Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. изменение в передатпочной функции разомкнутого ьсонпьура равно С,(з)С(з), где С,(тат) — частпотная характеристика аддишивной ошибки моделирования (АОМ). Рассмотрим теперь рис. 5.9. Из этого рисунка видно, что то же самое число охватпов будеш, если ~С Ию)С( э)~<0+С.О )С(1 Н ьтьо (5.9.8) Напомним, что С,(з) = С,(з)Сд(з), и мы видим, что (5.9.8) эквивалентано выражению ~Сд(уи)Св(уэ)С(1ат) ~ )1+ С,Цю)СО~)! Это эквивалентно (5.9.5) при использовании определения номинальной дополнительной чувстпвитпельности.
ППП Замечание 5.2. Теорема 5.3 дает только достпатпочное условие робастной устпойчивости. Это иллюстприруется примером 5.10. Замечание 5.3. Теорема 5.3 также справедлива и для дискретных и импульсных систпем при условии, что используется соответствующая частотпная характперистпика (в зависимости от того, используются ли операторы сдвига или дельтпа-операторы). Замечание 5.4. Можно расширить тпеорему 5.3 также и на случай, когда Сд(з) неустпойчива.
Все, чтао требуется, эшо сохранить соответствуютцее число охватпов, чтпобы обеспечить устойчивость истинной сиспьемы. Замечание 5.5. При рассмотпрении робастпной устойчивости обычно ~Сдуто)~ заменяетпся какой-нибудь верхней границей, скажем, «(ш). Достаточное условие тогда заменяется на ~Т,(сто)е(ат)~ <1, Чсо. ППП Пример 5.10. Для замкнутпого контура управления передатпочная функция в разомкнутом состпоянии равна Со(з)С(з)— 0.5 (5.9.10) 5.9. Робастность 171 а передаточная функция истинного обвектпа С(в) =е *тС,(з) (5.9.11) Решение 5.10.1. Элемента запаздывания дает изменение фаэм, равное -озт, но не влияет на модуль частотной характеристики.
Таким образом, условие критпической устпойчивости возникает, когда этотп сдвиг равен запасу устпойчивостпи по фазе Мт, т. е. когда постоянная запаздывания ровна м, т=— о>р (5.9.12) где величина отр определена на рис. 5.7 и такова, что ~СЯтор) ~ = 1. Это дает отр — — 0.424 рад/с и М7 = 0.77 рад. Следовательно, хритпическое значение постоянной запаздывания равно т = 1.816 с. 5.10.2. Номинальная дополнительная чувстпвительностпь ровна Со(з)С(в) (5.9.13) 1+ Со(в) С(в) зз + 2зг + з + 0.5 и мультпиплшсативная ошибка моделирования равна Сл (в) = е " — 1 =ь (Са(~от) ~ = 2 ~зш ( — ) ~ (5.9.14) Теорема о робастной устпойчивости утверждаетп, что достпаточным условием робастпной устойчивостпи является ~Т~(3ь>)Сам)~ < 1, Чот.
Были исследованы несколько значений т. Некоторые из этих результатов показаны на рис. 5.10. Рисунок 5.10 показываетп, что ~Тв(но)Со(тот) ~ < 1, Что для т < 1.5. 5.10.3. Можно видеть, что меньтаее значение постпоянной запаздывания получается при использовании теоремм о робастной устпойчивостпи. Получается это потому, что тпеорема устанавливает достаточное условие длл робастной устойчивости, т. е. этпо наихудшее шребование. ППП 5.10.1. Найти точное значение т, при котпором замкнутпая система окажется на грани устпойчивостпи.
5.10.2. Используя теорему 5.3 о робастпной устойчивости, получить оценку для этпого критического значения т. 5.10.3. Обсудить, почему результат в пунктов 5.10.2 отличается от результата в пункте 5.10.1. 172 Глава 5. Анализ замкнутых 3130-систем управления % 1 ов а, 1О' 1О' Чзстота [рзд/с) 10 Рис. 5.10.
Амплитуда частотной характеристики Т,(з)Са(з) для различных значений т Дальнейшее понимание проблем робастности может быть получено путем сравнения функций номинальной и реальной чувствительности. В частности, мы имеем следующее. Лемма 5.2. Рассмотрим номинальные чувстпвитпельности Я„(в) и Тп(з), а такзсе обвект с МОМ Сл(з). Тогда функции реальной чув- ствительности Я и Т определяются следующим образом: Яа(з) называется чувствительностью ошибки.
Доказательство Осуществляетпся непосредстпвенной подстпановкой. 000 Мы видим, что характеристики реального контура отличаются от характеристик номинального контура из-за ошибок моделирования. Это часто называется проблемой робастности характеристик. Из уравнений (5.9.15) — (5.9.19) можно видеть, что номинальные характеристики не будут слишком сильно отличаться от реальных характеристик, если Яд(у1о) близка к 1+уО для всех частот. Из уравнения (5.9.19) видно, 5.10. Резюме 173 что зто будет в том случае, если частотная характеристика ~Т,(уы)~ уменьшается до того, как МОМ ~Сп(уш)~ станет существенной; тогда это гарантирует ~Т,Цш)СлЦы)~ << 1.
Мы замечаем, что робастность устойчивости †мен строгое требование, чем робастность характеристик. Для первого требуется, чтобы выполнялось условие ~Т,(уи)Сп(~ьз)~ < 1, в то время как для второго требуется ~ТЯи)Сп(1ю)~ << 1. Как мы увидим позже, робастная устойчивость и робастность характеристик вносят дополнительный компромисс в процесс проектирования.
5.9.3. Линейное управление нелинейными объектами Анализ робастности, приведенный выше, имел дело только с линейными ошибками моделирования. Конечно, на практике объект обычно нелинейный,и, следовательно, ошибки моделирования нужно было бы описывать нелинейными операторами.
Как следовало бы ожидать (и это можно показать), небольшие нелинейные искажения соответственно слабо влияют на характеристики замкнутой системы. Можно также количественно определить величину нелинейной ошибки моделирования, совместимой с сохранением устойчивости замкнутой системы. Эти проблемы будут рассмотрены в гл. 19, когда мы займемся детальным изучением нелинейного управления. Более продвинутый читатель может уже сейчас предварительно посмотреть разд. 19.2. 5.10.
Резюме ° Эта глава содержит основные принципы анализа Б130-систем управления с обратной связью. ° Обратная связь представляет собой циклическое взаимодействие регулятора и системы: о регулятор воздействует на выходы системы и о выходы системы действуют на регулятор. ° Что бы там ни было, эта ситуация оказывает необыкновенно сложное влияние на сформированный замкнутый контур. ° Хорошо спроектированная обратная связь может о делать неустойчивую систему устойчивой; о увеличить скорость реакции; о уменьшить влияние возмущений; о уменьшить эффект неточности параметров системы и т. д. 174 Глава 5.
Анализ замкнутых 3!80-систем управления ° Плохо спроектированная обратная связь может о внести неустойчивость в предварительно устойчивую систему; о добавить колебания в предварительно гладкую реакцию; о вызвать высокую чувствительность к шуму измерения; о повысить чувствительность к структурным ошибкам моделирования и т. д. ° Конкретные характеристики поведения динамической системы включают: о во временной обласпти: устойчивость, время нарастания, перерегулирование, время регулирования, установившиеся ошибки и др.; о в часптотиной области: полоса пропускания, граничные частоты, запасы устойчивости по амплитуде и фазе и др.
° Некоторые из этих свойств имеют строгие определения; другие— качественные. ° Любая характеристика или анализ могут далее быть сформулированы как с термином «номинальная», так и «робастиная»; ' о «номинальная» означает временное идеализированное предположение, что модель является совершенной; о «робастлная» указывает на явное исследование эффекта ошибок моделирования. ° Влияние регулятора С(в) = т;«на номинальную модель С,(в) = Р(«1 я+о~ в контуре обратной связи показано на рис.
5.1 и описывается В « уравнениями (««Оо Сой ~'~ит) С + о ~й++Во ) 4 7,+.В,Р ° Интерпретация, определения и замечания: о Реакция номинальной системы.определяется четырьмя передаточными функциями. о В связи с особой важностью они имеют специальные названия и обозначения: 1 А,Ь Яо'= — †, функция номинальной чувстви+ " о + ' тельности; 5.10.
Резюме 175 С,С В,Р Т,:= = , номинальная дополнительная чувствительность; Со Во~ Я;,:= = , номинальная входная чувствитель- 1+ С.С А,~+ В'Р но С А,Р Я,„,:= управлению. Все вместе они называются номинальными чувствительностями. о Все четыре функции чувствительности имеют те же полюсы, что и корни полинома АьЬ+ В,Р. о Полипом А,Ь+ В,Р также называется номинальным характерисптческим полиномом. о Повторим, что устойчивость передаточной функции определяется только корнями характеристического полинома. о Следовательно, номинальный контур устойчив тогда и только тогда, когда вещественные части всех корней характеристического полинома А,Ь+.В,Р строго отрицательны. Эти корни сложным образом связаны с полюсами и нулями регулятора и объекта. о Свойства четырех функций чувствительности, а следовательно, и свойства номинального замкнутого контура, зависят от сочетания полюсов характеристического полннома (общий знаменатель) и нулей А,й,В,Р,В,й н А,Р соответственно.
° Линейные ошибки моделирования обладают следующими свойствами. о Если тот же самый регулятор воздействует на линейную систему 0(е), которая отличается от модели следующим образом: С(е) = С,(е)бл(е), то получающийся контур остается устойчивым при условии, что (У,Цю)! (Сп(уо)! ( 1, Чш о Это условие также известно как тпеорема о малых приращениях. о Очевидно, что это выражение не так легко проверить, потому что мультипликативная ошибка моделирования Са обычно неизвестна. Чаще всего вместо СаЦм) используются ее оценки. о Тем не менее, это дает ценные представления. Например, мы видим, что полоса пропускания замкнутого контура должна быть так настроена, чтобы быть меньше, чем частоты, где ожидаются существенные ошибки моделирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
