функции чувствительности для номинального объекта Со(в) = — ф и заданного регулятора в контуре с единичной обратной связью С(з) = 2(~ имеют вид: Р1в1 С (в)С(з) В,(в)Р(з) о(в) — 1+С ( )С( ) — 1 ( ) о( ) +В ( )Р( ) 1 А,(в)Ь(з) 1+С,(з)С(в) А (з)й(з)+В (в)Р(в) Со(з) Во(з)Ь(в) 1+ Со(з)С(з) Ао(в)1з(в) + Во(в)Р(з) С(в) Ао(в)Р(в) (8.6.6) 1+ С,(в)С(в) А,(з)Ь(з)+ В,(з)Р(в) Заметим, что полюсы всех этих передаточных функций совпадают с множеством (или, в случае компенсации полюсов и нулей, подмножеством) полюсов замкнутой системы.
Хотя только полюсы определяют (8.6.4) На рис. 8.3 мы использовали следующие символы: Р— сила, создаваемая валками, о — зазор между ненагруженными валками, Н вЂ” входная толщина прокатпа, T — входная скорость, Ь вЂ” выходная тполщина проката, и — выходная скоростпь, Й„л — измеренная выходная тполщина, д— расстояние от валков до места измерения выходное толщины. Расстояние отп валков до месгпа измерения выходной толщины предсгпавляетп (зависящее отп скорости) запаздывание величиной (-„). в Оно вноситп основное ограничение на качество управления, как описано выше.
ППП 8.6. Структурные ограничения 227 устойчивость замкнутой системы, точные переходные характеристики зависят от сочетания полюсов и нулей. Одним из важных выводов, вытекающих из свойств функций чувствительности замкнутой системы, является то, что все нескомпенсированные полюсы объекта и нескомпенсированные нули объекта налагают алгебраическтте, ттлп ттнптерполяцпоянме, ограничения на функции чувствительности. В частности, мы имеем следующее: 1. Номинальная дополнительная чувствительность То(з) равна нулю во всех нескомпенсированных нулях Со(з).
2. Номинальная чувствительность Я„(з) равна.1 во всех нескомпенсированных нулях Со(з) (это следует из п. 1, учитывая равенство и.( )+Т.(з) .= 1). 3. Номинальная чувствительность Я,(з) равна нулю во всех неском-, пенсированных полюсах Суо(з). 4. Номинальная дополнительная чувствительность Т,(з) равна 1 во всех нескомпенсированных полюсах С'о(з) (это следует из п. 3 и равенства Я,(з) + Т,(з) = 1). Введем типичные ограничения проектирования.
В частности, мы предположим, что проектирование обеспечивает точную инверсию модели объекта на нулевой частоте. Это гарантирует точное отслеживание выходным сигналом уставки и подавление постоянных входных и выходных возмущений. Чтобы достичь этого, мы требуем ЦО) = О, что приводит к Ао(0)Ь(0) = 0 <Ф ~о(0) = 0 <=> То(0) = 1 (8.6.7) Продолжим исследовать связь между полюсами и нулями объекта и временными характеристиками замкнутой системы.
Основным результатом этого раздела является то, что полюсы и нули объекта управления, особенно находящиеся в ППП, существенно и предсказуемо влияют на переходные характеристики. Начнем с напоминания леммы 4.1, которая устанавливает связь интегралов от временных характеристик (экспоненциально нормируемых) и значений соответствующих преобразований Лапласа в конкретной точке. 228 Глава 8. Фундаментальные ограничения 8180-управления 8.0.4. Влияние интеграторов разомкнутой системы Лемма 8.1. Предположим, чгпо объект управляется системой с одной степенью свободы и чгпо разамкнугпый объект и регулягпор удовлетво- ряютп соогпнотиениям: Ао(в)Цв) = в'(Ао(в)Цв)) т > 1 (8 6 8) 1тш(Ао(з)Т (в))' = се Ф 0 11ш(Во(в)Р(в)) = с1 ~ 0 (8.6.9) (8.6.10) тп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
