Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Проиллюстрируем это несколькими примерами. Обеспечение интегрирования в контуре обратной связи Стандартным требованием является то, что в установившемся состоянии замкнутая система управления должна иметь нулевую ошибку по отношению к постоянной составляющей эталонного сигнала либо входного или выходного возмущения. Чтобы это обеспечить, необходимым и достаточным условием является то, что номинальный контур должен быть внутренне устойчив, а регулятор иметь, по крайней мере, один полюс в начале координат. Это приведет к наличию нуля у соответствующей функции чувствительности на нулевой частоте. Чтобы получить это, выберем Х(з) = зХ(з) Тогда уравнение (7.2.18) для замкнутой системы может быть переписано следующим образом: Ао(в)й(з) + Во(з)Р(в) = Ан(в) с Ао(з) = зАо(в) (7.2.24) Решение задачи назначения полюсов можно теперь рассматривать как эквивалентную задачу для модели степени б = п+ 1.
Предыдущие ' Впоследствии, пока мы не скажем что-го другое, выражение »компенсация нулей и полюсов» будет означать компенсацию полюса объекта нулем регулятора и наоборот. 7.2. Подбор полинома 205 результаты могли бы означать, что Ан(з) может быть произвольно определен тогда и только тогда, когда его степень по крайней мере 26 — 1 = 2п+1; однако в данном случае дело упрощается, потому что мы можем допустить степень Р(з) на единицу больше, чем степень Х(з), потому что регулятор будет все еще собственный. Это означает, что минимальная степень Ан(з) равна 2п. Обеспечение компенсации полюсов и нулей Иногда желательно, чтобы регулятор компенсировал некоторые устойчивые полюсы и/или нули модели объекта.
Чтобы проиллюстрировать, как это можно включить в стратегию назначения полюсов, рассмотрим специальный случай, когда только один полюс номинальной модели, скажем, з = — р, должен быть скомпенсирован. Чтобы скомпенсировать сомножитель (з+р) в А„(з), этот сомножитель должен также присутствовать и в Р(з). Уравнение (7.2.18) тогда имеет решение, когда тот же самый сомножитель присутствует в Ан(з). Чтобы решить уравнение (7.2.18), сомножитель (з+р) можно удалить из обеих сторон уравнения.
Расширение на многократные компенсации очевидно. Замечание 7.4. Скомпенсированные полюсы и нули номинальной модели будут тем не менее присутпстпвовать в качестве полюсов и нулей в некоторых передатпочных функциях замкнутой систпгмы. Приведенное выше обсуждение показываетп, что любая компенсация приведет к наличию этого скомпенсированного сомножителя в характперистаическом полиноме А ~(з) замкнутой системы. Чтобы быть более тпочным, любой скомпенсированный полюс модели обоектпа будет полюсом в номинальной входной чувствитпсльности Яьо(з) и нулем в номинальной чувстпвительностпи по управлению Я„о(з).
Аналогично, любой скомпенсированный нуль модели обоекта будеш полюсом в номинальной чувствительности по управлению Я„,(з) и нулем в Ко(з). ОПТ Следующие примеры иллюстрируют технику назначения полюсов характеристического полинома. Пример 7.2. Рассмотприм номинальную модель, заданную следующим о зом: бра 6,(з) = (7.2.25) (з + 1)(з + 3) Первоначальное проектирование без ограничений требует выбора степени Аот(з), равной, по крайней мере, трем. Например, мы могли бы выбрать Ан(з) = (з~+бз+16)(в+40). Полиномы Р(з) и Цз) име- 206 Глава 7.
Синтез 8!80-регуляторов ют тпогда степень 1. Уравнение для харахтперистпического полинома, которое нужно решитпь, будетп (з+1)(э+ 3)(э+ !о)+ 3(ртз+ро) = (э~+ 5з+16)(э+40) (7 2 26) которое после приравнивания коэффициентов дастп 49 517 1о =41 рт = — ро=— 3 3 (7.2.27) С другой стороны, если ввести ограничение, чтпо регуляпюр должен обладатпь интпегрирующими свойствами, шо Аот(з) нужно выбратпь, по крайней мере, степени 4. Примем также, для иллюстрации, чшо полюс модели при з = — 1 должен быть скомпенсирован. Уравнение для характеристического полинома, которое теперь нужно решишь, стпановится следующим: з(э+1из+3) (э+1о)+3(з+1) (рт з+ро) = (з+1) (э~+ 5з+16) (э+40) (7.2.28) После удаления общего сомножителя (з+ 1) и приравнивания хоэффициентпов,.
мы окончательно получим 640 1о=42 рт =30 ро=— 3 (э+1)(90з+ 640) Зз(з+ 42) ППП Решение Будем испааьзоватпь назначение полюсов характперистпического поли- нома. Сначала рассмотприм порядок полинома Аы(з) который следует сформировать. Требование нулевой устпановившейся ошибки для данно- го этпалонного сигнала означаетп: Яо(~)2) = 0 Е== Со(~У2)С(ф12) = оо (7.2.30) Ограничение в уравнении (7.2.30) может быть удовлетворено для данного обоехпш тпогда и тполько тогда, когда регулятор С(з) имеет полюсы при ф72. Таким образом, С(з) = — = Р(з) Р(з) (7.2.31) Цз) (зг+4)Ьод(з) Этпо означаепт, чшо Аы(з) можно произвольно задать, если его степень, по крайней мере, равна 3. Выберем Аы(з) = (зг+4з+9)(э+10). Это пРиводитп х Ь д(з) = 1 и Р(з) =Ргзг+Ртз+Ро. Пример 7.3.
Обоехт имеетп номинальную модель, заданную выражением Со(з) =,~ . Цель управления — отпследитпь синусоидальный эталонный сигнал частотны 2 рад/с неизвестпной амплитуды и фазы. Спроехтпироватпь регуляпюр, который стпабилиэирует обзектп и формируетп нулевую ошибку в установившемся состоянии. 7Ъ.
ПИ- и ПИД-синтез; повторное рассмотрение с позиций назначения полюсов 207 Тогда уравнение назначения полюсов равно: (з — 1)(зг+4)+Ргзг+ргз+ро = (зг+4з+9)(в+10) (7.2.32) Раскрывая произведенил' полиномов и приравнивая коэффициенты, окончательно получим Р(з) =15зг+45з+ 94=а С(з) = 15зг+ 45з+ 94 (7.2.33) зг+4 С другими многочисленными задачами читатель может познакомиться, испаяьзуя программу рад.т пакета МА ТРАВ на прилагаемом СР-КОМ. аап 7.3. ПИ- и ПИД-синтез; повторное рассмотрение с позиций назначения полюсов Напомним читателю, что синтез ПИ- и ПИД-регуляторов, использующий классические методы, был рассмотрен в гл.
6. В данном разделе мы оформим эти результаты более современным способом, обсуждая синтез ПИ- и ПИД-регуляторов с позиций назначения полюсов. В этом разделе мы рассмотрим замкнутые системы управления с одной степенью свободы, включающие ПИ-регуляторы вида Срг(з) = Кр+— Кт (7.3.1) и собственные ПИД-регуляторы вида Кт Крз Срдт(з) = Кр+ — + з тттз+1 (7.3.2) Идея относительно выбора С(~12) = оо в вышеупомянутом примере — фактически особый случай принципа внутренней модели (ПВМ). Это будет детально рассмотрено в гл.
10. Вышеупомянутый подход назначения полюсов вводит дополнительную динамику в контур управления. Основная концепция такого подхода заключается в том, что, используя обратную связь, можно собственные частоты системы сдвинуть в произвольные положения при условии, что выполняются некоторые условия. Чтобы решить уравнение для полиномов, требуется, чтобы полиномы А„и Вв были взаимно просты.
Мы дали алгебраическое обоснование этого требования. Можно также дать этому результату интерпретацию на основе, пространства состояний. Действительно, взаимная простота А„и Ве оказывается эквивалентной полной управляемости и наблюдаемости соответствующей модели пространства состояний. Мы исследуем эти проблемы пространства состояний в гл. 18. 208 Глава 7. синтез 3180-регуляторов В дальнейшем мы воспользуемся следующим альтернативным представлением ПИД-регулятора.
Лемма 7.2. Любой регулятор вида и зг+и з+и — + (7.3.3) идентичен ПИД-регулятору (7.3.2), где т1161 иоиг К7= — ' (7.3.5) Н1 игд1~ — и141г12 + иЯ Ки= д, 3 (7.3.4) (7.3.6) гтг тп =— д1 (7.3.7) 0(з) = - „2 — С,(з) (7.3.8) Доказательство Следует непосредственно из сравнения (7.3.2) с (7.3.3). ППП Как видно из (7.3.1), проектирование ПИ-регулятора требует настройки двух констант, Кр и К7, в то время как ПИД-регулятор требует двух дополнительных констант Ки и т71. Однако вместо непосредственной их настройки можно автоматически их синтезировать, используя назначение полюсов.
Если мы предположим, что объект может быть (по крайней мере, приблизительно) представлен моделью второго порядка, то мы можем сразу же использовать назначение полюсов для синтеза ПИД- регулятора. Ссылаясь на равд. 7.2.2, мы просто выберем . степень А,(з) =2 степень В,(з) <1 степень 1.(з) =1 степень Р(з) =2 степень А,1(з) =4 Если объект содержит запаздывание, как в (6.4.1), то мы должны получить приблизительную модель второго порядка прежде, чем сможем перейти к основным действиям. Один из способов сделать это состоит в том, чтобы аппроксимировать запаздывание системой первого порядка, имеющей постоянное усиление на всех частотах.
В этом случае (6.4.1) будет приблизительно смоделировано в виде 7.4. Упредитель Смита 209 Решение Регулятор синтпезируется решением уравнения назначения полюсов со следующими количественными харахтеристпиками: Аы(з) =(з~+4з+9)(з+4)г; В,(з) =2; А,(з) =з~+Зз+2 (73.10) где сомножитель (э+ 4)г был добавлен для гарантии, что уравнение назначения полюсов имеет решение. Заметим, что этот сомножитпель формирует составляющие в процессе, которые быстпрее, чем те, которые формируютпся сомножителем зг+4з+9.
Решение уравнения назначения полюсов дает Р(з) 14зг+ 59з+ 72 зЦз) з(з+ 9) (7.3.11) Учитывая лемму 7.2, мы видим, чтпо С(з) — ПИД-регулятор с параметрами Кр = 5 67~ К7 = 8; Кп = 0.93; т7т = 0.11 (7.3.12) Важно заметить, что решение этой задачи для рассматприваемой модели 0,(з) дает структпуру ПИД-регулятора. Для более высокого порядка О,(з) полученный регулятор, вообще говоря, не будет ПИД-регулятпором.
' ППП 7.4. Упредитель Смита Временные задержки довольно обычны в реальных задачах управления, так что важно исследовать, можно ли улучшить функционирование, полученное с помощью простого ПИД-регулятора. Это особенно важно, когда запаздывание доминирует в реакции системы. Для случая устойчивых объектов хороший результат обеспечива ется упредителем Смита.
Основная идея здесь состоит в том, чтобы создать параллельную модель, которая компенсирует запаздывание (см. рис. 7.1). На этом рисунке мы предполагаем, что модель объекта имеет вид С,(з) =е "0,(з) (7.4.1) Пример 7.4. Обзехтп имеетп номинальную модель, заданную выражением 2 (з + 1)(з + 2) (7.3.9) Синтезируйте ПИД-регулятор, котпорый обеспечивает замкнутую систему с динамикой, определяемой сомпожитпелем зг+4з+9. 210 Глава 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
