Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 33
Текст из файла (страница 33)
6.4.1. Найдите критическое усиление и период колебаний. Обсудите использование колебаний параметра и, а также параметра у. 6.4.2. Определите настройки ПИД-регулятора. 6.4.3. Смоделируйте контур управления с настроенным регулятором. Обсудите результат. Задача 6.5. Рассмотрим объект с номинальной моделью а (з) — ( 2)г (6.10.2) (з+ 2)г Определите настройки регулятора, которые можно получить методом максимального усиления Зиглера — Никольса. Задача 6.6. Рассмотрим объект с номинальной моделью Ке-вт с,(з) = (6.10.3) Та+1 Предположим, что вы используете метод настроек Коэна — Куна. 6.6.1. Найдите запасы устойчивости по амплитуде и фазе для различ- ных отношений т(Т.
6.6.2. Найдите максимальную чувствительность для различных отно- шений т)Т. Задача 6.7. Синтезируйте ПИ-регулятор для объекта, имеющего номинальную модель у-'г (з) = г 1 (6.10.4) вг+ 6з+ 9' таким образом, чтобы Мв > 10 дБ и Му ) я/4. Задача 6.8. Рассмотрим объект с номинальной моделью С,(з) = (6.10.5) (з+ 3)(з+ 5) 6.8.1. Синтезируйте ПИД-регулятор, чтобы получить дополнительную чувствительность с шириной полосы, равной 2 рэд/с. 6.8.2. Сравните ваши результаты с результатами, полученными с помощью стратегии Коэна — Куна. Используйте временные и частотные тесты.
200 Глава 7. Синтез 3130-регуляторое 7.2. Подбор полинома Напомним здесь описание объекта полиномами, данное в гл. 4. Обозначим номинальную передаточную функцию объекта следующим образом: о Во(в) А,(в) (7.2.1) 7.2.1. Основная формулировка Рассмотрим номинальный контур, показанный на рис. 5.1. Напомним, что в номинальном контуре управления передаточные функции регулятора и номинальной модели имеют вид: С(з) =— Р(в) Во(з) Ь(з) Се(в) =— А,(в) (7.2.2) соответственно, с Р(в) р,в +р,-тз + +ро (7.2.3) Цв) =1тнзтн+1тн тзт т+" +1о (7.2.4) В (в) =Ь„" +Ь„в" +" ° +Ь (7.2.5) Ае(з) =а„в" +а„1з" ~+".+ао (7.2.6) где мы считаем, что номинальная модель является строго собственной.
Рассмотрим теперь желаемый характеристический полинам замкнутой системы: 1 О О О 3 1 О О 2 3 1 О О 2 О 1 1о рт ро (7.2.9) Агг (з) = а'„з"' + а„т в"' + " + ао (7.2.7) Обсудим следующий вопрос: сущестпвует ли для произвольного полинома Ан(з) соотпветствующая передаточная функцил С(в), котпорая приводит к тпому, что Ам(в) будет характеристпическим полиномом замкнутой системмр Чтобы пояснить зту идею, рассмотрим следующий пример. Пример 7.1. Пустпь Се(в) = лф — номинальнол модель обвектпа с А„(в) = за + Зз+ 2, ВДз) = 1. Рассмотрим регулятор вида С(з)= — > Р(в)=р1в+ре' Цв)=1тз+1о (728) Р(в) Цз) ' Мм видим, что Ае(в)й(в)+Ве(в)Р(з) = (вг+Зв+2)(1тв+1о)+(ртз+рв). Пустпь мм хотим, чтобм он бмл ровен полиному вз+Ззг+Зв+1; тпогда коэффициентам уравненил даютп 7.2.
Подбор полннома 201 В вышеупомянутом примере мы видели, что возможность задать полюсы замкнутой системы зависит от невырожденности собственной матрицы. Далее мы обобщим результат, однако чтобы сделать зто, нам потребуются следующие математические результаты относительно взаимно простых полиномов. Теорема 7.1 (Теорема Сильвестра). Рассмотприм полиномы А(з) =а„з" +а„дз" '+" +ао В(з)=Ь„н+Ь„,з" '+" +Ь, (7.2.10) (7.2.11) совмеспдно со следующей результирующей мапдрицей а„о а„д о О 6„0 ". 0 о ь„ , ь„ " о ао ад " а„Ьо 6д " Ьн 0 ао " а„д 0 6о " 6 -д (7.2.12) Ме = 0 0 " ао 0 0 ." ао Полиномы'А(з) и В(з) взаимно простпы таогда и только тпогда, когда с1ег(М,) ф О.
Доказательство Тогда: Предположим, чтпо А(з) и В(з) не взаимно простые. Тогда сущестявуетп общий корень т. Запишем А(з) =(з — т)(а'„дз" '+" +ао) В(з) =(з — т)(6,', дзп д+ +6~~) (7.2.13) (7.2.14) Исключая (з — т), получим А(з)(ьп дз" д+'''+Ьо) В(з)(аа дзн-д+'''+ао) =0 (7215) Приравнивая коэффициенты у обеих отпором равенства, получим (7.2.16) Мед=о Легко проверитпь, что матрица размерностпи 4 х 4 невырожденная; этао означает, что мы можем решить сиспдему относитпельно 1д, 1о, рд и ро, чтпо дает 1д = 1, 1о = О, рд — — 1 и ро = 1. Следовательно, желаемый характеристпический полинам можно получить с помощью регулятпора С(з) = (э+1)/з. ППП 202 Глава 7.
Синтез 8!80-регуляторов где о~ = ~Ь'„т Ье — а'„т " — аЯ (7.2.17) Однако (7.2.16) имеетп нетривиальное решение тпогда и только тпогда, когда г1ев(Мв) ~ О. Только тогда: Доказывается отприцанием предыдущего утверждения. ппа Вооруженные этим результатом, мы теперь можем обобщить пример 7.1, чтобы показать, что назначение полюсов обычно возможно при условии удовлетворения некоторых минимальных требований. Лемма 7.1 (Расположение полюсов характеристического полинома 81БО-системы). Рассмогприм замкнутый контур, имеющий одну степень свободы, с регулятпором и номинальной моделью, заданными уравнениями (7.2.2)-(7.2.6). Предположим, чтпо В,(з) и Ав(з) взаимно просты, т.
е. не имеют никаких общих сомножитавей. Пусть Агт(з) — произвольный полинам степени пв = 2п — 1. Тогда существуюгп полиномы Р(з) и Цз) стпепеней пг — — щ = н — 1, такие, чтпо А,(з)Цз) + В,(з) Р(з) = Агг(з) (7.2.18) Доказательство Приравнивая коэффициенты в левой и правой части (7.2.18), получим О а' тв — 1 Ь„, а„1 Ь с б= 1о Рп-1 а„Ье ая 1 Ь„, Ро ас о В соответствии с теоремой Сильвестра (теорема невырожденная тогда и только тогда, когда полиномы просты. Это доказывает лемму.
Рассмотрим теперь два дополнительных случая. Ьв (7.2.19) 7.1) матрица б В, и Ае взаимно ппа 7.2. Подбор полннома 203 Случай 1, пс = 2п — 1+ к, где к — положительное целое число Легко видеть, что в этом случае приемлемое решение получается, если мы выберем п~ = п — 1+ к.
Тогда ~(з) =~аз(з)+Ч ) (7.2.20) ~.з(з) = з"(1.-1+.з" '+" +1 ) (7.2.21) Цз) = 1 -1з + " + ~о (7.2.22) Прежде всего, коэффициенты Без(з) можно получить, приравнивая коэффициенты, соответствующие высшим к степеням з в уравнении (7.2.18). Тогда лемма 7.1 может быть применена при замене Цз) на Цз) и Ам(з) на А,г(з) — Ао(з)Ьпе(з). Таким образом, решение всегда существует, если Ае(з) и В,(з) взаимно простые. Случай 2, п, < 2п — 1 В данном случае нет решения, за исключением очень специального выбора характеристического полинома Аы(з),замкнутой системы.
Это можно заметить, исходя из следующего. ° Номинальная модель строго собственная, а регулятор должен быть, по крайней мере,'бисобственным1. Отсюда мы имеем, что п~ = и — и. ° Тогда окончательно мы имеем, что и, = тц = и, — п. Это означает, что есть по крайней мере т = 2п, — 2п+2 коэффициентов регулятора для получения желаемого характеристического полинома замкнутой системы.
Заметим, что т = п, +1+ (и, — 2п+1), откуда, учитывая, что для этого случая и, — 2п + 1 < О, получим тп < по+ 1. ° Приравнивание коэффициентов в (7.2.18) дает п + 1 уравнений; однако мы уже показали, что число неизвестных меньше, чем п, + 1. Таким образом, набор уравнений в общем случае противоречив. ППП Замечание 7.1. Мы не потперяем в общностпи, если предположим, что полиномы А,(з), Цз) и Аы(з) являются нормированными. В дальнейшем мы будем рассматривать именно этотп случай. ППП Замечание 7.2. Лемма 7.1 устпанавливает условие, при котором существует решение задачи назначения полюсов в случае, когда регуллтор является бисобственным. Однако когда требуетпся строго собственный регулятпор, тогда минимальные стпепени Р(з) и Цз) должны баппь пр — — п — 1 и щ = п соответственно. Таким образом, чтобы можно было произвааьным образом выбирать характеристический полинам А ~(з) замкнуп1ой системы, его степень должна быть равна 2п.
ППП 1 Напомним, что рацяональпая передаточная фуннцпя бпсобствеппая, если ее числитель и знаменатель являются пслппомамп одной и той лю степепп. 204 Глава 7. Синтез 3!80-регуляторов Замечание 7.3. Никаких хомпенсаиий неустиойчивых полюсов и нулей не допусхаетсяг. Это можно аргументировать следующим образом. Любая компенсация нулей и полюсов между регулятором и моделью оббекта будети приводить к появлению соотиветиствующего сомножителя в Ао(в)Цв) и Во(в)Р(з). Однако для того чтобы уравнение (7.2.18) удовлетиворялось, также необходимо, чтиобы тиоти же самый сомножитиель присутствовал и в Аи(в).
Тах как Ан(з) выбран как устиойчивый полинам, втоти общий сомножитиель тиакже должен бьсть устиойчив, Только в этом случае гарантируется, чтио номинальный замкнутый хонтиур будети внутренне устпойчив, то естиь все четиыре функции чувстивительности будути устиойчивы. ППП ?.2.2. Ограничение решения В последующих главах мы часто будем сталкиваться с тем, что эксплуатационные характеристики системы могут потребовать, чтобы регулятор удовлетворял некоторым дополнительным ограничениям. Когда используется подход назначения полюсов полинома, некоторые из этих требований могут быть удовлетворены добавлением дополнительных полюсов или нулей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
