Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Заметим, что система может иметь несколько полос пропускания и подавления. Приведенные определения являются основой для традиционных терминов фильтрации: фильтр низких часгпот, полосовой фильтр, фильтр высоких частот и паласовой режекторный фильтр. Чтобы далее уточнить эти определения, обратимся к некоторым количественным характеристикам: е Граничная частота аг — это значение ю, при которой ~Н(уыс)~ = Й/~/2, где Й определяется следующим образом: о )Н(0)~ для фильтров низких частот и паласовых режекторных фильтров; о ~Н(оо)~ для фильтров высоких частот; о максимальное значение ~НЦю) ~ в полосе пропускания для паласовых фильтров.
° Ширина полосы пропускання В, — это мера диапазона частот полосы пропускания (или полосы фильтрации). Она определяется как Вм = ысз — ысп где ысз > гад > О. В этом определении ы,~ и ысг— граничные частоты с обеих сторон полосы пропускания или полосы фильтрации (для фильтров низких частот, например, огс~ = О). Вышеупомянутые определения иллюстрируются частотной характеристикой полосового фильтра на рис. 4.8. Здесь нижняя граничная частота ысд = а = 50 рад/с, а верхняя граничная частота — м,з = 6 = 200 рад/с. Таким образом, полоса пропускания может быть вычислена как Ви = глез-ыс~ = 150 рад/с. Система, которая имеет постоянную амплитудно-частотную характеристику, называется всечастотиым фильтром. Лучший из известных всечастотных фильтров — чистое запаздывание.
Заметим, что соответствующая амплитуда сигнала на выходе равна амплитуде сигнала на 4.9. Частотная характеристика 117 1.2 О.в о, 1О' 1О* Иа1 41ав Частота [рад/с) Рис. 4.8. Частотная характеристика полосового фильтра 1О* входе независимо от частоты сигнала. Рациональные устойчивые всеча- стотные фильтры имеют общую форму р(- ) Нар(з) — Кар р(з) (4.9.16) где Кор — константа и р(з) — любой устойчивый многочлен. 4,9.3. Искажения и точность воспроизведения Когда система имеет неидеальную частотную характеристику, мы го- ворим, что она вносит искажения. Чтобы описать различные виды искажений, которые мы обычно встречаем на практике, рассмотрим сигнал Д$), заданный выражением иУ Д1) = ~~~ Ав эш(ы;1+ а;) (4.9.17) Пусть этот сигнал — входной для линейной устойчивой системы (например, звуковой усилитель). Тогда мы говорим, что система обрабатывает этот сигнал птачно, если амплитуды всех гармонических компонентов усилены (или ослаблены) приблизительно в одно и то же число раз и отдельные реакции имеют одно и то же запаздывание.
Это требует, чтобы частотная характеристика удовлетворяла следующим условиям: При этих условиях форма колебаний на выходе системы идентична колебаниям на входе, но выходные колебания задержаны по времени 1 йов фав ои постоянен для 1 = 1,2,..., то~ (4.9.18) где коэффициент )оо постоянен для 1' = 1,2,...,пУ (4.9.19) 118 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы 4.10.
Преобразование Фурье Обобщение понятия частотной характеристики можно сделать с помощью преобразований Фурье. Они дают способ представления широких классов сигналов в частотной области. Преобразования Фурье к тому же тесно связаны с преобразованиями Лапласа.
Однако в то время как преобразования Лапласа односторонние (т. е. определены для 1 Е [О, оо)), преобразования Фурье являются двусторонними (т. е. определены для 1 Е ( — оо, оо)). Это различие ведет к некоторым различиям в интерпретации. Например, преобразования Лапласа включают влияния начальных условий и ППП-полюсы соответствуют экспоненциально увеличивающимся сигналам; в то время как в преобразованиях Фурье начальные условия обычно не учитываются и ППП-полюсы соответствуют беспричинным (нереальным) сигналам (т. е. сигналам, определенным для 1 Е ( — оо,О)).
Для полноты мы кратко рассмотрим ниже ключевые аспекты преобразования Фурье. 4.10.1. Определение преобразования Фурье Рассмотрим непрерывный сигнал Дс), определенный для -со < 1 < оо. Тогда пара преобразований Фурье, связанная с г'(1), определяется сле- дующим образом: У'[Д$)) = Р(т'ат) = е ~~ ~(1)г1г (4.10.1) У г [Р(угу)) = Г'(1) = — / ет 'РЦы)йо (4.10.2) Г' 2я,г', на й,.
Когда одно или оба условия не выполняются, форма выходного сигнала системы будет отличаться от формы Д1) и говорят в этом случае, что система искажаепг сигнал. Могут быть либо амплитудные искажения (когда не выполняется условие (4.9.18)), либо фазовые искажения (когда не выполняется условие (4.9.19)), либо и амплитудные, и фазовые искажения одновременно (когда не выполняется ни условие (4.9.18), ни условие (4.9.19)). Интерпретация этого свойства в терминах фильтрации означает, что имеются незначительные искажения, если интересующий нас набор частот (ганга,...,атиу) находится внутри полосы пропускания системы.
Заметим, что чистое запаздывание не вызывает искажений. Однако рациональные всечастотные фильтры дают фазовые искажения за исключением очень низких частот. 4.10. Преобразование Фурье 119 Р (уво) называют преобразованием Фурье сигнала 1(1). Пара преобразований определена, если сигнал Д1) абсолютно интегрируем, то есть Щ1)~й(оо (4.10.3) Фактически, чтобы быть строгими, на Д1) следует наложить некоторые дополнительные условия. Например, в литературе часто требуется, чтобы функция 1(1) удовлетворяла условиям Дирихле, которые в самой простой форме требуют, чтобы 1"-(~) и 1'(8) были кусочно-непрерывны.
Тогда обратное преобразование дает значение [у (1 ) + Д$+))/2 в точках разрыва. В более простом случае мы могли бы потребовать только абсолютной интегрируемости Р(!го), но это исключило бы некоторые интересные для нас случаи. Можно использовать некоторые дополнительные ограничения, чтобы расширить преобразование Фурье на ряд сигналов, которые не удовлетворяют условию (4.10.3). Это, например, случай ограниченных периодических сигналов. Преобразования Фурье для некоторых общих сигналов показаны в табл. 4.3, а свойства преобразования приведены в табл. 4.4. 4.!0.2.
Применения преобразований Фурье В дополнение к основному свойству линейности ряд полезных свойств этого преобразования приведен в табл. 4.4. Все эти свойства, вместе взятые, могут использоваться для решения широкого круга задач анализа систем и сигналов.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий пример. Пример 4.9. Рассмотрим линейную систему, имеющую вход и($) и выход у($), связанные моделью — + Зу(Ф) = 2и($) ' ду(1) ав (4.10.4) Нзвестно также, что и(1) = — О.бз1бп(~)1 и что у(0) = О. Нужно вычислить у(в) И.
Решение Если применить преобразование Фурье к (4.10.4), мы получим 2 уыУ(дю) + ЗУ(уго) = 2У(уго) сь 1'(уго) =, У(но) (4.10.5) уго+ 3 Напомним, что функция в1еп определена как -1 для отрицательного аргумента и +1 для положительного аргумента. 120 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Таблица 4.3 Таблица преобразований Фурье ,к[Уй)) Дс) ~Феи где Ц1ьт) = — 0.5У'[з)дп(1)) = -0.5У' [2р(1) — 1] = ф. Тогда 2 2 2 2(1 1 У()го) — —, .
— — —, +, — — —, —, (4.10.6) (1го+3)))ш Куш Зуго+3) 3 ~уы (за+3)/ опттсуда, используя обратпное преобразование Фурье, охончагпельно паау- 2 у($) = --щп(1)+ -е 'р($) 3 3 (4.10.7) С)СЗП 4.10. Преобразование Фурье 121 Таблица 4.4 Свойства преобразований Фурье т(у(е)) ОписаниЕ ~ асЕ;(1ш) г — 1 ,ушУ(гш) ~а;Л(1) г=г Ьй) ас Линейность 4ьу(1) ась (1ш)~У(уш) / у(т)с(т у(с — т) у(ас) У( — 1 ) йгЬш)й0 ) у(-1) /: Л(т)Уг(Š— т)4т Свертка у(8) сов(ш,с) уИ) вш(шеГ) Р(Ф) Произведение во временной области Яг)Ь(г) еаеуг (г) Смещение частоты Одна из наиболее привлекательных особенностей преобразования Фурье — его связь с частотной характеристикой: выражение (4.10.2) описывает Д1) как линейную комбинацию экспонент вида ег"'е, где ш непрерывно изменяется от -оо до оо.
Эта связь позволяет нам интерпретировать преобразование как описание относительного содержания частот данного сигнала. НапРимеР, Р(уше) соответствУет плопгноспги компонента с частотой ш,. Следовательно, когда вход и(1) подается на линейную систему с моделью (4.2.1), выход у($) имеет преобразование — У(уш) + тУ(0)б(ш) 1 е У"'У()ш) -"И 1 — (У(1ш — уши) + У(уш+ 1ш,)) 1 '2 г2 2в г'( — гш) Г+са / иг() ОРг((ш ЮМ 2т,/ Рг (1'ш — а) Здесь РЯш) = У [Яс)] и Щш) = У [у(с)] Закон дифферен- цирования Производная произвольного порядка Закон интегриро- вания Задержка Масштабирование времени Обращение времени Модуляция (косн- нусоидальная) Модуляция (синусоидальиая) Симметрия 122 Глава 4. Непрерывные сигналы н системы Фурье, определяемое формулой У(тгв) = Н(угвЯЦы) (4.10.8) Н(з) = 2 (4.10.9) Это означает, что реакция системы на и(г) = бп(1) (при нулевых начальных условиях) — у(8) = 2езтр($).
Если мы просто заменим з на угз в (4.'10.9) и затем применим обратное преобразование Фурье, реакция системы на и(1) = Бп(1), казалось бы, будет у(1) = 2езт,и(-1) —. упреждающая (до появления входного сигнала) реакция. Эта ошибка вызвана тем, что преобразование Фурье для 2ез'р(1) не существует, потому что интеграл (4.10.1) не сходится. Фактически, в пределах области сходнмости преобразование Фурье соответствует беспричинному (см. выше) сигналу. В Фурье-анализе часто используется теорема Парсеваля.
Для полноты представим ее здесь. Теорема 4.1. Пусть Р(ув) и С(ага) обозначают преобразования Фурье У($) и дЯ соотпветственно, где предполагается, что Д1) и д(1) квадратично интегрттруглвы на вещественной оси.'Тогда | ОО г' У(1)д(1) дй= — / Р'(д )6( — М д ОО 2тг /, (4.10.10) Доказательство Используем формулу обратного преобразования Д1)д(1) д1 = — Р(уьт)в™Ы д(1) Ж (4.10.11) где Н(уа) имеет ту же интерпретацию, что и в рззд.
4.9, а именно,— комплексный коэффициент усиления системы для гармонического сигнала угловой частоты ш. Предупреждаем читателя от искушения сделать вывод, исходя нз подобия уравнений (4.5.2) и (4.10.8); что мы можем получить преобразование Фурье из преобразования Лапласа простой заменой переменной з =ь альт. Эта интерпретация дает правильные результаты только для случая, когда входной сигнал абсолютно интегрируем, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
