Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 24
Текст из файла (страница 24)
где Дв,з,) — линейная функция, зависящая от начальных условий. Из предыдущих уравнений можно получить: 146 Глава 5. Анализ замкнутых 8!80-систем управления зб Юо(б) о*-(б) Рис. 5.2. Замкнутая система с двумя степенями свободы Аналогично формуле (5.2.7), мы видим, что контур с двумя степенями свободы определяется выражением: С,(з)С(в)Н(в) 1 )' У(В,Хо) б) 1+Со(з)С(з) 1+Со(з)С(з) (, ' -4о(з) ) С,(з) С,(в)С(з) 1+ С (з)С(з) ' 1+ С (з)С(з) Передаточная функция С(з) может быть спроектирована, чтобы получить нужную реакцию на возмущение (не отличающуюся от (5.2.7)), а Н(з) может быть использована для получения реакции на эталонный сигнал независимо: У(в) С,(з)С(в)Н(в) (5.2.11) Жв) 1+ Со(в)С(в) Заметим однако, что даже в случае контура управления с двумя степенями свободы все еще остаются передаточные функции, чью динамику нельзя получить независимо.
Так, регулятор С может быть использован для получения реакции на одно из возмущений Р;, Р„или Р,„, но как только это будет сделано, реакции на другие возмущения будут тоже однозначно определены. Итак, соответствующая реакция на выходе регулятора равна С(з)Н(з) С(з) )' Дз,хо) ) 1+Со(в)С(в) 1+Со(з)С(з) 1, ' Ао(з) ) С,(з) С(в) С(в) 1 С (з)С( ) ' 1+С (з)С(з) которая, как видно, фиксирована при выбранных Н(з) и С(в).
5.3. Функции номинальной чувствительности 147 5.3. Функции номинальной чувствительности Из уравнений (5.2.10) и (5.2.12) видно, что реакция замкнутой системы задается четырьмя передаточными функциями, которые все вместе известны как функции чувстпеительности. Используя уравнения (5.2.1) и (5.2.2), эти функции чувствительности следующие: Эти функции получили специальные имена.
Полипом Ан = Ао(е)Цл) + В,(л)Р(л) называется номинальным ха- з рактеристическим полиномом замкнутого контура. Функции чувствительности алгебраически зависимы. Эти отношения — одно нз ключевых проявлений компромиссов, свойственных контуру обратной связи и могут быть получены из определений (5.3.1)- (5.3А). В частности, мы имеем 1 В дальнейшем, если зто не вызовет разночтения, будем называть ее номинальной входной чувствительностью. — Прим. иерее.
148 Глава 5. Анализ замкнутых 8180-систем управления ~С,(з)С(з) Со(з) 1 — Со(з)С(з)~ с у;(з) ~ ~ С(з) — С,(з) С(з) — С(з) -С(з) У,(з)) 1+ Со(з)С(з) Н(з)Н(з) Е)г(з) Ро(з) Р (з) (5.3.12) Пример 5.1. Обвект имеет номинальную модель С (з) = (;+„у,+г)т. На него действует выходное возмущение в виде до(«) = й+ до($), где ао(г) — состпавляющая с нулевым средним значением и полосой частпотп Ве )(О, 4) рад/с.
Регулятпор обратной связи С(з) таков, что хо(з)— (зг+ 1.2и)„з+)ог)(уз+ 1)г (5.3.13) Сомножитель (тз + 1)г добавлен, чтобы регулятор был старого собственным (проверьте, что этотп выбор достатпочен, чтобы гаранп«ировать требуемое свойство!). Нужно выбрать ст и а)„с точки зрения компенсации выходного возмущения и амплитуды требуемого управляющего воздейстпвия.
С помощью этих функций чувствительности для замкнутого контура, изображенного на рис. 5.2, можно написать т),)=т),))н)*)л),)-о„),))~-з.),)(о.) )+ ' ' ~+я,.) )о) ) ,Г(з,х,) 1 о(з) (5.3.8) 1) (з) Вно(з) Н(з)Н(з) т ~тл (з) « ~о(з) « — 'о(з) т т«(з) / У(з,х.) 1 Ао(з),l (5.3.9) Видно, что воздействия начальных условий на выход объекта и выход регулятора соответственно равны Г"(з,хо) ((з,хо)Цз) Ао(з) Ао(з)Цз) + Во(з)Р(з) Дз,х,) ~(з,х,)Р(з) Ао(з) Ао(з) Цз) + Во(з) Р(з) Из этих равенств, а также из уравнений (5.3.1)-(5.3.4), можно заметить фундаментальную роль, которую играет поливом Ао).
Он определяет как устойчивость, так и, совместно с собственными нулями Ь(з), Р(з), Во(з) и Ао(з), переходные характеристики номинального контура управления. Уравнения (5.3.1)-(5.3.4) могут быть представлены в более компактной форме 5.4. Устойчивость в зависимости от характеристического полииома 149 Решение Нам нужно, чтобы Те(т'от) 1 (что, в соответпстпвии с (5.3.5) даетп Я,Цы) 0) на часптогпе го = 0 и в полосе Вв.
Чтобы получить это, предположим следующее: ып п1 ° от„больше, чем 4 рад/с; скажем, гоп = 10 рад/с; ° т = 0.01 (что много меньше, чам гоп ~). Это дает 100 (за + 12з+ 100)(0.01з+ 1)й Далее оценим для этого случая номинальную чувсгпвительностпь по управлению Яие(з). Для, выбранной выше Т, имеем Т,(в) (з + 1)(з + 2)г Яие(з) ~,~~~ 25(за+ 12з+100И0.01з+1)й (5.3.15) На частоте 3 рад/с мы имеем фне(уот)~ — 20 дБ.
Это означаетп, чтпо если де(Ф) имеет синусоидальную состпавляющую на часгпоте 3 рад/с, то на выходе регулятора будетп составляющая той же частпоты, но с амплитудой в десять раз больше, чем у возмущения. Это может привести к насьицению на входе обвекта. Осмыслив эпю, мы можем прийти к выводу, что данная задача возникла потому, что выходное возмущение имеет спектр частот, котпорый намного больше полосы пропускания разомкнутого обвекта. Чтобы понизить чувствительность системы по 'управлению в полосе Вв, у проектировщика возможен лишь один вариант — увеличить чувствигпельность к возмущениям в полосе Вв, что создаегп компромисс при проектпировании.
ППП 5.4. Устойчивость замкнутой системы в зависимости от характеристического полинома ' Номинальный контур управления представляет собой соединение регулятора и номинальной моделя. Этот и последующие разделы содержат различные средства для анализа как номинальной устойчивости, так и рообастной устойчивости'. Введем следующие определения. 150 Глава 5. Анализ замкнутых 3!80-систем управления Это определение эквивалентно требованию, чтобы все сигналы в контуре были ограничены для любого множества ограниченных. сигналов т(1) ат(г) д,(Ф) и д ($).
Сравнение (5.3.12) с (5.3.1) — (5.3.4) показывает, что номинальный замкнутый контур внутренне устойчив тогда и только тогда, когда полипом А„(з)В(з)+ Вп(з)Р(з) имеет устойчивые сомножители. Резюмируем это следующей леммой. Лемма 5.1. Номинальная внутпренняя устойчивость. Рассмотприм номинальный замкнутпый контур, изображенный на рис. 5.2, с моделью и регулятпором, задаваемыми уравнениями (5.2.2) и (5.2.1) соотпветпственно. Номинальный замкнутпый контур внутренне устойчив тогда и только тпогда, когда все корни его характеристпического уравнения (5.4.1) А,(з)Цз) + В,(з)Р(з) = 0 находятпся в отпкрытой ЛПП. Доказательство Оно следует непосредственно из уравнения (5.3.12) и определения внутренней устойчивости.
ППП Заметим, что понятие внутренней устойчивости значит несколько больше, чем устойчивость передаточной функции от эталонного сигнала к выходу системы. В первом случае дополнительно требуется, чтобы не было никаких компенсаций неустойчивых полюсов при взаимодействии регулятора и объекта. Проиллюстрируем это следующим примером. Пример 5.2. Предположим, что С,(з) = С(з) = (5.4.2) Видно, что Т,(з) устойчива; однако номинальная входная чувствительность неустойчива, поскольку Зз ( — в+2)(зг+4з+ 3) (5.4.3) Таким образом, зта систпема не явллется внутпренне устойчивой и не удовлетворяетп условиям леммы 5.1, так как А„(з)Цз)+В„(з)Р(з) = (-з+ 2)(за + 4з+ 3). 5.5.
Устойчивость и аиааив полииомов 151 5.5. Устойчивость и анализ полиноиов 5.5.1. Определение задачи Рассмотрим полипом р(з), определенный следующим образом: р(з) = з" + а„тз" +" + атз+ ао (5.5.1) $.$.2. Некоторые интересные свойства полиномов Из (5.5.1) вытекают следующие важные свойства. Свойство 1.. Коэффициент аи т удовлетворяет равенству (5.5.2) где Лд, Лг, ..., ˄— корни р(з). Чтобы доказать это свойство, заметим, что р(з) можно представить в виде р(з) = П(з — Лд (5.5.3) Раскрывая произведение (5.3.3) и объединяя коэффициенты при з в степени (и — 1), получим (5.5.2).
Свойство 2.. Коэффициент ао удовлетворяет условию ао = (-1) П Лт (5.5.4) Это свойство также может быть получено, раскрывая произведение (5.5.3) и исследуя полученную константу. где а; Е вс. Рассматриваемая задача связана с вопросом, есть ли у полинома какой-либо корень с неотрицательной вещественной частью.
Очевидно, что на этот вопрос можно ответить, просто вычислив и корней р(з); однако во многих приложениях, интересно рассмотреть взаимосвязь между расположением корней и некоторыми коэффициентами полинома. Полиномы, имеющие все свои корни в замкнутой ЛПП (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
